Matematika kao nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnosti studira svijet oko nas, prirodnih i društvenih pojava. Ali za razliku od ostalih nauka, matematika studira njihove posebne nekretnine, ometaju od drugih. Dakle, geometrija studira oblik i veličinu objekata, bez uzimajući u obzir ostala svojstva: boja, mase, tvrdoća itd. Općenito, matematički objekti (geometrijski oblik, broj, količina) stvaraju ljudski um i postoje samo u ljudskom razmišljanju, u znakovima i simbolima koji čine matematički jezik.

Sažetost matematike omogućava mu da ga primijeni u širokom rasponu područja, to je moćan alat za znanje o prirodi.

Oblici znanja podijeljeni su u dvije grupe.

Prva grupa Oblici senzualnog znanja izvedenih uz pomoć raznih čula: pogledajte, sluha, miris, dodir, ukus.

Ko druga grupa Oblici apstraktnog razmišljanja, prije svega pojmova, izjava i zaključak.

Oblici senzualnog znanja su osjećati, percepcija i reprezentacija.

Svaki predmet nema nijedan, već i mnoga svojstva, a mi ćemo ih naučiti uz pomoć senzacija.

Osećaj - Ovo je odraz pojedinačnih svojstava objekata ili pojava materijalnog svijeta, koji su direktno (tj. Trenutno) utiču na naša čula. To je osjećaj crvene, tople, okrugle, zelene, slatke, glatke i druge pojedinačne svojstva objekata [Hetmanova, str. 7].

Iz pojedinih senzacija postoji percepcija čitavog predmeta. Na primjer, percepcija jabuke sastoji se od takvih senzacija: sferični, crveni, kiseli-slatki, mirisni itd.

Percepcija Postoji holistički odraz vanjskog materijala, koji je direktno pogođen naša čula [Hetmanov, str. Osam]. Na primjer, slika ploče, čaša, kašika, drugih jela; Slika rijeke, ako sada plovimo na njemu ili su na njegovoj obali; Šumska slika, ako smo sada došli u šumu, itd.

Percepcije, iako su senzualni odraz stvarnosti u našoj svijesti, u velikoj mjeri ovise o ljudskom iskustvu. Na primjer, biolog će percipirati livadu na ovaj način (on će vidjeti različite vrste biljaka), a turista ili umjetnik je vrlo različit.

Reprezentacija - Ovo je senzualna slika teme, trenutno ne opažamo, već ko je ranije percipirao u jednom ili drugom obliku [Hetmanova, str. 10]. Na primjer, možemo vizualno zamisliti lica poznanika, našu sobu u kući, brezu ili gljivi. Ovo su primjeri reproduciranje Prezentacije, budući da smo vidjeli ove predmete.

Reprezentacija može biti kreativan, uključujući fantastičan. Predstavljamo prekrasnu princezu labudu ili kralja Saltana ili zlatnog kokerta i mnogo drugih likova sa bajke A.S. Pushkin, koji nikad nije vidio i vidi. Ovi primjeri kreativne prezentacije o verbalnom opisu. Takođe zamišljamo snežni deiden, deda Mraz, sirena itd.

Dakle, oblici senzualnog znanja su senzacija, percepcija i prezentacija. Uz njihovu pomoć, učimo vanjske strane subjekta (njegovi znakovi, uključujući nekretnine).

Oblici apstraktnog mišljenja su pojmovi, izjave i zaključak.

Koncepti. Jačinu i sadržaj koncepata

Izraz "koncept" se obično koristi za označavanje čitave klase objekata proizvoljne prirode, koji imaju određenu karakterističnu (karakterističnu, bitnu) imovinu ili set takvih svojstava, I.E. Nekretnine su svojstvene samo elementima ove klase.

U smislu logike, koncept je poseban oblik razmišljanja o karakteristikama za koji je sljedeći: 1) koncept je proizvod visoko organiziranog materija; 2) koncept odražava materijalni svijet; 3) koncept se pojavljuje u svijesti kao sredstvo generalizacije; 4) koncept znači posebno ljudsku aktivnost; 5) Formiranje koncepta u svijesti osobe neodvojivo je iz izraza govorom, zapisom ili simbolom.

Kako se pojavi koncept bilo kojeg predmeta stvarnosti u našoj svijesti?

Proces formiranja nekog koncepta je postepeni proces u kojem se može dobiti nekoliko uzastopnih faza. Razmotrite ovaj proces na najjednostavniji primjer - formiranje dječjih koncepata oko 3.

1. U prvoj fazi znanja, djeca se upoznaju sa različitim specifičnim setovima, dok su predmete koriste se i razne skupove tri elementa (tri jabuke, tri knjige, tri olovke itd.). Djeca ne vide samo svaki od ovih skupova, već se mogu roditi (dodirnuti) one objekte iz kojih se ovi setovi sastoje. Ovaj proces "vizije" stvara u umu djeteta poseban oblik odraz stvarne stvarnosti, koji se naziva percepcija (senzacija).

2. Uklanjat ćemo predmete (objekte), čineći svaki set i ponuditi djeci da utvrde je li nešto uobičajeno karakteriziralo svaki set. U svijesti djece, broj predmeta u svakom setu treba zarobiti, činjenica da je svugdje "tri". Ako je tako, onda je u glavi djece stvoren novi oblik - ideja broja "tri".

3. U sljedećoj fazi, na osnovu mentalnog eksperimenta, djeca bi trebala vidjeti da imovina izražena u riječi "tri" karakterizira bilo koji skup različitih elemenata obrasca (a; b; c). Tako će biti značajno opća karakteristika Takvi setovi - "Imaju tri elementa." Sada možemo reći da se u umovima djece formiraju koncept broja 3.

Koncept - Ovo je poseban oblik razmišljanja, koji odražava suštinsku (karakterističnu) svojstva predmeta ili predmeta studija.

Jezički oblik koncepta je riječ ili grupa riječi. Na primjer, "trokut", "broj tri", "Point", "ravno", "Anoscele trokut", "biljka", "crnogorično drvo", "Tabela", itd.

Matematički pojmovi imaju brojne karakteristike. Glavna stvar je da matematički objekti koji trebaju biti koncept ne postoje u stvarnosti. Matematički objekti kreiraju um osobe osobe. Ovo su idealni predmeti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Na primjer, u geometriji proučite oblik i veličinu objekata, bez uzimanja u obzir ostala svojstva: boja, masa, tvrdoća itd. Iz svega toga su ometani, sažeci. Stoga, u geometriji umjesto riječi "predmet" kažu "geometrijska figura". Rezultat apstrakcije su i matematički pojmovi kao "broj" i "vrijednost".

Osnovne karakteristike bilo ko pojmovi su Sljedeće: 1) zapremina; 2) sadržaj; 3) odnos između koncepata.

Kada razgovaraju o matematičkom konceptu, oni obično znače čitav set (set) objekata koji su označeni jednim terminom (riječ ili grupa riječi). Dakle, govoreći o trgu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Vjeruje se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "Trga".

Opseg koncepta Postoji mnogo predmeta ili predmeta na koje je ovaj koncept primjenjiv.

Na primjer, 1) opseg koncepta "paralelograma" je skup takvih četverovatnih, kao stvarni paralelogram, romb, pravokutnike i kvadrat; 2) Opseg koncepta "nedvosmislenog prirodnog broja" biće skup - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Svaki matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri strane, četiri ravna uglova jednaku dijagonalu, dijagonala točke raskrižja podijeljena je za pola. Takođe možete odrediti druga svojstva, ali među svojstvima objekta razlikuju se značajan (karakterističan) i beznačajan.

Imovina se zove suštinski (karakteristično) za objekt, ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati; Imovina se zove nebitan Za objekt, ako može postojati bez njega.

Na primjer, za kvadrat, sva gore navedena svojstva su neophodna. "Ad horizontalna strana" bit će beznačajna za AVD kvadrat (Sl. 1). Ako skrenete ovaj kvadrat, onda će se strana oglasiti vertikalna.

Razmislite o primer predškolnicama pomoću vizualnog materijala (Sl. 2):

Opišite figuru.

Mali crni trougao. Sl. 2.

Veliki bijeli trougao.

Kakve su brojke?

Koje su brojke različite?

Boja, veličina.

Koji je trougao?

3 strane, 3 uglova.

Dakle, djeca saznaju bitna i beznačajna svojstva koncepta "trougla". Esencijalna svojstva - "imaju tri strane i tri ugla", beznačajne nekretnine - boje i veličine.

Kombinacija svih bitnih (karakterističnih) svojstava objekta ili subjekta odraženog u ovom konceptnom pozivu sadržaj koncepta .

Na primjer, za koncept "paralelograma", ima četiri strane, ima četiri ugla, ima četiri ugla, suprotne strane paralelne, suprotne strane su jednake, u uglovima su jednaka dijagonalu u dijagonalu u tačkima raskrižja podijeljeni su polovina.

Postoji veza između opsega koncepta i njenog sadržaja: ako se opseg koncepta poveća, njen sadržaj je smanjen i obrnuto. Tako je, na primjer, opseg koncepta "povišenog trokuta" dio koncepta koncepta "trougla", a u sadržaju koncepta "Ekvalijacijski trokut" uključuje više nekretnina od koncepta koncepta od koncepta koncepta "Trokuta", jer Jednako predsedavajući Trokut nema samo sva svojstva trougla, već i druge, svojstvene podjednako izvedivim trouglovima ("dvije strane su jednake", "dva uglova su jednaka", e itd.) Itd.).

Koncepti su podijeljeni u jedan, uobičajeni Kategorije.

Koncept čiji je iznos 1, nazvan jedan koncept .

Na primjer, pojmovi: "Rijeka Yenisei", "Republika Tuva", "Grad Moskva".

Pojmovi čiji je volumen veći od 1 nazivaju se često .

Na primjer, pojmovi: "Grad", "rijeka", "četverostrani", "broj", "poligon", "jednadžba".

U procesu proučavanja temelja bilo koje nauke kod djece formiraju se uglavnom opći pojmovi. Na primjer, u primarnim klasama studenti se upoznaju sa takvim konceptima kao "slici", "broj", "nedvosmisleni brojevi", "Dvocifreni brojevi", "MULTI-TEMPENI BROJEVI", "Udio", "Share", "Share", " Dodavanje "," društvo "," iznos "," oduzimanje "," oduzeta "," umanjena "," razlika "," multiplikator "," Rad "," Divibible "," Dividible "," Divibible "," Divibible " , "Privatno", "Ball", "cilindar", "Konus", "Cube", "PARALELELEPIPED", "KUTAK", "Kvadran 01", "Pravokut", "Pravokutnik", "Pravokutnik", " Poligon "," Krug "," Krug "," Krivulja "," Cut "," Cut Duljina "," Direct "," Dužina "," Širina "," Širina "," "," Perimetar "," Slika "," Volumen "," Vrijeme "," Brzina "," Masa "," Cijena "i mnoge druge. Svi su ovi pojmovi uobičajeni pojmovi.

Nauka, veličina učenja, kvantitativni odnosi i prostorni oblici

Prvo slovo "M"

Drugo slovo "A"

Treće slovo "T"

Last Beech slovo "A"

Odgovor na pitanje "Nauka, proučavanje vrijednosti, kvantitativni odnosi i prostorni oblici", 10 slova:
matematika

Alternativna pitanja u križarnim riječima za matematiku

Predstavnik ove nauke kupio je Nobel mladenka, pa zbog toga zbog uspjeha u svojoj Nobelovoj nagradi ne daju

"Toranj" u politehničkom programu

Točna nauka, veličina učenja, kvantitativni odnosi i prostorni oblici

Nauka o vrijednostima, kvantitativni odnosi, prostorni oblici

To je bio ovaj predmet koji sam predavao u školi "Draga Elena Sergeevna" koju je navela Marina Nelaova

Određivanje riječi matematike u rječnicima

Objašnjeni rječnik žive Velikog ruskog jezika, Dal Vladimir Značenje riječi u rječniku objašnjeni rječnik živih ruskih, dal Vladimir
g. Nauka o vrijednostima i količinama; Sve što se može izraziti digitalno pripada matematici. - čisti, bavi se vrijednostima sažetaka; - Primenjeno, čini prvi posao, predmete. Matematika je podijeljena na aritmetičku i geometriju, prvi ima ...

Wikipedia Značenje riječi u rječniku wikipedia rječnik
Matematika (

Sjajna sovjetska enciklopedija Značenje riječi u rječniku velika sovjetska enciklopedija
I. Određivanje predmeta matematike, veza s drugim naukama i tehnologijom. Matematika (grčki. Mathematike, iz Máthema ≈ znanje, nauka), nauka kvantitativnih odnosa i prostornih oblika važećeg svijeta. "Čist matematika ima svoj objekt ...

Novi inteligentni reč-Formacijski Rječnik ruskog jezika, T. F. Efremova. Značenje riječi u rječniku je novi inteligentni-reč-Formacijski rječnik ruskog jezika, T. F. Efremova.
g. Naučna disciplina o prostornim oblicima i kvantitativnim odnosima stvarnog svijeta. Udžbenik teorijska osnova Ova naučna disciplina. . Udžbenik koji postavlja sadržaj ovog obrazovnog objekta. . . Precizno, ...

Primjeri upotrebe riječi matematike u literaturi.

Prvo, Trediakovsky Foltried Vasily Adadurov - matematičar, student Velikog Jacoba Bernoullija, a za ovu opreznost pjesnika naučnika na francuskom jeziku.

Utjelovljen matematičar Adadurov, mehaničar Ladyzhensky, arhitekta Ivan prazan, prikladan je na svjetlu asatora u raznim daskama, ljekarima i vrtlarima, oficira vojske i flote.

Iza dugog poliranog tabele oraha sjede u stolicama dva: Axel Brigs i matematičar Brodsky, koga sam naučio o moćnom sokutajskom lizinu.

PonttryAgin, napori u koji je stvoren novi odjeljak matematika - Topološka algebra, - proučavajući razne algebarske konstrukcije koje su se obdale topologijom.

Također napominjumo da prolazimo da je epoha opisala, opisala, svjedoci razvoju algebre, relativno apstraktni odjel matematikaKroz vezu manje apstraktnih odjela, geometrije i aritmetike, činjenica je dokazane najstarije iz manifestacija algebre, pola algebre, pola geometrijske.

Idealizirana svojstva objekata u studiju ili su formulirana u obliku aksioma ili navedena u definiciji relevantnih matematičkih objekata. Tada su strogim pravilima logičke izlaza, iz ovih svojstava prikazane i druga istinska svojstva (teoremi). Ova teorija u agregatu formira matematički model objekta u studiju. Stoga, u početku se na temelju prostornih i kvantitativnih odnosa, matematika prima apstraktne omjere, čija je studija i predmet moderne matematike.

Tradicionalno je matematika podijeljena na teorijsku, vrši detaljnu analizu intramattematskih struktura i primijenjene, pružajući svojim modelima drugim naukama i inženjerskim disciplinama, a neki od njih zauzimaju granicu sa matematikom. Konkretno, formalna logika može se smatrati dijelom filozofske naukei kao dio matematičkih nauka; mehanika - i fizika i matematika; Računarstvo, računarske tehnologije i algoritam su i inženjerske i matematičke nauke itd. U literaturi su predložene mnoge različite definicije matematike.

Etimologija

Riječ "matematika" dogodila se od dr. Grčkog. άάθημα, što znači studija, znanje, naukai drugi grčki. μαθηματικός, prvobitno značenje osjetljiv, uspješan Kasnije ciljanoNaknadno matematički. Posebno, μαθηματικὴ τέχνη , Latino ars Mathematica.znači umjetnost matematike. Izraz dr. Grk. ᾰᾰθημᾰτικά B. moderno značenje Ova riječ "matematika" nalazi se već u spisima Aristotela (IV vijeka prije nove ere). Prema Fasmeru na ruskom jeziku, riječ je došla ili kroz poljsku. Matematyka, ili kroz lat. Mathematica.

Definicije

Jedna od prvih definicija tema matematike dala je Descartes:

Područje matematike uključuje samo one nauke u kojima se razmatraju ili narudžba ili mjera, a neće biti u potpunosti značajni, bilo da će ovi brojevi, figure, zvijezde, zvukovi ili nešto drugo, pronaći ovu mjeru. Stoga mora postojati određena ukupna nauka, objašnjavajući sve povezane s postupkom i najmanje, bez ulaska u proučavanje svih privatnih subjekata, a ova nauka treba nazvati ne stranom, već i stara koja je već uključena u upotrebu univerzalnog Matematika.

Suština matematike ... Čini se sada kao doktrina odnosa između objekata, osim o tome, osim opisanih nekretnina, upravo su oni koji su kao aksiom u bazi teorije ... Matematika je skup apstraktnih oblika - matematičkih struktura.

Odjeljci matematike

1. Matematika kao akademska disciplina

Oznake

Budući da matematika radi s izuzetno raznolikim i prilično složenim strukturama, sustav oznake u njemu je vrlo složen. Savremeni sistem snimanja formula formiran je na osnovu evropske algebarske tradicije, kao i potrebe kasnijih dijelova matematike - matematičke analize, matematičke logike, teorije setova, itd. Geometrija u vizualnom ( geometrijski) zastupljenost. U modernom matematiku, kompleksni grafički zapisi sustava za snimanje su takođe uobičajeni (na primjer, prebacivanje grafikona) koriste se i naznake na bazi grafova.

Pripovijetka

Matematika filozofije

Ciljevi i metode

Svemir R n (\\ displaystyle \\ mathbb (r) ^ (n)), P. N\u003e 3 (\\ DisplayStyle n\u003e 3) To je matematička fikcija. Međutim, vrlo sjajna fikcija koja pomaže matematički razumjeti složene pojave».

Osnova

Intuicionizam

Konstruktivna matematika

razjasniti

Glavne teme

broj

Glavni presjek s obzirom na apstrakciju broja algebre. Koncept "broja" izvorno potječe iz aritmetičkih reprezentacija i bio je povezan sa prirodnim brojevima. U budućnosti je, uz pomoć algebre postepeno distribuirana u cijeli broj, racionalni, važeći, složeni i drugi brojevi.

1, - 1, 1 2, 2, 3, 0, 12, ... (\\ DisplayStyle 1, \\; - 1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; (\\ frac (2) (3)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ ldots) Racionalni brojevi 1, - 1, 1 2, 0, 12, π, 2, ... (\\ DisplayStyle 1, \\; - 1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ pi, \\; (\\ sqrt (2)), \\; \\ ldots) Realni brojevi - 1, 1 2, 0, 12, π, 3 i + 2, ei π / 3, ... (\\ displaystyle -1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ pi, \\; 3i + 2, \\; e ^ (i \\ pi / 3), \\; \\ ldots) 1, i, J, K, π J - 1 2 k, ... (\\ DisplayStyle 1, \\; i, \\; j, \\; k, \\; \\ pi j - (\\ frac (1) (1) ) K, \\; \\ dots) Složeni brojevi Kvaterioni

Konverzija

Fenomene transformacija i promjene u općem obrascu razmatra analizu.

Strukture

Prostorni odnosi

Osnove prostornih odnosa smatra geometrije. Trigonometrija smatra svojstva trigonometrijskih funkcija. Studija geometrijskih objekata kroz matematičku analizu bavi se diferencijalnom geometrijom. Svojstva prostora koji su ostali nepromijenjeni sa stalnim deformacijama i vrlo fenomen kontinuiteta proučava se topologija.

Diskretna matematika

∀ x (p (x) ⇒ p (x ')) (\\ displaystyle \\ zarobljavanje x (p (x) \\ desnarow p (x ")))

Matematika se pojavila dugo vremena. Čovjek sakuplja voće, kopajući voće, uhvaćene ribe i dosegnuli sve to za zimu. Da biste shvatili koliko je hrana čovjek izmišljen račun. Tako je počeo da se pojavljuje matematika.

Tada se čovjek počeo baviti poljoprivredom. Bilo je potrebno mjeriti parcele zemlje, izgraditi stanovanje, vrijeme mjerenja.

To jest, osoba je postala potrebna za korištenje kvantitativnog odnosa stvarnog svijeta. Odredite koliko se žetve sastavi, koje su veličine gradilišta ili kao veliki dio neba, na koji je određeni broj svijetlih zvijezda.

Pored toga, osoba je počela definirati oblike: suncobran, kutija je kvadratna, jezero oval i kako se ti predmeti nalazi u prostoru. Odnosno, osoba se zanimalo za prostorne oblike stvarnog svijeta.

Dakle, koncept matematika Kao nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnog svijeta možete definirati kao nauku.

Trenutno ne postoji niti jedna profesija, gdje bi bilo moguće učiniti bez matematike. Poznati njemački matematičar Karl Friedrich Gauss, koji je nekako zvao "kralj matematike":

"Matematika - kraljica nauke, aritmetika - kraljica matematike."

Riječ "aritmetika" dolazi iz grčke riječi "Aritmos" - "broj".

Na ovaj način, aritmetika Ovo je odjeljak matematičkih brojeva učenja i akcija na njima.

U osnovnoj školi, prije svega, naučite aritmetiku.

Kako razviti ovu nauku, hajde da istražimo ovo pitanje.

Period nastanka matematike

Glavni period akumulacije matematičkog znanja je vrijeme za V vijeku do naše doba.

Prvi koji se počeo dokazati matematičkim odredbama - drevni grčki mislilac koji je živio u VII Centurnim prijenosu pre nove ere, pretpostavlja se 625 - 545. Ovaj filozof je putovao kroz zemlje istoka. Tradicije kažu da je studirao iz egipatskih svećenika i babilonskih kaldera.

Falez Miletsky iz Egipta donijela je u Grčku prve pojmove elementarne geometrije: kakav je promjer koji je trokut određen i tako dalje. Predvidio je solarni pomračenje, dizajnirane inženjerske strukture.

U tom periodu aritmetika se postepeno presavija, astronomija razvija, geometrija. Atgebra i trigonometrija pojavljuju se.

Period osnovne matematike

Ovaj period započinje vi do vi do naše doba. Sada matematika nastaje kao nauka sa teorijama i dokazima. Izgleda teorija brojeva, doktrina veličine, o njihovoj dimenziji.

Najpoznatiji matematičar ovog vremena je euklid. Živeo je u III veku pre nove ere. Ovaj čovjek je autor prvog teorijskog traktata u matematici koji nam je došao.

U djelima Euclidea date su temelje, takozvana euklidejska geometrija su aksiomi, počivajući se na osnovnim pojmovima, poput.

Tokom osnovne matematike rađa se teorija brojeva, kao i doktrina vrijednosti i mjerenja. Negativni i iracionalni brojevi prvi put se pojavljuju.

Na kraju ovog perioda primijećeno je stvaranje algebre, kao abecedni kalkulator. Nauka "Algebra" se pojavljuje u Arapima, kao nauka o rješavanju jednadžbi. Riječ "Algebra" prevedena sa arapskog jezika znači "oporavak", odnosno prijenos negativnih vrijednosti na drugi dio jednadžbe.

Period matematičkih varijabli

Osnivač ovog razdoblja smatra se da su Rene Descartes, koji su živjeli u XVII vijeku naše ere. U njegovim spisima, decenteri prvo uvodi koncept varijabilne vrijednosti.

Zbog toga naučnici prebacuju iz proučavanja stalnih vrijednosti u proučavanje ovisnosti između varijabli i do matematički opis Kretanje.

Ovaj period karakterizirao je Frederick Engels, napisao je u svojim spisima:

"Okretna tačka matematike bila je dekartna varijabla. Zahvaljujući tome, matematika je ušla u matematiku i na taj način dijalektika, a zbog istog toga postala je neophodna za diferencijalni i integralni račurs, koji se odmah pojavljuje, a koji je općenito završen, a ne izumio Newton i Leibnian. "

Period moderne matematike

U 20 godina XIX veka Nikolai Ivanovič Lobachevsky postaje osnivač, takozvana geometrija ne djeteta.

Od tog trenutka počinje razvoj najvažnijih dijelova moderne matematike. Kao što je teorija vjerojatnosti, teorija setova, matematičke statistike i tako dalje.

Sva ova otkrića i istraživanje pronalaze široku upotrebu u različitim oblastima nauke.

I trenutno, naučna matematika brzo raste, predmet matematike, uključujući nove oblike i odnose, dokazuju nove teoreme, glavne koncepte su produbljeni.

Idealizirana svojstva objekata u studiju ili su formulirana u obliku aksioma ili navedena u definiciji relevantnih matematičkih objekata. Tada su strogim pravilima logičke izlaza, iz ovih svojstava prikazane i druga istinska svojstva (teoremi). Ova teorija u agregatu formira matematički model objekta u studiju. Tako se, u početku, zasnovano na prostornim i kvantitativnim odnosima, matematika prima apstraktne omjere, čija je studija koja je i predmet moderne matematike.

Tradicionalno je matematika podijeljena na teorijsku, vrši detaljnu analizu intramattematskih struktura i primijenjene, pružajući svojim modelima drugim naukama i inženjerskim disciplinama, a neki od njih zauzimaju granicu sa matematikom. Konkretno, formalna logika može se smatrati i kao dio filozofskih nauka i kao dio matematičkih nauka; mehanika - i fizika i matematika; Informatika, računarske tehnologije i algoritam odnose se na inženjerske i matematičke nauke itd. U literaturi su u literaturi, predložene su mnoge različite definicije matematike (vidi).

Etimologija

Riječ "matematika" dogodila se od dr. Grčkog. άάθημα ( máthēma.), što znači studija, znanje, naukai drugi grčki. μαθηματικός ( mathēmatikós.), prvobitno značenje osjetljiv, uspješan Kasnije ciljanoNaknadno matematički. Posebno, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē.), na latinskom ars Mathematica.znači umjetnost matematike.

Definicije

Područje matematike uključuje samo one nauke u kojima ili mjeri i apsolutno ne u suštini, ovi brojevi, brojke, brojke, zvuče ili nešto drugo, što se nalazi ova mjera. Stoga mora postojati određena ukupna nauka, objašnjavajući sve povezane s postupkom i najmanje, bez ulaska u proučavanje svih privatnih subjekata, a ova nauka treba nazvati ne stranom, već i stara koja je već uključena u upotrebu univerzalnog Matematika.

U sovjetskom vremenu, definicija BSE smatrana je klasično, A. N. Kolmogorov:

Matematika ... Nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima važećeg svijeta.

Suština matematike ... Čini se sada kao doktrina odnosa između objekata, osim o tome, osim opisanih nekretnina, upravo su oni koji su kao aksiom u bazi teorije ... Matematika je skup apstraktnih oblika - matematičkih struktura.

Dajemo još nekoliko modernih definicija.

Moderna teorijska ("neto") matematika je nauka matematičkih struktura, matematičkih invarijanata različitih sistema i procesa.

Matematika - nauka koja pruža mogućnost izračunanja modela danih standardnom (kanonski) umom. Nauka o pronalaženju rješenja analitičkih modela (analiza) pomoću formalnih transformacija.

Odjeljci matematike

1. Matematika kao akademska disciplina Podijeljen je u rusku Federaciju na osnovnu matematiku koja se proučava u srednjoj školi i disciplina formiranim:

• osnovna geometrija: Planimetrija i stereometrija
• teorija elemenata i elemenata analize

4. Američko matematičko društvo (AMS) razvio je svoj standard za razvrstavanje dionica matematike. Zove se klasifikacija predmet matematike. Ovaj se standard periodično ažurira. Trenutna verzija je magistralna 2010. Prethodna verzija - MSC 2000.

Oznake

Zbog činjenice da matematika radi s izuzetno raznolikim i prilično složenim strukturama, sustav oznake je također vrlo složen. Moderni sistem za snimanje formule formiran je na osnovu evropske algebarske tradicije, kao i matematičke analize (koncept funkcije, derivat itd.). Uticaj geometrije stoljeća uživao je u vizualnom (geometrijskom) zastupanju. U modernom matematiku, kompleksni grafički zapisi sustava za snimanje su takođe uobičajeni (na primjer, prebacivanje grafikona) koriste se i naznake na bazi grafova.

Pripovijetka

Razvoj matematike zasnovan je na pisanju i sposobnosti za snimanje brojeva. Vjerovatno su antirani ljudi prvi put izrazili iznos crtanjem žitarica na zemlji ili ih ogrebali na drvo. Drevni ince, koji imaju različit sistem pisanja, predstavljen i održavao numeričke podatke koristeći složeni sistem konopnih čvorova, takozvani Kip. Bilo je mnogo različitih brojeva sistema. Prvi poznati zapisi o broju pronađeni su u Akhmes papirusu koji su stvorili Egipćani srednje kraljevstva. Indijska civilizacija se razvijala moderna decimalni sistem Broj, uključujući nultu koncept.

Povijesno se, osnovne matematičke discipline pojavile su pod utjecajem potrebe za provođenjem proračuna u komercijalnoj sferi, prilikom mjerenja zemljišta i predviđanja astronomskih pojava i, kasnije, za rješavanje novih fizičkih problema. Svaka od ovih područja igra veliku ulogu u širokom razvoju matematike, koji se sastoji u proučavanju građevina, razmaka i promjena.

Matematika filozofije

Ciljevi i metode

Matematika studira zamišljene, idealne predmete i omjere između njih koristeći formalni jezik. Općenito, matematički pojmovi i teoremi ne moraju nužno biti u skladu s bilo čim u fizičkom svijetu. Glavni zadatak primijenjenog dijela matematike je stvoriti matematički model, prilično adekvatan za pravi objekt u studiji. Zadatak matematike-teority - pružiti dovoljan set udobnog sredstva za postizanje ovog cilja.

Sadržaj matematike može se definirati kao sustav matematičkih modela i alata za njihovo stvaranje. Model objekta uzima u obzir sve njegove karakteristike, već samo najpotrebnije za potrebe studije (idealizirane). Na primjer, proučavanje fizičkih svojstava naranče, možemo apstraktno izvući iz njegove boje i ukusa i predstaviti ga (čak i ako ne savršeno sigurno) loptu. Ako trebamo razumjeti koliko narančastom ispada ako se savijamo dva i tri, onda možete apstraktno i iz obrasca, napuštajući model samo jedna karakteristika - iznos. Apstrakcija i uspostavljanje veza između objekata u najopćenitijoj formi jedan je od glavnih smjerova matematičke kreativnosti.

Drugi smjer, zajedno sa apstrakcijom - generalizacijom. Na primjer, sažeti koncept "prostora" na prostor za mjerenje N-Mjernika. " Prostor, sa matematičkom fikcijom. Međutim, vrlo sjajna fikcija koja pomaže matematički razumjeti složene pojave».

Studija intramathematičkih objekata, u pravilu se pojavljuje aksiomatična metoda: prvo, popis osnovnih pojmova i aksioma formulirani su za objekte koji su u studiji, a zatim se teoremi sadržaja dobivaju iz aksioma izlaznih pravila, u aksiomu izlaznih pravila, u aksimatu Formiranje matematičkog modela.

Osnova

Pitanje suštine i osnova matematike razgovarano je iz vremena Platona. Od 20. stoljeća postoji komparativni sporazum o tom pitanju, koji bi se trebao smatrati strogim matematičkim dokazom, ali ne postoji saglasnost u razumijevanju da u matematici prvobitno je istina. Odavde se nesuglasica pojavljuju i u pitanjima aksiomatike i odnosa industrije matematike i u izboru logičkih sistema koji bi se trebali koristiti u dokazima.

Pored skeptičnih, poznati su sljedeći pristupi ovom pitanju.

Višestruki pristup

Predlaže se da razmotri sve matematičke objekte u okviru teorije skupova, najčešće sa aksiomatikom Cermelo - Frankel (iako postoji mnogo drugih ekvivalenta). Ovaj pristup se smatra prevladavajućim, ali u stvarnosti većina matematičkih djela ne postavlja zadatke da svoje izjave strogo prevode u jezik teorije postavljenih, ali djeluju sa konceptima i činjenicama utvrđenim u nekim područjima matematike. Dakle, ako se otkriva kontradikcija u teoriji skupa, to neće utjecati na amortizaciju većine rezultata.

Logicizam

Ovaj pristup podrazumijeva strogo upisivanje matematičkih objekata. Mnogi paradoksi izbjegavajući u teoriji skupa samo posebnim trikovima nemogući su u principu.

Formalizam

Ovaj pristup uključuje proučavanje formalnih sistema zasnovanih na klasičnoj logici.

Intuicionizam

Intuicionizam predlaže intuicionističku logiku u podnožju matematike, ograničena u dokazima (ali, kao što se smatra pouzdanim). Intuicionizam odbacuje dokaz suprotnog, mnogi ne-konstruktivni dokazi postaju nemogući, a mnogi problemi teorije skupova su besmisleni (neformalno).

Konstruktivna matematika

Konstruktivna matematika - blizina intuicionizma u matematici, proučavanje strukturnih konstrukcija [ razjasniti]. Prema kriteriju konstruktivnosti - " postoje - znači biti izgrađen" Konstruktivni kriteriji - jača potražnja od kriterija dosljednosti.

Glavne teme

Brojevi

Koncept "broja" izvorno je bio povezan sa prirodnim brojevima. U budućnosti je postepeno distribuiran u cijeli broj, racionalni, stvarni, složeni i drugi brojevi.

Cijeli brojevi Racionalni brojevi Realni brojevi Složeni brojevi Kvaterioni

Numerički sistemi
Računi Set	Prirodni brojevi () cijeli () racionalni () algebrani () periodi računati aritmetika
Realni brojevi I njihovo širenje	Stvarni () kompleksni () kvaterioni () Cali brojevi (oktavi, octonions) () sjedenionsi () na slici Palični postupak - Dixon Dual Hypercomplex Superrealni hiperalni nadrealni broj ( engleski)
Drugi Numerički sistemi	Kardinalni brojevi redni brojevi (transfiniti, ordinalni) P-Adic Nadvremeni brojevi
vidjeti i	Dvostruki brojevi Iracionalni brojevi Transcendentalni numerički snop biktera

Konverzija

Diskretna matematika

Kodovi u sistemima klasifikacije znanja

Online usluge

Postoji veliki broj web lokacija koje pružaju uslugu za matematičke proračune. Većina njih govori engleski jezik. Od ruskog jezika možete primijetiti uslugu matematičkih upita za pretraživač Nigma.

vidjeti i

Popularizeri nauke

Bilješke

1. Enciklopedia Britannica.
2. Websterov online rječnik
3. Poglavlje 2. Matematika kao jezik nauke. Sibirski open University. Arhivirano iz prvobitnog izvora 2. februara 2012. Provjereno 5. oktobra 2010.
4. Veliki drevni grčki rječnik (αω)
5. Rječnik ruskog jezika Xi-XVII vekovima. Izdanje 9 / ch. ed. F. P. FILIN. - M.: Nauka, 1982. - str. 41.
6. Descartes R. Pravila za vođstvo uma. M.-L.: Sochekgisis, 1936.
7. Vidi: Matematika BSE
8. Marx K., Engels F. Radi. 2. ed. T. 20. str. 37.
9. Burbaki N. Matematička arhitektura. Eseji o istoriji matematike / prevođenje I. G. Bashmakova ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Kaziev V. M. Uvod u matematiku
11. Mukhin O. I. Priručnik za obuku modeliranja sistema. PERM: RZI PSTU.
12. Herman Veil // Klein M. . - M.: Mir, 1984. - str. 16.
13. Stanje edukativni standard Visoko stručno obrazovanje. Specijalnost 01.01.00. "Matematika". Kvalifikacija - matematičar. Moskva, 2000. (sastavljena pod vodstvom O. B. Lupanova)
14. Nomenklatura specijaliteta naučnika, odobrena po nalogu Ministarstva obrazovanja i nauke Rusije od 25. februara 2009. godine br. 59
15. UDC 51 Matematika
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. M.: Nauka, 1988. P. 44.
17. N. I. Kondakov. Logic rječnik-imenik. M.: Nauka, 1975. P. 259.
18. G. I. RUZAVIN. O prirodi matematičko znanje. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Na primjer: http://mathworld.wolfram.com

Literatura

Enciklopedija

• // Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 svezaka (82 tona i 4 doplata). - St. Petersburg. , 1890-1907.
• Matematička enciklopedija (u 5 svezaka), 1980-ih. // Opće i posebne referentne knjige u matematici na eqworld-u
• Kondakov N. I. Logic rječnik-imenik. M.: Nauka, 1975.
• Enciklopedija matematičkih nauka i njihovih aplikacija (to.) 1899-1934. (najveća pregled literature XIX veka)

Direktoriji

• Korn, T. kukuruz. Matematička referenca za naučnike i inženjere M., 1973

Knjige

• Klein M. Matematika. Gubitak sigurnosti. - M.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematika. Potražite istinu. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Osnovna matematika sa stanovišta najviših.

• Tom I. Aritmetika. Algebra. Analiza m.: Nauka, 1987. 432 str.
• Svezak II. Geometrija m.: Nauka, 1987. 416 str.

• Kurat R., G. Robbins. Šta je matematika? 3-e ed., Glumiti. i dodaj. - M.: 2001. 568 str.
• Pisarevski B. M., Kharin V. T. O matematici, matematičarima i ne samo. - M.: Binom. Laboratorija znanja, 2012. - 302 str.
• Poincare A. Nauka i metoda (RUS) (Fr.)

Matematika je jedna od najstarijih nauka. Dati brza definicija Matematika uopće nije, njegov sadržaj će se jako razlikovati ovisno o razini ljudskog matematičkog obrazovanja. Školski primarni časoviUpravo je počeo studirati aritmetike, kaže da matematika studira pravila broja koji broji. I on će biti u pravu, jer je s tim u početku. Stariji školarci dodaju ono što je rečeno da koncept matematike uključuje algebru i proučavanje geometrijskih objekata: linije, njihova raskrižja, ravne figure, geometrijska tijela, razne transformacije. Maturanti iste srednje škole bit će uključeni u definiciju matematike da još uvijek proučavaju funkcije i djelovanje prijelaza na granicu, kao i koncepte izvedenog i integralnog povezanog s njom. Diplomirani viši tehnički obrazovne ustanove ili prirodne naučne ustanove univerziteta i pedagoških institucija više neće zadovoljiti školske definicije, jer znaju da sastav matematike uključuje druge discipline: teorija vjerojatnosti, matematičke statistike, programiranje, računarske metode za i aplikacije za Modeliranje proizvodnih procesa, obrada iskusnih podataka, prenosa i obrade podataka. Međutim, činjenica da je navedena, sadržaj matematike nije iscrpljen. Teorija setova, matematičke logike, optimalna kontrola, teorija slučajnih procesa i mnogo više također su uključene u njegov sastav.

Pokušaji identifikacije matematike prenošenjem komponenti njegovih grana dovestit će se prema nama, jer ne daju ideje da matematika studira i kakav je njen odnos prema svijetu oko nas. Ako je takvo pitanje postavljeno na fiziku, biologu ili astronom, tada bi svaki od njih dao vrlo kratak odgovor koji ne sadrži popis dijelova, od kojih su nauka proučavala. Takav bi odgovor sadržavao pokazatelj fenomena prirode, što istražuje. Na primjer, biolog bi rekao da biologija studira različite manifestacije života. Neka ovaj odgovor nije u potpunosti dovršen jer ne kaže da su takvi životni i životni pojave, ali ipak, takva bi definicija dala prilično cjelovitu sliku o sadržaju biologije i o različitim nivoima ove nauke. A ta se definicija ne bi promijenila s širenjem naše znanje biologije.

Ne postoje takve pojave prirode, tehničkih ili socijalnih procesa, što bi bio predmet proučavanja matematike, ali se nisu odnosili na pojave fizičkog, biološkog, hemijskog, inženjerstva ili društvenog. Svaka prirodna naučna disciplina: Biologija i fizika, hemija i psihologija - određeni su materijalnom karakteristikom njenog predmeta, specifičnih karakteristika regije u stvarnom svijetu, koji studira. Sam objekt ili fenomen može se proučavati različitim metodama, uključujući matematičke, ali, promjene metoda, i dalje ostajemo u granicama ove discipline, jer je sadržaj ove nauke pravi objekt, a ne istraživački način. Za matematiku, materijalni predmet istraživanja nema odlučujuću vrijednost, korištena metoda je važna. Na primjer, trigonometrijske funkcije Također možete koristiti za proučavanje oscilatornog pokreta i odrediti visinu nepristupačnog predmeta. A koje pojave stvarnog svijeta može se istražiti pomoću matematičke metode? Ove pojave nisu određene njihovom materijalnom prirodom, već isključivo formalna strukturna svojstva, a iznad svih tih kvantitativnih odnosa i prostornih oblika u kojima postoje.

Dakle, matematički studiji ne materijalni objekti, ali metode istraživanja i strukturna svojstva objekta studija koja vam omogućuju primijeniti neke operacije (zbroj, diferencijaciju itd.). Međutim, značajan dio matematičkih problema, koncepata i teorija ima stvarne pojave i procese sa svojim primarnim izvorom. Na primjer, aritmetika i teorija brojeva posredovana su iz primarnog praktičnog zadatka - brojanje objekata. Osnovna geometrija imala je svoje izvorne probleme povezane sa usporedbom udaljenosti, izračunavanjem područja ravnih figura ili prostornih tijela. Sve je to bilo potrebno da pronađe, jer je bilo potrebno preraspodjetiti zemljište Između korisnika izračunavaju veličinu granara ili volumena zemljanih radova tokom izgradnje odbrambenih struktura.

Matematički rezultat ima svojstvo da se ne može koristiti samo prilikom proučavanja jedinstvene posebne pojave ili procesa, već i koristiti za proučavanje drugih pojava, čija je fizička priroda u osnovi različita od prethodno razmatranih. Dakle, pravila aritmetike koja se primjenjuju u zadacima ekonomije i u tehničkim pitanjima i prilikom rješavanja problema poljoprivredai u naučnom istraživanju. Aritmetička pravila razvijena je milenijuma natrag, ali zadržala su primijenjenu vrijednost za vječna vremena. Aritmetika je sastavni dio matematike, njegov tradicionalni dio više nije podložan kreativnom razvoju u okviru matematike, ali on se nalazi i nastavit će pronaći brojne nove aplikacije. Te su aplikacije možda od velikog značaja za čovječanstvo, ali sami doprinos u matematici neće biti napravljen.

Matematika, kao kreativna sila, namijenjena je razvoju opća pravilakoji bi se trebali koristiti u brojnim posebnim slučajevima. Onaj koji stvara ova pravila stvara novu, stvara. Onaj koji primjenjuje gotove pravila više ne stvara u samom matematiku, ali je sasvim mogući, stvara nove vrijednosti uz pomoć matematičkih pravila u drugim oblastima znanja. Na primjer, danas ove podatke o dešifriranju kampanje, kao i informacije o sastavu i starosti rocka, geohemijskih i geofizičkih anomalija obrađuju se pomoću računara. Nema sumnje da upotreba računara u geološkim studijama napušta ove studije s geološkim. Načela rada računara i njihove matematičke podrške osmišljeni su bez uzimanja u obzir mogućnosti njihove upotrebe u interesu geološke nauke. Sama ova značajka određena je činjenicom da su strukturna svojstva geoloških podataka u skladu s logikom određenih programa računara.

Dvije definicije matematike široko su distribuirane. Prvi od njih dao je F. Engels u radu "Anti-Dühring", još jedan - grupa francuskih matematičara poznatih kao Nicola Burbaki, u članku "Arhitektura matematike" (1948).

"Čist matematika ima vlastite prostorne oblike predmeta i kvantitativne odnose stvarnog svijeta." Ova definicija ne opisuje samo predmet proučavanja matematike, već ukazuje na njegovo porijeklo - stvarni svijet. Međutim, ova definicija F. Engels značajno odražava stanje matematike u drugoj polovini XIX veka. I ne uzima u obzir one svojih novih područja koja nisu izravno povezana s bilo kakvim kvantitativnim odnosima ili geometrijskim oblicima. Ovo je, prije svega, matematička logika i disciplina povezane sa programiranjem. Stoga je ova definicija potrebna pojašnjenja. Možda bi trebalo reći da matematika ima svoj predmet proučavanja prostornih oblika, kvantitativnih odnosa i logičkih struktura.

Bombaki tvrde da "jedini matematički objekti postaju, u stvari, matematičke strukture." Drugim riječima, matematika treba definirati kao nauka o matematičkim strukturama. Ova je definicija u osnovi tautologija, jer odobrava samo jednu stvar: matematika se bavi tim objektima koje studiraju. Drugi defekt ove definicije je da ne saznaje odnos matematike svijetu oko nas. Štaviše, Bombaki naglašava da se matematičke strukture stvore bez obzira na stvarni svijet i njegove pojave. Zbog toga je Bombaki bio prisiljen navesti da je "glavni problem u odnosu svijeta eksperimentalnog i svijeta matematičkog. Činjenica da postoji bliska veza između eksperimentalnih pojava i matematičkih struktura - čini se da je otkriveno prilično neočekivano potvrđeno. moderna fizika, ali mi smo potpuno duboki razlozi za ovo ... i možda ih nikada nećemo znati. "

Iz definicije F. Engels, ne može se pojaviti takva razočaravajuća izlazna, jer već daje izjavu da su matematički koncepti apstrakcije iz nekih odnosa i oblika stvarnog svijeta. Ovi se pojmovi uzimaju iz stvarnog svijeta i povezani su s tim. U suštini, upravo je upečatljiva primjenjivost matematike rezultira pojavama svijeta oko nas, a istovremeno uspjeh procesa matematizacije znanja.

Matematika nije izuzetak od svih područja znanja - u njemu se formiraju i koncepti koji proizlaze iz praktičnih situacija i naknadnih apstragmenata; Omogućuje vam i približno studij stvarnosti. Ali trebalo bi imati na umu da matematički studira stvari ne stvarnih svjetskih stvari, već apstraktne koncepte i da su logički zaključci apsolutno strogi i tačni. Njegov pristup nije unutrašnji karakter, već je povezan sa pripremom matematičkog modela fenomena. Također primjećujemo da pravila matematike nemaju apsolutnu primjenjivost, za njih postoji i ograničeno područje primjene, gdje dominiraju. Razjasnimo misao izraženi primjer: Ispada da dvije i dvije nisu uvijek jednake četiri. Poznato je da prilikom miješanja 2 litre alkohola i 2 l vode dobije se manje od 4 litre mješavina. U ovoj smjesi molekuli su raspoređeni kompaktni, a jačina mješavine je manja od zbroja komponenti za jačinu zvuka. Pravilo aritmetike je slomljeno. I dalje možete dati primjere u kojima su druge istine aritmetike poremećene, na primjer, kada dodate neke predmete, ispada da iznos ovisi o redoslijedu sažetka.

Mnogi matematičari smatraju matematičkim konceptima ne kao stvaranje čistog uma, već kao apstrakciju od zapravo postojećih stvari, pojava, procesa ili apstrakcija od već uspostavljenih apstrakcija (uz apstrakciju veće narudžbe). U "dijalektici prirode" F. Engels napisali su da se "sva takozvana čista matematika bavi apstrakcijama ... sve njegove vrijednosti, strogo govoreći, imaginarne vrijednosti ..." Ove riječi jasno odražavaju mišljenje o jednom osnivača marksističke filozofije o ulozi apstrakcija matematike. Moramo dodati samo da su sve ove "imaginarne vrijednosti" preuzete iz stvarne stvarnosti, a ne dizajnirani proizvoljno, slobodni let misli. Tako je koncept broja uključen u univerzalnu upotrebu. Isprva su to bili brojevi unutar jedinica i osim toga samo čitav pozitivni brojevi. Tada je iskustvo napravilo širenje arsenala brojeva do desetak i stotine. Ideja neograničenog raspona cijelih brojeva rođena je već u povijesno bliskoj nama: Arhimed u knjizi "Psammithith" ("Izračunavanje žitarica") pokazalo je kako dizajnirati brojeve još više od navedenih. Istovremeno, koncept frakcijskih brojeva rođen je iz praktičnih potreba. Proračuni povezane sa najjednostavnijim geometrijskim podacima koje su vodile čovječanstvo na nove brojeve - iracionalno. Tako se postepeno stvorila ideja skupa svih važećih brojeva.

Isti put se može pratiti za bilo koji drugi pojmovi matematike. Svi su se pojavili praktičnih potreba i postepeno formirane u apstraktnim konceptima. Možete se sjetiti reči F. Engels-a: "... čisto matematika je važna, neovisna o posebnom iskustvu svake pojedinačne ličnosti ... ali potpuno je netačno da se u čistom matematičkom umu bavi samo vlastitim proizvodima kreativnost i mašta. Pojmovi brojeva i brojki se ne uzimaju od negdje, već samo iz stvarnog svijeta. Deset prstiju, u kojem su ljudi naučili da broji, odnosno za proizvodnju prve aritmetičke operacije, predstavljaju sve, samo ne proizvod slobodne kreativnosti uma. Razmotriti, potrebno je da ne samo da stavke ne budu nevažeći, ali imaju mogućnost da se ometaju pri razmatranju ovih predmeta iz svih ostalih svojstava, a osim broja, a ta je sposobnost rezultat dužeg povijesnog razvoja zasnovanog na iskustvu . Kao koncept broja i koncept slike posuđen je isključivo iz vanjskog svijeta, a nije se pojavio u šefu čistog razmišljanja. Trebalo bi postojati stvari koje imaju određeni oblik, a ti su oblici trebali biti upoređeni prije nego što je bilo moguće doći do koncepta slike. "

Razmislite da li postoje pojmovi u nauci koji se stvaraju bez komunikacije s prošlim napretkom nauke i tekućeg napretka prakse. Znamo da je savršeno dobro da naučna matematička kreativnost prethodi studija mnogih subjekata u školi, univerzitetu, čitanje knjiga, članka, razgovora sa stručnjacima u vlastitom polju i u drugim oblastima znanja. Matematika živi u društvu, a iz knjiga, na radiju, iz drugih izvora, saznaje o problemima koji nastaju u nauci, inženjerstvu, javnom životu. Pored toga, razmišljanje o istraživaču je pod utjecajem čitave prethodne evolucije naučne misli. Stoga se ispostavilo da se pripremi. Rješavanje određenih problema potrebnih za napredak nauke. Zato naučnik ne može iznijeti probleme proizvoljnosti, i treba stvoriti matematičke koncepte i teorije koji bi bili vrijedni za nauku, za ostale istraživače, za čovječanstvo. Ali matematičke teorije zadržavaju svoj značaj u uvjetima različitih javnih formacija i povijesne epohe. Pored toga, često iste ideje nastaju od naučnika koji ni na koji način nisu međusobno povezani. Ovo je dodatni argument protiv onih koji se pridržavaju koncepta slobodne kreativnosti matematičkih koncepata.

Dakle, rekli smo ono što ulazi u koncept "matematike". Ali postoji i takav koncept kao primijenjena matematika. Prema tome razumije kombinaciju svih matematičkih metoda i disciplina koje su aplikacije izvan matematike. U antici, geometrija i aritmetika zamislili su sva matematika i, jer su ostali pronašli brojne prijave tokom trgovinskih razmjena, mjernih područja i volumena, u navigacijskim pitanjima, sve matematike nisu bile samo teoretske, već su se takođe nisu bile samo teoretske, već su se također nisu bile samo teoretske, već su se također nisu primijenile. Kasnije, B. Drevna Grčka, primijenjeno je razdvajanje matematike i matematike. Međutim, svi izvanredni matematičari bili su uključeni u prijave, a ne samo čisto teorijske studije.

Daljnji razvoj matematike kontinuirano je povezan sa napretkom prirodne nauke, tehnologije, uz pojavu novih socijalnih potreba. Do kraja XVIII veka. Bilo je potrebe (prije svega u vezi s problemima navigacije i artiljerije) stvaranje matematičke teorije kretanja. To je učinjeno u svojim radovima G. V. Leibnitz i I. Newton. Primijenjena matematika nadopunjana s novom vrlo moćnom metodom studije - matematička analiza. Gotovo istovremeno, potrebe demografije, osiguranja dovele do formiranja započele su teoriju vjerojatnosti (vidi vjerojatnost teorijom). XVIII i XIX vekovima. Sadržaj primijenjene matematike proširen je dodavanjem teorije diferencijalnih jednadžbi običnog i sa privatnim derivatima, jednadžbi matematičke fizike, elemenata matematičke statistike, diferencijalne geometrije. XX vek Donio nove metode matematičkih istraživačkih praktičnih zadataka: teorija slučajnih procesa, teoriju grafikona, funkcionalne analize, optimalna kontrola, linearna i nelinearna programa. Štaviše, ispostavilo se da je teorija brojeva i apstraktne algebre pronašle neočekivane aplikacije za zadatke fizike. Kao rezultat toga, uvjerenje je počelo osigurati da primijenjena matematika kao zasebna disciplina ne postoji i sva matematika se mogu smatrati primijeniti. Možda nije potrebno reći da se matematika primjenjuje i teorijska, ali da je matematika podijeljena u odobrenja i teoretičare. Za neku matematiku je način znanja o okolnom svijetu i pojavljujući se u njenim pojavama, u tu svrhu je da se naučnik razvija i proširuje matematičko znanje. Za druge, matematika po sebi je cijeli svijet, dostojan studija i razvoja. Za napredak nauke, naučnici su potrebni i drugi plan.

Matematika, prije studiranja sa svojim metodama, neki fenomen stvara svoj matematički model, tj. Popisuje sve značajke fenomena koji će biti uzete u obzir. Model prisiljava istraživaču da odabere ta matematika koja će omogućiti prilično adekvatno za prenošenje osobina proučarenog pojava i njegove evolucije. Kao primjer, uzmite model planetarnog sistema: sunce i planete tretiraju se kao materijalne točke s odgovarajućim masama. Interakcija svaka dva boda određuje se snagom privlačnosti između njih.

gdje su m 1 i m masa interaktivnih točaka, r je udaljenost između njih, a F je konstantna. Uprkos svim jednostavnosti ovog modela, već je već tri stotine godina s velikom tačnošću, karakteristikama kretanja planeta solarnog sustava.

Svaki model kaputa važe, a zadatak istraživača sastoji se prije svega u predlaganju modela prenosa, s jedne strane, najneotkrivene stvarne strane kućišta (kao što je uobičajeno govoriti, njegove fizičke karakteristike) i na Drugi - daje značajno približavanje stvarnosti. Naravno, za isti fenomen možete ponuditi nekoliko matematičkih modela. Svi oni imaju pravo postojati sve dok se ne počne utjecati na značajnu odstupanje između modela i stvarnosti.

Matematika je nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima važećeg svijeta. U nerasporedivoj vezi s zahtjevima nauke i tehnologije, rub kvantitativnih odnosa i prostornih oblika koje se proučava matematika kontinuirano se širi, tako da se gornja definicija mora razumjeti u općem smislu.

Svrha studije matematike je povećati cjelokupni izgled, kultura razmišljanja, formiranje znanstvenog svjetskog pregleda.

Razumijevanje neovisnog položaja matematike kao specijalne nauke postalo je moguće nakon nakupljanja dovoljno velikog stvarnog materijala i prvi put u drevnoj Grčkoj ugradila u VI-V vekovima na našoj eri. Bio je to početak perioda osnovne matematike.

U tom periodu matematičke studije bave se samo prilično ograničenom rezervom osnovnih koncepata koji su nastali sa najlakšim zahtjevima ekonomskog života. Istovremeno, kvalitativno poboljšanje matematike kao nauke već se događa.

Moderna matematika često se u usporedbi s velikim gradom. Ovo je odlična usporedba, jer u matematici, kao u velikom gradu, postoji kontinuirani proces rasta i poboljšanja. Izgrađena su nova područja u matematici, gracioznim i dubokim novim teorijama, slično izgradnji novih četvrti i zgrada. Ali napredak matematike nije smanjen samo na promjenu u licu grada zbog izgradnje novog. Morate promijeniti staru. Stare teorije su uključene u novo, općenitije; Potrebno je ojačati temelje starih zgrada. Potrebno je položiti nove ulice za uspostavljanje veza između udaljenih četvrtina matematičkog grada. Ali to nije dovoljno - arhitektonski dizajn zahtijeva značajan napor, jer razlika u različitim matematičkim regijama ne samo da pokvari ukupni dojam nauke, već i ometaju razumijevanje nauke općenito, uspostavljanje povezanosti raznih dijelova.

Često se koristi druga usporedba: matematika su poput velikog obrnog stabla, što sustavno daje nove izdate. Svaka grana stabla je jedna ili druga regija matematike. Broj podružnica ne ostaje nepromijenjen, jer su nove grane rastu, zajedno rastu, prvo su se rasle, neke od grana osušene, lišene prehrambenih sokova. Obje usporedbe su uspješne i vrlo dobro prenose stvarnu situaciju.

Nema sumnje da zahtjev ljepote igra veliku ulogu u izgradnji matematičkih teorija. Nepotrebno je da je osjećaj ljepote vrlo subjektivan i često ima dovoljno ružnih ideja o tome. A ipak, potrebno je iznenaditi i jednoglasnost, koji uloženi matematičari u koncept "Ljepote": Rezultat se smatra lijepim ako je od malog broja uvjeta moguće dobiti opći zaključak koji se odnosi na širok raspon koji se odnosi na širok raspon objekata. Matematički zaključak smatra se lijepim ako u njemu postoji jednostavno i kratko obrazloženje kako bi dokazao značajnu matematičku činjenicu. Zrela matematika, njegov talenat je pogođen koliko je razvijeno ima osjećaj ljepote. Estetski završeni i matematički savršeni rezultati lakše su razumjeti, sjećati se i koristiti; Lakše je identificirati njihov odnos s drugim područjima znanja.

Matematika u našem vremenu pretvorila se u naučnu disciplinu s raznim istraživačkim smjerovima, ogroman broj rezultata i metoda. Matematika je sada toliko velika da ne postoji mogućnost da je jedna osoba ne pokrije u svim svojim dijelovima, ne postoji mogućnost da budem univerzalni specijalista. Gubitak veza između njegovih pojedinih pravaca svakako je negativan učinak brzog razvoja ove nauke. Međutim, razvoj svih industrija matematike je zajednički - porijeklo razvoja, korijenje stabla matematike.

Euklidejska geometrija kao prva prirodna teorija nauke

• U III Century BC, knjiga euklideja pojavila se u Aleksandriji sa istim imenom, u ruskom prevodu "počeo". Od latinskog imena "počelo je" pojam "osnovna geometrija". Unatoč činjenici da su sastavi Euclideovih prethodnika nisu dosegli nas, možemo donijeti malo mišljenja o tim esejima na "početku" Euclidea. U "početku" postoje sekcije, logično vrlo malo povezane s drugim odjeljcima. Njihov izgled objašnjava se samo činjenicom da ih izvrši tradicija i kopiraju "početak" prethodnika euklida.

  Euklid "početak" sastoji se od 13 knjiga. 1 - 6 Knjige su posvećene Planimetry, 7 - 10 knjiga - o aritmetičkim i nesamjerbilnim vrijednostima koje se mogu graditi cirkulacijom i ravnalom. Knjige od 11 do 13 bile su posvećene stereometriji.

  "Početak" počnite sa izjavom o 23 definicije i 10 aksioma. Prvih pet aksioma su "zajednički pojmovi", ostatak se nazivaju "postulati". Prva dva postulata određuju akcije uz pomoć idealne linije, treće - uz pomoć idealnog cirkulacije. Četvrto, "svi ravni uglovi jednaki su jedni drugima", nepotrebno je, jer se može ukloniti iz ostalih aksioma. Potonji, peti postulat Pročitajte: "Ako direktno padne u dvije ravne linije i oblikova interne jednostrane uglove u iznosu manjom od dva direktna, a zatim neograničenim nastavkom ove dvije ravne linije, preći će s druge strane na kojoj će uglovi su manji od dva direktna. "

  Pet " zajednički pojmovi"Euclidea je principi merenja duljina, uglova, područja, volumena:" jednaka istoj jednaki su jedni drugima "," ako je jednak jednakim jednakim ",", "ako su jednakim" Ostaci su jednaki jedno drugom "," koji su međusobno, međusobno su jednaki "," "čitav više".

  Zatim je započela kritiku euklidejskog geometrije. Euclide su kritizirani iz tri razloga: jer razmatraju samo takve geometrijske vrijednosti koje se mogu izgraditi korištenjem cirkulacije i ravnala; Za činjenicu da je puknula geometrija i aritmetika i tvrdio za cijele brojeve, što se već pokazalo za geometrijske vrijednosti, a konačno za euklidea axioms. Peti postulat najviše kritizira, najteži euklid post. Mnogi su ga smatrali suvišnim i da može i treba ukloniti iz drugih aksioma. Drugi su vjerovali da ga treba zamijeniti jednostavnijim i vizualnima, ekvivalentnim mu: "Nakon točke izvan ravno, možete provesti u njihovom avionu ne više od jednog direktnog, što ne prelazi ovo ravno."

  Kritika jaza između geometrije i aritmetike dovela je do širenja koncepta broja na stvarni broj. Sporovi o petom postulatu doveli su do činjenice da rani Xix. Stoljeća N.Lobachevsky, I. Bayyai i K.F.gauss izgradio je novu geometriju u kojoj su izvedeni svi aksiomi euklidske geometrije, s izuzetkom petog postulata. Zamijenio ga je suprotna izjava: "U avionu kroz tačku izvan ravno, možete potrošiti više od jednog direktnog, a ne presijecati to." Ova geometrija bila je dosljedna kao i geometrija euklida.

  Lobachevsky Planimetry Model na euklidejskoj ravnini sagradio je francuski matematičar Henri Poincaré 1882. godine.

  U euklidejskoj ravnini crtamo vodoravnu ravnu liniju. Ovo direktno se naziva apsolutnom (x). Točke euklidskog ravnine koje su pod gore navedenim apsolutom su točke Lobačevskog ravnine. Lobačevski avion je otvoreni polu-avion, koji je iznad apsolutnog. Nevklidovy segmenti u modelu Poincaré su lukovi krugova sa središtem na apsolutnom ili segmentu direktnog, okomitskog apsolutnog (AB, CD). Slika na Lobačevskom ravninu - figura otvorenog polu-aviona u kojoj se nalazi gore navedena apsolutna (f). Neevklidovo kretanje je sastav konačnog broja inverzija sa središtem na apsolutnoj i aksijalnoj simetri čije su osovine okomito na apsolutnu. Dva segmenta koja nisu djeca jednaki su ako je jedan od njih ne-dječji pokret može se prevesti u drugu. Ovo su osnovni pojmovi aksiomatike planinerije Lobačevskog.

  Svi aksiomi planinetrže Lobachevsky se sastoje. "Nevklidova je direktna - ovo je polu-brza brzina s krajevima na apsolutnom ili snopu s početkom apsolutnog i okomitog apsolutnog." Stoga se tvrdnja paralelizma Lobachevsky izvodi ne samo za neke direktne A i točke A, što ne leži na ovom ravnom, već i za bilo koji direktan A i svako ko ne leži na njemu. A.

  Ostale dosljedne geometrije izlazi za geometrija Lobachevsky: Projektivna geometrija odvojena od euklidara, pojavila se višedimenzionalna euklidejska geometrija, pojavila se Riemanska geometrija (ukupna teorija prostora sa proizvoljnim zakonom o mjerenju zakona) i drugima. Od nauke o figurama u jednoj tridimenzionalnom Euklidejsko svemirska geometrija za 40 - 50 godina postala je zbirka različitih teorija, samo u nečemu sličnom svom preku - euklidejskoj geometriji.

  Glavne faze formiranja moderne matematike. Struktura moderne matematike

• Akademik A.N. Kolmogorov izdvaja četiri razdoblja razvoja matematike Kolmogorov A.n. - Matematika, matematički enciklopedski rječnik, Moskva, sovjetska enciklopedija, 1988: Porijeklo matematike, osnovne matematike, matematike varijabilnih vrijednosti, moderne matematike.

  Tokom razvoja osnovne matematike iz aritmetike, teorija brojeva postepeno raste. Algebra se kreira kao kalkulacija slova. Naseljeni stari Grci, sustav prezentacije osnovne geometrije - euklidejske geometrije - za dva milenijuma unaprijed napravljen je uzorak deduktivne izgradnje matematičke teorije.

  U XVII veku, zahtevi prirodne nauke i tehnologije doveli su do stvaranja metoda koji matematički omogućuju proučavanje pokreta, promjene vrijednosti vrijednosti, transformacije geometrijske figure. Upotrebom varijabli u analitičkoj geometriji i stvaranju diferencijalnog i integralnog izračuna započinje razdoblje matematike varijabli. Velika otkrića XVII veka je koncept beskonačno male veličine koje je uvodio Newton i Leibniz, stvaranje temelja analize beskonačno manjih vrijednosti (matematičke analize).

  Koncept funkcije se iznosi naprijed. Funkcija postaje glavni predmet studija. Studija funkcije dovodi do osnovnih pojmova matematičke analize: granica, derivat, diferencijal, integralni.

  Do ovog trenutka pojava sjajnih ideja R. DeKarta o metodi koordinate. Stvorena je analitička geometrija koja vam omogućava da studirate geometrijske predmete od strane algebri i metoda analize. S druge strane, metoda koordinata otkrila je mogućnost geometrijskog tumačenja algebarske i analitičke činjenice.

  Daljnji razvoj matematike doveo je na početku XIX vijeka do formulacije problema proučavanja mogućih vrsta kvantitativnih odnosa i prostornih oblika s dovoljno opće prikazivanja.

  Priključak matematike i prirodne nauke postaje sve sve više i više složeni oblici. Nastaju nove teorije i nastaju ne samo kao rezultat zahtjeva prirodne nauke i tehnologije, već i kao rezultat interne potrebe matematike. Divan primjer takve teorije je imaginarna geometrija N.I.lobachevsky. Razvoj matematike u XIX i XX vekovima omogućava da se pripisuje u periodu savremene matematike. Razvoj same matematike, matematizacija raznih naučnih područja, prodor matematičkih metoda u mnogim oblastima praktične aktivnosti, na primjer, napredak računarske tehnologije doveo je do pojave novih matematičkih disciplina, na primjer, studiju operacija, igru Teorija, matematička ekonomija i drugi.

  Glavne metode matematičkih studija su matematički dokazi - strogo logično rezonovanje. Matematičko razmišljanje nije smanjeno samo na logično rezonovanje. Za pravilnu formulaciju problema, matematička intuicija je neophodna za procjenu izbora metode svog rješenja.

  Matematički modeli objekata proučavaju se u matematici. Isti matematički model može opisati svojstva stvarnih pojava jedna od druge. Dakle, isto diferencijalna jednadžba Može opisati procese rasta stanovništva i raspada radioaktivne supstance. Za matematiku je priroda objekata koji se razmatraju, ali odnos između njih.

  U matematici koristite dvije vrste zaključaka: odbitak i indukciju.

  Indukcija - metoda studije u kojoj opšti zaključak Izgrađen na osnovu privatnih parcela.

  Odbitak je način obrazloženja, putem kojih se pravi privatni zaključak slijedi od zajedničkih parcela.

  Matematika igra važnu ulogu u prirodnim naučnim, inženjernim i humanitarnim studijama. Razlog prodora matematike u raznim granama znanja je taj što nudi vrlo jasne modele za proučavanje okolne stvarnosti, za razliku od manje općeg i više nejažnih modela koje nude druge nauke. Bez moderne matematike sa razvijenim logičkim i računarskim uređajima, napredak bi bio nemoguć u različitim poljima ljudske aktivnosti.

  Matematika nije samo moćno sredstvo rješavanja primijenjenih zadataka i univerzalnog naučnog jezika, već i element zajedničke kulture.

  Glavne karakteristike matematičkog mišljenja

• Prema ovom pitanju, karakteristika matematičkog razmišljanja posebno je interesovanje, data A. Hynchin, ili bolje rečeno, njegov betonski povijesni oblik - stil matematičkog razmišljanja. Otkrivanje suštine stila matematičkog mišljenja, ističe četiri zajedničke karakteristike za sve ere, primjetno razlikovati ovaj stil od stilova razmišljanja u drugim naukama.

  Prvo, za matematiku karakteriše dominacija logičke sheme obrazloženja. Matematičar, koji je izgubio, barem privremeno, van pogleda, ova šema je općenito lišena mogućnosti da naučno razmišlja. Ovaj osebujan stil matematičkog razmišljanja ima puno vrijednih. Očito vam omogućava da slijedite ispravnost protoka misli i garancija od grešaka; S druge strane, prisiljava razmišljanje prilikom analize da ima pred svojim očima čitav niz raspoloživih mogućnosti i obvezuje ga da uzme u obzir svakog od njih, a ne nedostajući nikome (takve vrste prelaza je sasvim moguće i zapravo se često primjećuju i zapravo se često promatraju Ostale stilove razmišljanja).

  Drugo, lakonicizam, I.E. Svjesna želja da uvijek pronađe najkraće što vodi do ovog cilja logičkog puta, nemilosrdno odbacivanje svega što je apsolutno neophodno za savršenu punoću argumenta. Matematički esej dobrog stila, ne podnosi neku "vodu", bez ukrašavanja, slabi logičke napetosti, odvraća se sa strane; Maksimalna krutost, oštra ozbiljnost mišljenja i njegova prezentacija predstavljaju integralnu vuču matematičkog razmišljanja. Ova značajka ima veću vrijednost ne samo za matematičku, već i za bilo koje drugo ozbiljno obrazloženje. Lakonis, želja za sprečavanjem nečeg nepotrebnog, pomaže i samog razmišljanja, a njegov čitalac ili slušatelj u potpunosti se fokusiraju na taj način razmišljanja, a da ne budu ometane bočne ideje i bez gubitka izravnog kontakta sa glavnom linijom reprodukcije.

  Coriferations of Science, u pravilu, razmišljaju i konkretno se betoniraju u svim područjima znanja, čak i kada ideja o njima stvara i izlaže u osnovi nove ideje. Kakav je veličanstveni dojam, na primjer, plemeniti nesreća misli i govora najvećih stvaralaca fizike: Newton, Einstein, Nielsa Bor! Možda je teško pronaći svjetliji primjer koliko duboki utjecaj može imati stil razmišljanja svojih kreatora na razvoju nauke.

  Za matematiku, lakonid misli je nastavljen, kanonizirani stoljeći po zakonu. Svaki pokušaj opterećenja prezentacije nije nužno potreban (iako su i ugodni i fascinantni za slušatelje) s slikama, distrakcijama, a prijeđite na pravnu sumnju i automatski izaziva kritičnu upozorenje.

  Treće, jasno rastavljanje napretka. Ako, na primjer, u slučaju dokaza o bilo kojoj rečenici, moramo razmotriti četiri moguća slučaja, od kojih se svi mogu podijeliti na brojne subherkere, a zatim u svakom trenutku obrazloženja matematičarka bi se jasno sjećala, u tom slučaju suzbila Njegova misao je sada stečena i u kojim slučajevima i sude i dalje ostaje da razmotri. Sa bilo kojim razgranatim transferima, matematičar mora platiti izvještaj u bilo kojem trenutku u kakvom konceptu navodi komponente svojih koncepta vrsta. U običnom, ne naučnom razmišljanju, prilično često opažamo u takvim slučajevima miješanja i skokova, što dovodi do zbrke i grešaka u obrazloženje. Često se dešava da je osoba počela da nabrojite svoje vrste neke vrste, a zatim neprimetno za studente (i često za sebe), koristeći nedovoljnu logičku diskriminaciju obrazloženja, preuređene u drugi rod i dovršava izjavu da su sada obje vrste klasificirano; A slušatelji ili čitači ne znaju gdje granica vodi između vrsta prve i druge vrste.

  Da bi se takvo miješanje učinilo nemoguće, matematika dugo se široko koristi jednostavnim vanjskim brojem numeriranja koncepata i prosudbi, ponekad (ali mnogo manje) u drugim naukama. Ti mogući slučajevi ili ti generički koncepti koji bi trebali biti razmotriti u ovom obrazložnju unaprijed su removi; Unutar svakog takvog slučaja, oni koji su pod utjecajem subtena, koji sadrži također prebrojen (ponekad da se razlikuju sa bilo kojim drugim brojevnim sistemom). Prije svakog paragrafa, gdje započinje razmatranje novog subllitistanstva, postavlja se ovom proširivanju (na primjer: II 3 - to znači da se treći slučaj trećeg slučaja smatra ovdje ili opis treće vrste sekunde vrsta, ako je riječ o klasifikaciji). A čitatelj to zna do tada, sve dok on neće nadmašiti novi brojčani tarifni broj, svi su navedeni odnosi samo na tu priliku i suberal. Sebe, naravno, da takav numeriranje služi samo vanjskim prijemom, vrlo korisnim, ali nije obavezan, a suština slučaja nije u njemu, već u izrazitoj rastavljanju argumentacije ili klasifikacije, koje stimulira i označava ga.

  Četvrta, skrupularna tačnost simbola, formula, jednadžbe. To jest, "Svaki matematički simbol ima strogo definiranu vrijednost: u pravilu zamjenjujući ga drugim simbolom ili permutacijom na drugo mjesto, podrazumijeva izobličenje, a ponekad i potpuno uništavanje značenja ove izjave."

  Istaknući glavne karakteristike matematičkog stila razmišljanja, A.Ya.Hinchin napominje da matematika (posebno matematika varijabilnih vrijednosti) po svojoj prirodi ima dijalektičku prirodu, te stoga doprinosi razvoju dijalektičkog razmišljanja. Zaista, u procesu matematičkog razmišljanja, interakcija vizualnog (betona) i konceptualne (sažetak). "Ne možemo smisliti linije", napisao je ne možeš, ", a da ne bi mentalno ne smislili, ne možemo smisliti tri dimenzije, bez trošenja, od jedne triderine na jedni druge linije".

  Interakcija betona i apstraktnog "LED" matematičkog razmišljanja na razvoj novih i novih koncepata i filozofskih kategorija. U antičkoj matematici (matematika stalnih vrijednosti) bili su "broj" i "prostor", koji su se prvotno odrazili na aritmetičku i euklidejsku geometriju, a kasnije i u algebrima i različitim geometrijskim sistemima. Matematika varijabli "na konceptima u kojima se ogledalo kretanje materije -" konačno "," beskonačno "," kontinuitet "," diskretni "," beskonačno mali "," derivat "," izvedeni ", itd.

  Ako govorimo o modernoj istorijskoj fazi razvoja matematičkog znanja, to ide u skladu s daljnjim razvojem filozofskih kategorija: teorija vjerojatnosti "majstori" mogućih i nasumičnih; Topologija - kategorije odnosa i kontinuiteta; Teorija katastrofa - kategoriju skoka; Teorija grupa - kategorije simetrije i sklada itd.

  U matematičkom razmišljanju izražavaju se glavni obrasci izgradnje sličnog u obliku logičkih veza. Uz pomoć, prelazak iz jedne (recimo iz određenih matematičkih metoda - aksiomatskih, algoritamskih, konstruktivnih, teorijskih i drugih) do posebnog i općeg, na generalizirane deduktivne zgrade. Jedinstvo metoda i objekata matematike određuje specifičnosti matematičkog mišljenja, omogućava vam da razgovarate o posebnom matematičkom jeziku, u kojem se ne odražava samo stvarnost, već i sintetizirani, sažeti, naučno znanje predviđa se. Snaga i ljepota matematičke misli - u ograničavajućim jasnoćima svoje logike, milost struktura, vještih izgradnje apstrakcijama.

  U osnovi nove mogućnosti mentalne aktivnosti otvorene sa izumom računara, sa stvaranjem matematike mašine. Na jeziku matematike bilo je značajnih promjena. Ako se jezik klasične računarske matematike sastojao od formula algebre, geometrije i analize, fokusiranih na opis kontinuiranih procesa proučavanja prirode, prvenstveno u mehaniku, astronomiju, fiziku, njegov moderni jezik je jezik algoritama i programa, uključujući Stari jezični formuli kao privatni slučaj.

  Jezik modernog računarstva matematika postaje sve svestraniji, sposobni da opisuje složene (multi-parametske) sisteme. Istovremeno, želim naglasiti da je bilo što savršeno matematički jezik, poboljšana elektronskim računarskim opremom, ne nameće veze s raznovrsnim "živim", prirodnim jezikom. Štaviše, razgovorni jezik je baza za umjetnu jeziku. S tim u vezi, zanimljivo je nedavno otkriće naučnika. To je činjenica da je drevni jezik Indijanaca Aimare, koji govori oko 2,5 miliona ljudi u Boliviji i Peruu, bio je izuzetno pogodan za računalnu opremu. Već 1610. italijanski misionar-jezuit Louis Burtoni, koji je bio prvi rječnik Aimar, primijetio genij njegovih kreativaca koji su postigli visoku logičku čistoću. Na primjer, u Aimar-u, na primjer, ne postoje pogrešni glagoli i nema iznimka od nekoliko jasnih gramatičkih pravila. Ove karakteristike jezika cilja omogućili su bolivijskoj matematici da stvori sistem sinhronog računarskog prevođenja sa bilo kojeg od pet evropskih jezika koji su postavljeni u programu, "most" između kojih je aimar. EMM "AMARA", koju je stvorio Bolivijski naučnik, dobio je veliku procjenu stručnjaka. Rezimiranje ovog dijela pitanja suštine matematičkog stila razmišljanja, treba napomenuti da je njegov glavni sadržaj razumijevanje prirode.

  Aksiomatična metoda

• Aksiomatika je glavni način za izgradnju teorije, sa antikom i do danas potvrđujući svoju svestranost i sve primjene.

  Osnova izgradnje matematičke teorije je aksiomatska metoda. Osnova naučne teorije su neke početne odredbe koje se nazivaju aksiomi, a sve ostale odredbe teorije dobivaju se kao logičke posljedice aksioma.

  Aksiomatična metoda pojavila se u drevnoj Grčkoj, a u ovom trenutku se primjenjuje u gotovo svim teorijskim naukama, a prije svega u matematici.

  Upoređujući tri, u određenom poštovanju, komplementirajući jedni druge geometrije: Euklid (parabolic), Lobačevsky (hiperbolički) i Riemannov (eliptični), treba napomenuti da zajedno s nekim sličnostima nalazi se velika razlika između sferne geometrije, s jedne strane i euklidejske geometrije i lobačevsky - s druge strane.

  Autohtona razlika savremene geometrije je da sada pokriva "geometrija" beskonačnog mnoštva različitih imaginarnih prostora. Međutim, treba napomenuti da su sve ove geometrije tumačenja euklidejske geometrije i zasnivaju se na aksiomatičnoj metodi prvi put korištenim euklidom.

  Na osnovu istraživanja, aksiomatska metoda je razvijena i rasprostranjena. Kao poseban slučaj primjene ove metode, metoda tragova stereometrije koristi se za rješavanje problema izgradnje dionica u Polyhedra i nekih drugih pozicionih zadataka.

  Aksiomatična metoda razvijena na početku u geometriji sada je postala važan instrument studija i u drugim odjeljcima matematike, fizike i mehaničari. Trenutno se u toku rad na poboljšanju i dublje studije aksiomatske metode za izgradnju teorije.

  Aksiomatična metoda izgradnje naučne teorije je izdvajanje glavnih koncepata, formulaciju aksioma teorija, a sve ostale izjave izvedeni su logičkim putem, na osnovu njih. Poznato je da jedan koncept treba objasniti uz pomoć drugih, koji se zauzvrat, također određuju korištenjem poznatih koncepata. Stoga dolazimo do osnovnih koncepata koji se ne mogu odrediti preko drugih. Ovi se pojmovi nazivaju osnovnim.

  Kada dokažemo odobrenje, teorem, zatim se oslanjamo na preduvjete koji se smatraju već dokazanim. Ali dokazani su i ovi preduvjeti, trebali su opravdati. Na kraju dolazimo do ne dokazanih izjava i prihvaćamo ih bez dokaza. Te se izjave nazivaju aksiomima. Set Axiom trebao bi biti takav da se oslanjajući na njega, moglo bi se pokazati daljnjim navodima.

  Istaknući osnovne pojmove i formuliranje aksioma, tada potječumo teoremi i druge koncepte logičnim putem. Ovo je logička struktura geometrije. Aksiomi i osnovni pojmovi predstavljaju osnovu planomije.

  Budući da je nemoguće dati jedinstvenu definiciju osnovnih pojmova za sve geometrije, osnovni pojmovi geometrije trebaju biti definirani kao predmeti bilo koje prirode koji zadovoljavaju aksiome ove geometrije. Dakle, u aksiomatskoj konstrukciji geometrijskog sistema, idemo iz nekog aksioma sistema ili aksiomatike. Ovi aksiomi opisuju svojstva osnovnih koncepata geometrijskog sistema, a osnovna koncepta možemo predstaviti u obliku objekata bilo koje prirode koji imaju svojstva navedena u aksiomima.

  Nakon formulacije i dokaza o prvim geometrijskim izjavama, postaje moguće dokazati neke navode (teoreme) uz pomoć drugih. Dokaz o mnogim teoremi pripisuju se Pitagori i demokstritstvu.

  Hipocrata Chiosky pripisuje se pripremi prvog sistematskog toka geometrije na osnovu definicija i aksioma. Ovaj kurs i njena naknadna obrada zvani su "elementi".

  Aksiomatična metoda za izgradnju naučne teorije

• Stvaranje deduktivne ili aksiomatske metode izgradnje nauke jedno je od najvećih dostignuća matematičke misli. Zahtijevalo je rad mnogih generacija naučnika.

  Prekrasna karakteristika deduktivnog sistema prezentacije je jednostavnost ove konstrukcije, što omogućava da ga opiše u nekoliko riječi.

  Deduktivni sistem prezentacije je smanjen:

  1) na popis osnovnih pojmova,

  2) na izjavu o definicijama

  3) na akciju aksioma,

  4) da predstave teoreme

  5) Dokaz ovih teorema.

  Aksioma - odobrenje uzeto bez dokaza.

  Teorem je izjava koja proizlazi iz aksioma.

  Dokaz je sastavni dio deduktivnog sistema, to je rezonovanje, što pokazuje da istina izjave logično podrazumijeva logično iz istine prethodnih teorema ili aksioma.

  Unutar deduktivnog sustava, dva pitanja ne mogu se riješiti: 1) na značenje osnovnih koncepata, 2) o istini Aksioma. Ali to ne znači da su ta pitanja uglavnom nerastvorljiva.

  Istorija prirodnih nauka pokazuje da se mogućnost aksiomatske konstrukcije jedne ili druge nauke pojavljuje samo na prilično visokom nivou razvoja ove nauke, zasnovane na velikom stvarnom materijalu, omogućava vam da jasno identificirate glavne veze i odnose koji postoje između predmeti koji proučavaju ove nauke.

  Uzorak aksiomatske konstrukcije matematičke nauke je elementarna geometrija. Sistem aksioma geometrije postavljen je euklidom (oko 300 g. BC) u nenadmašnom radu "počeo". Ovaj sistem u glavnim karakteristikama sačuvan je do danas.

  Osnovni pojmovi: tačka, ravna, avion osnovne slike; Niži između, pripadajući, kretanja.

  Osnovna geometrija ima 13 aksioma koji su podijeljeni u pet grupa. U petijoj grupi, jedan aksiom na paralelnoj (v je euklid post): Kroz tačku u avionu, možete potrošiti samo jedan direktan, što ne prelazi ovo direktno. Ovo je jedini aksiom koji je uzrokovao potrebu za dokazima. Pokušaji dokazivanja petog postulata okupirali su matematičare više od 2 hiljade godina, do prve polovine 19. veka, I.E. Sve dok se Nikolaj Ivanovič Lobachevsky dokažio u svojim spisima potpuna beznadežnost ovih pokušaja. Trenutno je nepunačnost petog postulata strogo dokazana matematička činjenica.

  Aksioma o paralelnoj n.i. Lobačevsky je zamijenio aksiom: Neka u ovom avionima nalazi ravno i leže izvan ravne točke. Nakon ove tačke, možete potrošiti na datom direktnu, barem dva paralelna ravno.

  Od novi sistem Aksiom n.i. Lobačevski s besprijekornim logičkim strogom donijelo je vitki sistem teoremi koji čine održavanje geometrije ne djeteta. I geometrije Euklida i Lobačevskog, kao lobički sustavi su jednaki.

  Tri velika matematika u 19. stoljeću gotovo istovremeno, nezavisno jedni od drugih došla je do jednog rezultata neprofinitivo petog postulata i stvaranju ne djeci.

  Nikolai Ivanovič Lobachevsky (1792-1856)

  Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Boyai (1802-1860)

  Matematički dokazi

• Glavna metoda matematičkih studija su matematički dokazi - stroga logična rezonacija. Zbog objektivne potrebe, odgovarajući član krugova RAN L.D. KUDRAAVTSEV KUDRAAVTSEV L.D. - Moderna matematika i njena podučavanja, Moskva, nauka, 1985., logički argumenti (koji po prirodi, ako su u pravu, su strogi), predstavljaju metodu matematike, bez njih, bez njih, matematika se ne razmatraju. Treba napomenuti da matematičko razmišljanje ne smanjuje samo na logično rezonovanje. Da bismo pravilno naveli zadatak, za procjenu njegovih podataka, da izdvojite suštinu intuiciju, potrebno je spriječiti njegovo rješenje za svoje rješenje, što vam omogućuje da predvidimo željeni rezultat prije nego što se dobije, obrišite put studijnog rezoniranja . Ali valjanost činjenice koja se razmatra ne provjerava se na brojne primjere, a ne brojne eksperimente (što po sebi igra veliku ulogu u matematičkim studijama), ali čisto logični put, prema formalnim zakonima logika.

  Vjeruje se da je matematički dokaz istina u posljednjem stupnju. Rješenje koje se temelji na čistoj logici jednostavno ne može biti netačno. Ali uz razvoj nauke i zadataka ispred matematike su sve složeniji.

  "Ušli smo u eru kada je matematički aparat postao toliko komplikovan i nezgrapan da se na prvi pogled nije mogao reći - istiniti ili ne ispuniti zadatak", u SAD-u Kate u SAD-u. Dovodi do primjera "klasifikacije jednostavnih konačnih skupina", koji je formuliran 1980. godine, a potpuno ih je do sada precizno privukao. Najvjerovatnije je teorema vjerna, ali nemoguće je o tome razgovarati.

  Računalno rješenje je također nemoguće biti nazvan precizno, jer takvi proračuni uvijek imaju grešku. Godine 1998. hales je predložilo rješenje HEPLER teoreme koristeći računar formuliran u 1611. godine. Ova teorema opisuje najdužu pakiranje kuglica u prostoru. Dokaz je predstavljen na 300 stranica i sadržavao je 40000 linija strojno koda. 12 recenzenata je testirao odluku tokom godine, ali nikada nisu postigli sto posto povjerenja u ispravnost dokaza, a studiju je poslana u preradu. Kao rezultat toga, objavljeno je samo četiri godine i bez potpune certifikacije recenzenata.

  Svi posljednji proračuni za primijenjene zadatke izrađuju se na računaru, ali naučnici vjeruju da za veću pouzdanost matematički proračuni moraju biti predstavljeni bez grešaka.

  Teorija dokaza razvijena je u logici i uključuje tri strukturne komponente: tezu (ono što bi trebalo dokazati), argumentima (skup činjenica, općenito prihvaćene koncepte, zakone itd. (Postupak raspoređivanja dokaza) ; konzistentni lanac zaključaka Kada zaključak N-buke postaje jedan od parcela N + 1. zaključak). Dodijeljene su pravila dokaza, naznačene su moguće logičke pogreške.

  Matematički dokaz ima mnogo zajedničkog sa onim principima koji su uspostavljeni formalnom logikom. Štaviše, matematički pravila obrazloženja i operacija očito su služili kao jedno od osnova u razvoju postupka dokaza u logici. Konkretno, istraživači razvoja formalne logike da vjeruju da su u jednom trenutku, kada je Aristotel preuzeo prve korake za stvaranje zakona i propisa logike, okrenuo se matematičkim i pravnim aktivnostima. U tim izvorima pronašao je materijal za logičke konstrukcije namjeravane teorije.

  U 20. stoljeću, koncept dokaza izgubio je strogo značenje, što se dogodilo zbog otkrivanja logičkih paradoksa, koji se odvija u teoriji skupa i posebno u vezi s rezultatima, koje su donijele teorem K. GEDEL Nepotpuna formalizacija.

  Prije svega, dirnuo je sama matematike, u vezi s kojom je vjerovanje izraženo s tim izrazom "dokaz" nema tačnu definiciju. Ali ako takvo mišljenje (odvijaju i danas) utječe na sam matematiku, tada dođu do zaključka, prema kojima se dokaze trebaju biti u logičkom i matematičkom, već u psihološkom smislu. S tim se ovaj izgled nalazi na samom Aristoteru, koji je smatrao da bi bilo dokazati da će nas provesti obrazloženje koje bi nas uvjerilo u takav mjeri da, koristeći ga, koristeći druge. Pronađena je određena nijansa psihološkog pristupa A.E.I.Sennin-volpin. On se oštro protivi usvajanju istine bez dokaza, koji je povezuje s činom vjere, a zatim piše: "Ja zovem dokaz o prosudbi, nazivam iskren prijem koji ga čini neospornom prosudbom." Yesenin-volpin daje izvještaj da njegova definicija treba čak i u pojašnjenjima. Istovremeno, karakteristika dokaza kao "pošteni prijem" čini privlačnost moralne i psihološke procjene?

  Istovremeno, otkrivanje višestrukog teorijskog paradoksa i pojava gedelova teoreme samo je doprinijelo razvoju teorije matematičkih dokaza koji su poduzeli intuikativi, posebno konstruktivistički smjer i D.Gilbert.

  Ponekad se vjeruje da je matematički dokaz univerzalan i predstavlja idealnu verziju naučnih dokaza. Međutim, nije jedina metoda, postoje i drugi načini dokaznih procedura i operacija. Tačno je da matematički dokazi imaju puno sličnih formalnom logičkom, ostvarivom u prirodnoj nauci i da matematički dokazi imaju određenu specifičnost, kao i skup operacija prijema. O tome ćemo prestati, izostavljajući da je to općenito, to se odnosi na druge oblike dokaza, odnosno bez raspoređivanja u svim koracima (čak i glavnom) algoritmom, pravilima, greškama itd. Procesni dokaz.

  Matematički dokaz predstavlja obrazloženje, imajući zadatak da potkrijepi istinu (naravno, u matematičkom, odnosno kao izribilnost, smisao) bilo kojeg odobrenja.

  Skup pravila primijenjenih u dokazu formiran je zajedno s pojavom aksiomatskih konstrukcija matematičke teorije. Naj jasnije i u potpunosti implementirano je u geometriji euklida. Njegov "početak" postao je svojevrsni model standarda aksiomatske organizacije matematičkog znanja, a dugo je ostao kao takav za matematičare.

  Izjave koje su dostavljene u obliku određenog slijeda trebaju garantirati zaključak da se podliježe pravilima logičkog rada i smatra se dokazanim. Mora se naglasiti da je određeno obrazloženje dokaz samo u vezi sa nekim aksiomatskim sistemom.

  Kada karakterizira matematičke dokaze, izdvajaju se dvije glavne karakteristike. Prije svega, činjenica da matematički dokazi isključuju bilo kakve reference na Empirius. Čitav postupak za potkrijepljenje istine izlaza vrši se u okviru ubrzanog aksiomatike. Akademik A.D. Alksandrov, u vezi s tim, naglašava. Možete izmjeriti uglove trokuta hiljadu puta i provjerite jesu li jednaki 2D. Ali matematika neće ništa dokazati. Dokaće se ako donesete usklađenu tvrdnju iz aksioma. Ponovite. Ovde matematike i bliske metode skolastišt, koji takođe u osnovi odbijaju argument doživljavaju te činjenice.

  Na primjer, kada je otkrivena dolaznost segmenata, uz dokaz ove teoreme, žalba na fizički eksperiment je isključen, od prvog koncepta "ne-elementa" lišenog fizičkog značenja, i, drugo, drugo, Matematika i ne može se, baviti se apstrakcijom, privlačenje pomoći duljine specifične za stvarne, mjerene senzualnim vizuelnim prijemom. Potvrda se nepotpunost, stranke i dijagonale Trga, temelje se na imovini cijelih brojeva s uključivanjem pitagorejske teoreme na jednakost Trga hipotenuze (respektivno - dijagonalno) zbroj kvadrata Kateze (dvije strane pravokutnog trougla). Ili kada je Lobachevsky tražio potvrdu za svoju geometriju, koja se odnosi na rezultate astronomske zapažanja, ova potvrda su izvedeni od strane čisto špekulativne prirode. U interpretacijama nehvklide geometrije koje je izvelo Cali - Klein i Beltra također su se pojavili tipični matematički, a ne fizički objekti.

  Druga karakteristika matematičkih dokaza je njegova najveća apstrakcija koja se razlikuje od dokaznih postupaka u ostalim naukama. I opet, kao u slučaju koncepta matematičkog objekta, ne radimo se samo o stupnju apstrakcije, već o njegovoj prirodi. Činjenica je da visoka razina apstrakcijskog dokaza doseže i u nizu drugih nauka, na primjer, u fizici, kosmologiji i, naravno, u filozofiji, jer predmet potonji postaje granični problemi biti i razmišljanje. Matematika se odlikuje činjenicom da postoje varijable, od kojih je značenje u distraksici iz bilo koje određene svojstva. Podsjetimo da, po definiciji, varijable - znakovi da sami nemaju vrijednosti i stječu posljednje samo kada zamjenjuju imena određenih objekata (pojedinačne varijable) ili prilikom navođenja određenih svojstava i odnosa (predikata varijabli) ili na kraju slučajeva zamjene varijablom smislenom izjavom (propovjednička varijabla).

  Najavljene karakteristike i nastaje zbog prirode ekstremnih kratica koje se koriste u matematičkom dokazu znakova, kao i izjave da, zahvaljujući uključivanju varijabli u njihovoj strukturi, transformišu se u funkciju izjave.

  Sam dokaznog postupka, određen u logici kao demonstraciji, nastavlja na osnovu pravila proizvodnje, oslanjajući se na koji je prelazak iz nekih dokazanih izjava u drugu, formirajući serijski lanac zaključaka. Najčešća pravila (zamjene i zaključci) i oduzimanje odbitka su najčešće.

  Pravilo za supstituciju. U matematici je zamjena definirana kao zamjena svakog od elemenata a određenog postavljanja bilo kojeg drugog elementa F (a) iz istog seta. U matematičkoj logici, pravilo zamjene formulira se na sljedeći način. Ako tačna formula M u izračunu izjave sadrži slovo, recimo a, zatim ga zamjenjujući svugdje, gdje se pojavljuje, proizvoljno slovo D, dobijamo formulu, istinito kao i original. To je moguće i dopušteno jer se u izračunavanju izjava ometaju značenje izjava (formula) ... samo vrijednosti "istine" ili "laž" uzimaju se u obzir. Na primjer, u formuli M: A -\u003e (BUA) Na mjestu A Mi zamjenjujemo izraz (AUB), kao rezultat koji dobijemo novu formulu (Aub) -\u003e [(BU (AUB)].

  Izlazna pravila zaključka odgovara strukturi uvjetno kategoričkog slitogija modusa ponena (modus odobravanja) u formalnoj logici. Ima sljedeći obrazac:

  sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: .

  Izjava se daje (A-\u003e B) i još uvijek je data a. Iz ovoga slijedi.

  Na primjer: Ako pada kiša, zatim se mokri mokri, kiša je (a), dakle, most mokri (B). U matematičkoj logici ovaj se silogizam na ovaj način napisan na ovaj način (A-\u003e B) A-\u003e b.

  Zaključak je definiran, u pravilu, urede za implikaciju. Ako su date implikacije (A-\u003e B) i njen antecedent (a), imamo pravo da se pridružimo obrazloženju (dokazima) i posljedičnom implikacijom (b). Silogizam je obavezan, čineći arsenalu deduktivnih dokaza, odnosno apsolutno odgovarajući na zahtjeve matematičkog rezonovanja.

  Velika uloga u matematičkom dokazu igra odbitka - opće ime za brojne teoreme, čiji postupak osigurava mogućnost uspostavljanja dokaza impuksa: A-\u003e B, kada je logičan izlaz formule B očigledan U formuli A. U najčešćim opcijama za izjave (u klasičnoj, intuionističkoj i drugim vrstama matematike) Theorem odbitak odobrava sljedeće. Ako je pošiljci dat i parcela A, iz kojeg, prema pravilima, izvedena BG, AB (- znak izlaza), slijedi da je samo iz parcela G, moguće dobiti ponudu A - \u003e B.

  Pogledali smo tip koji su direktni dokazi. Istovremeno, logika koristi takozvanu indirektnu, ne postoje izraženi dokazi koji su raspoređeni prema sljedećoj shemi. Bez višeg razloga (nedostupnost predmeta studije, gubitak stvarnosti njenog postojanja itd.) Mogućnost izravnog dokaza o istini o bilo kojoj odobrenju, tezu, izgraditi antitezu. Uvjereni su da antiteza dovodi do kontradikcija, i, postalo je lažno. Zatim, iz činjenice da se flaunt antiteze rade na osnovu zakona isključene treće (a V) - zaključak o istini tezi.

  U matematici se na široko koristi jedan od oblika indirektnih dokaza - dokaz gadnog. Posebno je vrijedno i, u stvari, neophodno je u usvajanju osnovnih koncepata i odredbi matematike, na primjer, koncept relevantne beskonačnosti, što je nemoguće na bilo koji drugi način.

  Rad dokaza iz suprotnosti predstavljen je na matematičkoj logici na sledeći način. Daju se redoslijed formula g i poricanje A (G, A). Ako slijedi iz ovog B i njenog poricanja (G, AB, ne-b), tada možemo zaključiti da je istina izvedena iz niza Formule G. Drugim riječima, istina teze slijedi iz lažnosti Antites.

  Reference:

• 1. n.sh.kremer, b.a. putko, I.M.trishin, m.n.fridman, viša matematika za ekonomiste, udžbenik, Moskva, 2002;

  2. L.D. Cudryavtsev, moderna matematika i njena podučavanja, Moskva, nauka, 1985;

  3. O.i. Larichev, objektivni modeli i subjektivna rješenja, Moskva, nauka, 1987;

  4. A.YA. Khalamizer, "Matematika? - Smešno! ", Objavljivanje autora, 1989;

  5. P.K.Rashevsky, Riemanova geometrija i analiza tenzora, Moskva, 3 izdanje, 1967;

  6. V.E.GMURMAN, teorija verovatnoće i matematičke statistike, Moskva, srednja škola, 1977;

  7. Svjetska mreža enteneta.

Matematika 1. Odakle dolazi riječ matematika? Ko je smislio matematiku? 3. Osnovne teme. 4. Definicija 5. Etimologija na posljednjem slajdu.

Odakle je riječ? Matematički objekti kreiraju se idealizacijom svojstava stvarnih ili drugih matematičkih objekata i bilježe ta svojstva na formalnom jeziku.

Ko je smislio matematiku (idite na meni), prvi matematičar naziva se da zove Falez Miletsky, koji je živio u Vidnom. BC e. , jedan od takozvanih sedam mudračkih ljudi Grčke. Budite to, ali, ali on je bio on koji je prvi studio na strukturirajući cijelu bazu znanja za ovaj trošak, koji je dugo formiran u svijetu koji mu je poznat. Međutim, autor prvog traktata u matematici dostigao je euklid (III vijek. BC). Takođe se može zaslužiti i otac ove nauke.

Glavne teme (idite na meni) u regiju matematike uključuju samo one nauke u kojima ili naređuju ili apsolutno ne u suštini, ovi brojevi, brojke, slike ili nešto drugo, što će se ova mjera naći . Stoga mora postojati određena ukupna nauka, objašnjavajući sve povezane s postupkom i najmanje, bez ulaska u proučavanje svih privatnih subjekata, a ova nauka treba nazvati ne stranom, već i stara koja je već uključena u upotrebu univerzalnog Matematika.

Definicija (idite na meni) na klasičnoj matematičkoj analizi zasnovana je na modernom analizi, koja se smatra jednim od tri glavna prava matematike (zajedno sa algebrim i geometri). Istovremeno, izraz "matematička analiza" u klasičnom razumijevanju uglavnom se koristi u nastavnom planu i programu i materijalima. U angloameričkoj tradiciji, klasična matematička analiza odgovara programu kurseva s imenom "Calculus"

Etimologija (idite na meni) Riječ "matematika" se dogodila od drugih. Što učenje, znanje, nauka i drugi. -Greša, u početku znači osjetljivim, uzastopnim, kasnije povezanim sa studijom, nakon toga povezane sa matematikom. Konkretno, na latinskom, znači umjetnost matematike. Izraz dr. -Greše. U savremenom značenju ove riječi "matematika" je već pronađena u pisanjima Aristotela (IV vijeka prije nove ere) u tekstovima na ruskom, riječ "matematika" ili "matematika", na primjer, barem iz XVII vijeka, na primjer, iz XVII vijeka, na primjer , Nicholas SpA u "Knjizi odabrane u kratkom devet Musakh i Sedmi visokih slobodnih umjetnosti" (1672)