Agham ng dami ng relasyon at spatial form. Matematika Isang kumbinasyon ng mga agham na nag-aaral ng mga halaga, dami ng relasyon, at
Matematika bilang isang agham ng quantitative relasyon at spatial porma ng katotohanan pag-aaral sa mundo sa paligid sa amin, natural at panlipunan phenomena. Ngunit sa kaibahan sa iba pang mga agham, ang matematika ay nag-aaral ng kanilang mga espesyal na katangian, ginulo mula sa iba. Kaya, ang geometry ay nag-aaral ng hugis at sukat ng mga bagay, nang hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga katangian: kulay, masa, katigasan, atbp. Sa pangkalahatan, ang mga bagay sa matematika (geometriko hugis, numero, dami) ay nilikha ng isip ng tao at umiiral lamang sa pag-iisip ng tao, sa mga palatandaan at simbolo na bumubuo ng isang matematikal na wika.
Ang abstractness ng matematika ay nagbibigay-daan ito upang ilapat ito sa iba't ibang uri ng mga lugar, ito ay isang malakas na tool para sa kaalaman ng kalikasan.
Ang mga paraan ng kaalaman ay nahahati sa dalawang grupo.
Unang grupo Ang mga anyo ng malibog na kaalaman na isinagawa sa tulong ng iba't ibang mga pandama: tingnan, pandinig, amoy, pagpindot, panlasa.
Ko. ikalawang grupo Ang mga anyo ng abstract na pag-iisip, lalo na ang mga konsepto, pahayag at konklusyon.
Mga anyo ng malibog na kaalaman pakiramdam, pandama at representasyon.
Ang bawat item ay walang isa, ngunit maraming mga katangian, at matututunan namin ang mga ito sa tulong ng mga sensasyon.
Pakiramdam - Ito ay isang pagmuni-muni ng mga indibidwal na mga katangian ng mga bagay o phenomena ng materyal na mundo, na kung saan ay direkta (i.e, sa sandaling ito) ay nakakaapekto sa aming mga pandama. Ito ay isang pakiramdam ng pula, mainit-init, bilog, berde, matamis, makinis at iba pang mga indibidwal na mga katangian ng mga bagay [Hetmanova, p. 7].
Mula sa mga indibidwal na sensations mayroong isang pang-unawa ng isang buong paksa. Halimbawa, ang pang-unawa ng mansanas ay binubuo ng mga sensations: spherical, pula, maasim-matamis, mahalimuyak, atbp.
Pandama May isang holistic reflection ng panlabas na paksa paksa, direktang apektado ng aming mga pandama [Hetmanov, p. walong]. Halimbawa, ang isang imahe ng isang plato, tasa, kutsara, iba pang mga pinggan; Ang imahe ng ilog, kung kami ay naglalayag ngayon o nasa baybayin nito; Imahe ng kagubatan, kung kami ngayon ay dumating sa kagubatan, atbp.
Ang mga pananaw, bagama't sila ay isang sensual reflection ng katotohanan sa ating kamalayan, higit sa lahat ay nakasalalay sa karanasan ng tao. Halimbawa, ang isang biologist ay mapapansin sa isang paraan (makikita niya ang iba't ibang uri ng halaman), at ang turista o ang artist ay ibang-iba.
Representasyon - Ito ay isang animal na imahe ng paksa, sa sandaling hindi namin nakita, ngunit na dati nakita sa isang form o isa pang [Hetmanova, p. 10]. Halimbawa, maaari naming biswal na isipin ang mga mukha ng mga kakilala, ang aming silid sa bahay, birch o kabute. Ang mga ito ay mga halimbawa reproducing Mga pagtatanghal, dahil nakita namin ang mga bagay na ito.
Maaaring ang representasyon ay creative, kasama hindi kapani-paniwala. Ipinakikita namin ang magandang Princess Swan, o ang Hari ng Saltan, o ang Golden Cockerel, at maraming iba pang mga character mula sa Fairy Tales A.S. Pushkin, na hindi pa nakikita at nakikita. Ang mga halimbawa ng creative presentation sa pandiwang paglalarawan. Isipin din namin ang Snow Maiden, Santa Claus, Mermaid, atbp.
Kaya, ang mga anyo ng malibog na kaalaman ay mga sensasyon, pandama at pagtatanghal. Sa kanilang tulong, natutunan namin ang panlabas na panig ng paksa (mga palatandaan nito, kabilang ang mga katangian).
Ang mga anyo ng abstract na pag-iisip ay mga konsepto, pahayag at konklusyon.
Mga konsepto. Ang dami at nilalaman ng mga konsepto
Ang terminong "konsepto" ay kadalasang ginagamit upang italaga ang isang buong klase ng mga bagay ng arbitrary na kalikasan, na may isang tiyak na katangian (natatanging, mahahalagang) ari-arian o isang hanay ng mga naturang katangian, i.e. Ari-arian na likas sa mga elemento lamang ng klase na ito.
Sa mga tuntunin ng lohika, ang konsepto ay isang espesyal na paraan ng pag-iisip na katangian kung saan ang sumusunod ay: 1) Ang konsepto ay isang produkto ng mataas na organisadong bagay; 2) Ang konsepto ay sumasalamin sa materyal na mundo; 3) Lumilitaw ang konsepto sa kamalayan bilang isang paraan ng heneralisasyon; 4) Ang konsepto ay nangangahulugang partikular na aktibidad ng tao; 5) Ang pagbuo ng konsepto sa kamalayan ng isang tao ay hindi mapaghihiwalay mula sa pagpapahayag nito sa pamamagitan ng pagsasalita, rekord o simbolo.
Paano lumitaw ang konsepto ng anumang bagay ng katotohanan sa ating kamalayan?
Ang proseso ng pagbubuo ng ilang konsepto ay isang unti-unti na proseso kung saan maaaring makuha ang ilang magkakasunod na yugto. Isaalang-alang ang prosesong ito sa pinakasimpleng halimbawa - ang pagbuo ng mga konsepto ng mga bata tungkol sa numero 3.
1. Sa unang yugto ng kaalaman, ang mga bata ay pamilyar sa iba't ibang mga tukoy na hanay, habang ang mga imahe ng paksa ay ginagamit at iba't ibang mga hanay ng tatlong elemento ay ipinakita (tatlong mansanas, tatlong aklat, tatlong lapis, atbp.). Ang mga bata ay hindi lamang nakikita ang bawat isa sa mga hanay na ito, ngunit maaari ring ipanganak (pindutin) ang mga bagay na kung saan ang mga hanay na ito ay binubuo. Ang prosesong ito ng "paningin" ay lumilikha sa isip ng bata ng isang espesyal na anyo ng pagmuni-muni ng tunay na katotohanan, na tinatawag pagdama (pandama).
2. Tatanggalin namin ang mga bagay (mga bagay), na bumubuo sa bawat set, at nag-aalok ng mga bata upang matukoy kung ang isang bagay ay karaniwang characterizing bawat hanay. Sa kamalayan ng mga bata, ang bilang ng mga item sa bawat hanay ay dapat makuha, ang katotohanan na sa lahat ng dako ay "tatlo". Kung gayon, pagkatapos ay sa isip ng mga bata ang isang bagong form ay nilikha - ang ideya ng bilang na "tatlo".
3. Sa susunod na yugto, batay sa isang mental na eksperimento, dapat makita ng mga bata na ang ari-arian na ipinahayag sa salitang "tatlong" ay nagpapakita ng anumang hanay ng iba't ibang mga elemento ng form (a; b; c). Kaya, magkakaroon ng makabuluhan pangkalahatang Tampok tulad set - "Magkaroon ng tatlong elemento." Ngayon ay maaari naming sabihin na sa isip ng mga bata nabuo ang konsepto ng numero 3.
Konsepto - Ito ay isang espesyal na paraan ng pag-iisip, na sumasalamin sa mahahalagang (natatanging) mga katangian ng mga bagay o mga bagay ng pag-aaral.
Ang form ng wika ng konsepto ay isang salita o isang pangkat ng mga salita. Halimbawa, ang isang "tatsulok", "bilang tatlo", "punto", "tuwid", "anoscele triangle", "planta", "coniferous tree", "River Yenisei", "Table", atbp.
Ang mga konsepto ng matematika ay may maraming mga tampok. Ang pangunahing bagay ay ang mga bagay sa matematika na kailangang maging isang konsepto ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang mga bagay sa matematika ay nilikha ng isip ng isang tao. Ang mga ito ay perpektong bagay na sumasalamin sa mga tunay na bagay o phenomena. Halimbawa, sa geometry pag-aralan ang hugis at sukat ng mga bagay, nang hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga katangian: kulay, masa, katigasan, atbp. Mula sa lahat ng ito ay ginulo, abstracts. Samakatuwid, sa geometry sa halip ng salitang "paksa" sinasabi nila "geometriko figure". Ang resulta ng abstraction ay parehong mga konsepto ng matematika bilang "numero" at "halaga".
Mga pangunahing katangian sinuman mga konsepto Susunod: 1) dami; 2) nilalaman; 3) relasyon sa pagitan ng mga konsepto.
Kapag pinag-uusapan nila ang isang konsepto ng matematika, kadalasan ay nangangahulugan ito ng buong set (set) ng mga bagay na tinutukoy ng isang term (salita o grupo ng mga salita). Kaya, pagsasalita ng parisukat, ibig sabihin nila ang lahat ng mga geometric na hugis na mga parisukat. Ito ay pinaniniwalaan na ang hanay ng lahat ng mga parisukat ay ang saklaw ng konsepto ng "parisukat".
Ang saklaw ng konsepto. Mayroong maraming mga bagay o mga item na kung saan ang konsepto na ito ay naaangkop.
Halimbawa, 1) ang saklaw ng konsepto ng "parallelograms" ay isang hanay ng mga quadrangles, bilang aktwal na parallelogram, rhombus, rectangles at mga parisukat; 2) Ang saklaw ng konsepto ng "hindi malabo na likas na numero" ay ang set - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Ang anumang matematikal na bagay ay may ilang mga katangian. Halimbawa, ang parisukat ay may apat na panig, apat na tuwid na sulok na katumbas ng diagonal, ang diagonal ng intersection point ay hinati sa kalahati. Maaari mo ring tukuyin ang iba pang mga katangian, ngunit kabilang sa mga katangian ng bagay na makilala makabuluhang (natatanging) at hindi gaanong mahalaga.
Ang ari-arian ay tinatawag na. mahalaga (kapansin-pansing) para sa bagay, kung ito ay likas sa bagay na ito at wala ito hindi ito umiiral; Ang ari-arian ay tinatawag na. walang kaugnayan Para sa isang bagay, kung maaari itong umiral nang wala ito.
Halimbawa, para sa isang parisukat, ang lahat ng mga ari-arian na nakalista sa itaas ay mahalaga. Ang "ad horizontal side" ay hindi gaanong mahalaga para sa AVD Square (Larawan 1). Kung i-on mo ang parisukat na ito, ang ad side ay magiging vertical.
Isaalang-alang ang isang halimbawa para sa mga preschooler gamit ang isang visual na materyal (Larawan 2):
Ilarawan ang isang figure.
Maliit na itim na tatsulok. Larawan. 2.
Malaking puting tatsulok.
Ano ang mga numero tulad ng?
Ano ang naiiba sa mga numero?
Kulay, magnitude.
Ano ang tatsulok?
3 gilid, 3 sulok.
Kaya, alam ng mga bata ang mahahalagang at hindi gaanong katangian ng konsepto ng "tatsulok". Mahalagang katangian - "Magkaroon ng tatlong panig at tatlong anggulo", hindi gaanong mahalaga ang mga katangian - kulay at sukat.
Ang kumbinasyon ng lahat ng mahahalagang (natatanging) mga katangian ng isang bagay o paksa na makikita sa tawag na ito ng konsepto cONCEPT NILALAMAN .
Halimbawa, para sa konsepto ng "parallelograms", isang hanay ng mga ari-arian ay: may apat na panig, may apat na anggulo, magkabilang panig ay parallel, ang magkabilang panig ay pantay, kabaligtaran ang mga anggulo ay katumbas ng diagonal sa mga punto ng intersection ay hinati sa kalahati.
May koneksyon sa pagitan ng saklaw ng konsepto at nilalaman nito: Kung ang saklaw ng konsepto ay nagdaragdag, ang nilalaman nito ay nabawasan, at kabaligtaran. Kaya, halimbawa, ang saklaw ng konsepto ng "isang mataas na tatsulok" ay bahagi ng konsepto ng konsepto ng "tatsulok", at sa nilalaman ng konsepto na "isang pantay na tatsulok" ay may kasamang higit pang mga katangian kaysa sa konsepto ng konsepto ng "tatsulok", dahil Ang isang pantay na punong tatsulok ay hindi lamang ang lahat ng mga katangian ng tatsulok, kundi pati na rin ng iba, likas sa pantay na mga triangles ("dalawang panig ay pantay", "dalawang sulok ay pantay," dalawang medians ay pantay, atbp.).
Sa pamamagitan ng lakas ng tunog, ang mga konsepto ay nahahati sa. solong, karaniwanat Mga Kategorya.
Ang konsepto na ang halaga ay 1, na tinatawag na solong konsepto .
Halimbawa, ang mga konsepto: "River Yenisei", "Republika ng Tuva", "Lungsod ng Moscow".
Ang mga konsepto na ang dami ay mas malaki kaysa sa 1 ay tinatawag na. karaniwan .
Halimbawa, ang mga konsepto: "lungsod", "ilog", "may apat na gilid", "numero", "polygon", "equation".
Sa proseso ng pag-aaral ng mga pundasyon ng anumang agham sa mga bata ay nabuo, higit sa lahat pangkalahatang konsepto. Halimbawa, sa mga pangunahing klase, makilala ng mga estudyante ang mga konsepto tulad ng "figure", "numero", "hindi malabo na mga numero", "double-digit na mga numero", "mga numero ng maraming halaga", "fraction", "share", " karagdagan "," lipunan "," halaga "," pagbabawas "," bawas "," pinaliit "," pagkakaiba "," multiplikasyon "," multiplier "," work "," divider "," divisible "," divider "," , "Pribado", "bola», "silindro", "kono", "kubo", "parallelepiped", "pyramid", "sulok", "triangle", "quadrangle", "square", "rectangle", " Polygon "," Circle "," Circle "," curve "," loaven "," cut "," cut length "," light "," hength "," point "," hength "," "," Perimeter "," figure square "," volume "," oras "," bilis "," masa "," presyo "," gastos "at marami pang iba. Ang lahat ng mga konsepto ay karaniwang mga konsepto.
Agham, pag-aaral ng magnitude, quantitative relations at spatial forms
Ang unang titik na "m"
Ang ikalawang titik na "A"
Ikatlong titik na "t"
Huling beech letter "a"
Sagutin ang tanong na "Science, pag-aaral ng mga halaga, dami ng relasyon at spatial form", 10 titik:
matematika
Mga alternatibong tanong sa crosswords para sa matematika
Ang kinatawan ng agham na ito ay binili ng Nobel isang nobya, at samakatuwid para sa tagumpay sa kanyang Nobel Prize ay hindi nagbibigay
"Tower" sa Programang Polytechnic.
Eksaktong agham, pag-aaral ng magnitude, quantitative relations at spatial forms
Agham ng mga halaga, dami ng relasyon, spatial forms.
Ito ang paksa na itinuro ko sa paaralan "Mahal na Elena Sergeevna" na ginawa ni Marina Nelaova
Pagpapasiya ng salitang matematika sa mga dictionaries
Explanatory Dictionary of the Living Great Russian, Dal Vladimir
Ang kahulugan ng salita sa diksyunaryo explanatory dictionary ng buhay na mahusay na Russian, dal vladimir
g. Agham ng mga halaga at dami; Ang lahat na maaaring ipahayag digital ay kabilang sa matematika. - Malinis, nakikibahagi sa mga halaga ng abstract; - Applied, gumagawa ng unang sa negosyo, sa mga paksa. Matematika ay nahahati sa aritmetika at geometry, ang unang isa ay ...
Wikipedia.
Ang kahulugan ng salita sa diksyunaryo Wikipedia.
Matematika (
Mahusay na ensiklopedya ng Sobyet
Ang kahulugan ng salita sa diksyunaryo malaking ensiklopedya ng Sobyet
I. Pagpapasiya ng paksa ng matematika, koneksyon sa iba pang mga agham at teknolohiya. Matematika (Griyego. Mathematike, mula sa Máthema ≈ kaalaman, agham), agham ng quantitative relasyon at spatial na anyo ng wastong mundo. "Ang malinis na matematika ay may sariling bagay ...
Isang bagong intelligent-word-formational dictionary ng wikang Ruso, T. F. Efremova.
Ang kahulugan ng salita sa diksyunaryo ay isang bagong intelligent-word-formational dictionary ng wikang Ruso, T. F. Efremova.
g. Pang-agham na disiplina sa mga spatial form at dami ng relasyon ng aktwal na mundo. Pagtuturo panteorya na batayan Ang pang-agham na disiplina na ito. . Isang aklat-aralin na nagtatakda ng nilalaman ng paksa pang-edukasyon na ito. . . Tumpak, ...
Mga halimbawa ng paggamit ng salitang matematika sa panitikan.
Una, trediakovsky sheltered vasily adadurov - dalub-agbilang., Isang mag-aaral ng Great Jacob Bernoulli, at para sa kahusayang ito ang makata ng isang siyentipiko sa Pranses ay nagtagubilin.
Katawanin dalub-agbilang. Adadurov, mekaniko Ladyzhensky, arkitekto Ivan blangko, clasped sa liwanag ng mga tagapagtapat sa iba't ibang mga board, mga doktor at gardeners, opisyal hukbo at mabilis.
Sa likod ng mahabang pinakintab na talahanayan ng mga walnuts ay nakaupo sa upuan dalawa: Axel brigs at dalub-agbilang. Brodsky, na natutunan ko sa isang makapangyarihang Socratian lysin.
Pontryagin, ang mga pagsisikap na nilikha ng bagong seksyon matematika - Topological algebra, - pag-aaral ng iba't ibang algebraic na mga istraktura na pinagkalooban ng topology.
Tandaan din namin sa pagpasa na ang Epoch, na inilarawan sa amin, ay nasaksihan ang pagpapaunlad ng algebra, relatibong abstract department matematikaSa pamamagitan ng koneksyon ng mas abstract departamento ng ito, geometry at aritmetika, ay ang katunayan napatunayan ng pinaka sinaunang mula sa manifestations ng algebra, kalahating algebraic, kalahating geometric.
Ang idealized properties ng mga bagay sa ilalim ng pag-aaral ay binuo sa anyo ng mga axiom, o nakalista sa kahulugan ng may-katuturang mga bagay sa matematika. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mahigpit na alituntunin ng lohikal na output, ang iba pang mga tunay na katangian (theorems) ay ipinapakita mula sa mga katangian na ito. Ang teorya na ito sa aggregate ay bumubuo sa matematikal na modelo ng bagay sa ilalim ng pag-aaral. Kaya, sa simula batay sa spatial at quantitative relasyon, matematika ay tumatanggap ng mas abstract ratios, ang pag-aaral ng kung saan ay din ang paksa ng modernong matematika.
Ayon sa kaugalian, ang matematika ay nahahati sa isang teoretikal, gumaganap ng isang malalim na pagtatasa ng mga intramathematical structures, at inilapat, na nagbibigay ng mga modelo nito sa iba pang mga siyensiya at mga disiplina sa engineering, at ang ilan sa kanila ay sumasakop sa isang hangganan ng matematika. Sa partikular, ang pormal na lohika ay maaaring ituring bilang bahagi philosophical Sciences., at bilang bahagi ng mathematical sciences; mekanika - parehong pisika, at matematika; Computer science, computer technologies at algorithm ay parehong engineering at matematiko agham, atbp sa panitikan, maraming iba't ibang mga kahulugan ng matematika ay iminungkahi.
Etimolohiya
Ang salitang "matematika" ay naganap mula kay Dr. Greek. άθθημα, na nangangahulugang pag-aaral, kaalaman, ang agham, at iba pang Griyego. μαθηματικόό, orihinal na kahulugan. madaling kapitan, matagumpay Mamaya naka-targetSa dakong huli matematika. Lalo na, μαθηματικὴ τέχνη , Latin. ars mathematica.ibig sabihin art of Mathematics.. Ang terminong Dr.-Greek. ᾰᾰθᾰᾰθᾰᾰτικά B. modernong kahulugan Ang salitang "matematika" na ito ay natagpuan na sa mga writings ng Aristotle (IV siglo BC. ER). Ayon sa Fasmere sa wikang Russian, ang salita ay dumating alinman sa pamamagitan ng Polish. Matematyka, alinman sa pamamagitan ng isang lat. Mathematica.
Mga kahulugan
Ang isa sa mga unang kahulugan ng paksa ng matematika ay nagbigay ng Descartes:
Kasama lamang sa larangan ng matematika ang mga agham na kung saan ang alinman sa pagkakasunud-sunod o panukalang-batas ay isinasaalang-alang, at hindi magiging ganap na makabuluhan, kung ang mga numerong ito, mga numero, mga bituin, tunog o iba pa, ay makakahanap ng panukalang ito. Kaya, dapat magkaroon ng isang pangkalahatang agham, na nagpapaliwanag ng lahat na may kaugnayan sa pamamaraan at hindi bababa sa, nang hindi pumasok sa pag-aaral ng anumang mga pribadong paksa, at ang agham na ito ay dapat na tinatawag na hindi dayuhan, ngunit ang lumang isa na kasama sa paggamit ng unibersal matematika.
Ang kakanyahan ng matematika ... tila ngayon bilang doktrina ng mga relasyon sa pagitan ng mga bagay, na hindi kilala tungkol sa, maliban sa naglalarawan sa kanila ng ilang mga katangian, ay tiyak na ang mga bilang isang axiom sa base ng teorya ... Matematika ay isang hanay ng mga abstract form - mga istraktura ng matematika.
Mga seksyon ng matematika
1. Matematika As akademikong disiplina
Pagtatalaga
Dahil ang matematika ay gumagana na may lubos na magkakaibang at medyo kumplikadong mga istraktura, ang sistema ng mga pagtatalaga sa loob nito ay sobrang kumplikado rin. Modernong sistema Ang mga rekord ng formula ay nabuo batay sa European algebraic tradisyon, pati na rin ang mga pangangailangan ng mga susunod na seksyon ng matematika - matematika pagtatasa, matematika lohika, ang teorya ng set, atbp Geometry ng siglo, ginamit visual (geometric) representasyon . Sa modernong matematika, ang mga kumplikadong graphical na talaan ng mga sistema ng pag-record ay karaniwan din (halimbawa, paglipat ng mga chart), ang mga indikasyon batay sa mga graph ay ginagamit din.
Maikling kwento
Pilosopiya Matematika.
Mga layunin at pamamaraan
Space R n (displaystyle \\ mathbb (r) ^ (n)), P. N\u003e 3 (\\ displayStyle n\u003e 3) Ito ay mathematical fiction. Gayunpaman, napakatalino fiction, na tumutulong sa mathematically maunawaan kumplikadong phenomena».
Batayan
Intuitionism.
Nakabubuo matematika
linawin
Mga pangunahing paksa
numero
Ang pangunahing seksyon na isinasaalang-alang ang abstraction ng bilang ng algebra. Ang konsepto ng "Numero" ay orihinal na nagmula sa mga representasyon ng aritmetika at may kaugnayan sa mga natural na numero. Sa hinaharap, ito, sa tulong ng algebra, ay unti-unting ipinamamahagi sa integer, nakapangangatwiran, wastong, kumplikado at iba pang mga numero.
Conversion
Ang phenomena ng mga pagbabago at pagbabago sa pangkalahatang anyo ay isinasaalang-alang ang pagtatasa.
Mga istruktura
Spatial Relations.
Ang mga pangunahing kaalaman ng spatial na relasyon ay isinasaalang-alang ang geometry. Isinasaalang-alang ng trigonometrya ang mga katangian ng mga trigonometriko function. Ang pag-aaral ng mga geometric na bagay sa pamamagitan ng pagtatasa ng matematika ay nakikibahagi sa kaugalian geometry. Ang mga katangian ng mga puwang na natitira ay hindi nagbabago sa patuloy na mga deformation at ang pinaka-kababalaghan ng pagpapatuloy ay pinag-aralan topology.
Discrete matematika
| ∀ x (p (x) ⇒ p (x ')) (\\ displayStyle \\ forall x (p (x) \\ rightArrow p (x "))) | |||
Ang matematika ay lumitaw sa loob ng mahabang panahon. Ang lalaki ay nakolekta ng prutas, paghuhukay ng mga bunga, nahuli na isda at naabot ang lahat ng ito para sa taglamig. Upang maunawaan kung magkano ang pagkain ay isang tao na imbento ng isang account. Kaya nagsimulang lumitaw ang matematika.
Pagkatapos ay nagsimulang makisali ang lalaki sa agrikultura. Kinakailangan upang sukatin ang mga plots ng lupa, bumuo ng pabahay, oras ng pagsukat.
Iyon ay, ang isang tao ay kinakailangan upang gamitin ang quantitative relasyon ng tunay na mundo. Tukuyin kung gaano karaming mga pag-aani ang nagtipon, ano ang mga sukat ng site ng konstruksiyon o bilang isang malaking bahagi ng kalangitan, kung saan ang isang tiyak na bilang ng mga maliliwanag na bituin.
Bilang karagdagan, ang isang tao ay nagsimulang tukuyin ang mga form: ang sun round, ang kahon ay parisukat, ang lake oval, at kung paano matatagpuan ang mga item na ito sa espasyo. Iyon ay, ang tao ay naging interesado sa spatial na mga anyo ng tunay na mundo.
Kaya, ang konsepto. matematika Maaari mong tukuyin bilang isang agham sa quantitative relasyon at spatial na mga form ng tunay na mundo.
Sa kasalukuyan, walang isang solong propesyon, kung saan posible na gawin nang walang matematika. Ang sikat na German mathematician na si Karl Friedrich Gauss, na tinatawag na "Hari ng Matematika" sa paanuman ay nagsabi:
"Matematika - Queen of Science, Arithmetic - Queen of Mathematics."
Ang salitang "aritmetika" ay mula sa salitang Griyego na "arithmos" - "numero".
Sa ganitong paraan, aritmetika Ito ay isang seksyon ng mga numero ng pag-aaral ng matematika at pagkilos sa mga ito.
SA mababang PaaralanUna sa lahat, matuto ng aritmetika.
Paano bumuo ng agham na ito, hayaan nating tuklasin ang tanong na ito.
Ang panahon ng paglitaw ng matematika
Ang pangunahing panahon ng akumulasyon ng kaalaman sa matematika ay ang oras sa siglo sa ating panahon.
Ang una na nagsimulang patunayan ang mga probisyon ng matematika - isang sinaunang thinker ng Griyego na nanirahan sa VII siglo BC ay siguro 625 - 545. Ang pilosopo na ito ay naglakbay sa mga bansa sa silangan. Sinasabi ng mga tradisyon na nag-aral siya mula sa Egyptian priest at Babylonian Chaldeys.
Falez Miletsky dinala mula sa Ehipto sa Greece ang unang konsepto ng elementarya geometry: kung ano ang isang diameter ay kung ano ang tatsulok ay tinutukoy at iba pa. Hinulaan niya ang isang solar eclipse, mga istraktura ng engineering na dinisenyo.
Sa panahong ito, unti-unting nakatiklop ang aritmetika, bubuo ang astronomiya, geometry. Lumabas ang algebra at trigonometry.
Panahon ng elementarya matematika
Ang panahong ito ay nagsisimula sa VI sa ating panahon. Ngayon ang matematika ay nagmumula tulad ng agham na may mga teorya at katibayan. Lumilitaw ang teorya ng mga numero, ang doktrina ng magnitude, tungkol sa kanilang dimensyon.
Ang pinaka sikat na dalub-agbilang sa oras na ito ay Euclide. Siya ay nanirahan sa II century BC. Ang taong ito ay ang may-akda ng una sa teoretikal na treatise sa matematika na dumating sa amin.
Sa mga gawa ni Euclidea, ang mga pundasyon ay ibinigay, ang tinatawag na Euclidean geometry ay mga axiom, na nagpapahinga sa mga pangunahing konsepto, tulad ng.
Sa panahon ng elementarya matematika, ang teorya ng mga numero ay ipinanganak, pati na rin ang doktrina ng mga halaga at pagsukat. Lumilitaw ang mga negatibong at hindi makatwirang mga numero sa unang pagkakataon.
Sa pagtatapos ng panahong ito, ang paglikha ng algebra ay sinusunod, bilang isang alpabetikong calculus. Ang agham ng "algebra" ay lilitaw sa mga Arabe, bilang isang agham sa paglutas ng mga equation. Ang salitang "algebra" na isinalin mula sa Arabic ay nangangahulugang "pagbawi", iyon ay, ang paglipat ng mga negatibong halaga sa ibang bahagi ng equation.
Ang panahon ng mga variable ng matematika
Ang tagapagtatag ng panahong ito ay itinuturing na Rene Descartes, na naninirahan sa XVII siglo ng ating panahon. Sa kanyang mga writings, ang mga decartes unang introduces ang konsepto ng variable na halaga.
Dahil dito, inililipat ng mga siyentipiko mula sa pag-aaral ng patuloy na mga halaga sa pag-aaral ng mga dependency sa pagitan ng mga variable at sa mathematical Paglalarawan. Kilusan.
Ang panahong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng Frederick Engels, sumulat siya sa kanyang mga writings:
"Ang isang swivel point sa matematika ay isang decartian variable. Dahil dito, ipinasok ng matematika ang matematika at sa gayon ay ang dialectic, at dahil sa parehong ito ay naging kinakailangan sa kaugalian at integral na calculus, na agad na lumitaw, at, na karaniwang nakumpleto, at hindi naimbento ni Newton at Leibnian. "
Ang panahon ng modernong matematika
Sa loob ng 20 taon ng XIX siglo, si Nikolai Ivanovich Lobachevsky ay naging tagapagtatag, ang tinatawag na di-anak na geometry.
Mula sa sandaling iyon, ang pag-unlad ng pinakamahalagang seksyon ng modernong matematika ay nagsisimula. Tulad ng teorya ng posibilidad, ang teorya ng mga hanay, matematika istatistika, at iba pa.
Ang lahat ng mga natuklasan at pananaliksik ay nakakahanap ng malawak na paggamit sa iba't ibang larangan ng agham.
At sa kasalukuyan, ang agham matematika ay mabilis na lumalaki, ang paksa ng matematika, kabilang ang mga bagong anyo at relasyon, ay pinatunayan ng mga bagong teorema, ang mga pangunahing konsepto ay lumalim.
Ang idealized properties ng mga bagay sa ilalim ng pag-aaral ay binuo sa anyo ng mga axiom, o nakalista sa kahulugan ng may-katuturang mga bagay sa matematika. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mahigpit na alituntunin ng lohikal na output, ang iba pang mga tunay na katangian (theorems) ay ipinapakita mula sa mga katangian na ito. Ang teorya na ito sa aggregate ay bumubuo sa matematikal na modelo ng bagay sa ilalim ng pag-aaral. Kaya, sa una, batay sa spatial at quantitative relations, matematika ay tumatanggap ng mas abstract ratios, ang pag-aaral nito ay din ang paksa ng modernong matematika.
Ayon sa kaugalian, ang matematika ay nahahati sa isang teoretikal, gumaganap ng isang malalim na pagtatasa ng mga intramathematical structures, at inilapat, na nagbibigay ng mga modelo nito sa iba pang mga siyensiya at mga disiplina sa engineering, at ang ilan sa kanila ay sumasakop sa isang hangganan ng matematika. Sa partikular, ang pormal na lohika ay maaari ring isaalang-alang bilang bahagi ng pilosopiko na agham, at bilang bahagi ng mathematical sciences; mekanika - parehong pisika, at matematika; Informatics, computer technologies at algorithm ay may kaugnayan sa parehong engineering at matematiko agham, atbp sa panitikan, maraming iba't ibang mga kahulugan ng matematika ay iminungkahi (tingnan).
Etimolohiya
Ang salitang "matematika" ay naganap mula kay Dr. Greek. άθθημα ( máthēma.), ibig sabihin pag-aaral, kaalaman, ang agham, at iba pang Griyego. μαθηματικόό ( mathēmatikós.), orihinal na kahulugan madaling kapitan, matagumpay Mamaya naka-targetSa dakong huli matematika. Lalo na, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē.), sa Latin ars mathematica.ibig sabihin art of Mathematics..
Mga kahulugan
Kasama sa larangan ng matematika ang mga agham na kung saan ang alinman sa order, o sukat at ganap na hindi mahalaga, ang mga numerong ito, mga numero, mga bituin, tunog, o iba pa, kung ano ang sukat na ito ay natagpuan. Kaya, dapat magkaroon ng isang pangkalahatang agham, na nagpapaliwanag ng lahat na may kaugnayan sa pamamaraan at hindi bababa sa, nang hindi pumasok sa pag-aaral ng anumang mga pribadong paksa, at ang agham na ito ay dapat na tinatawag na hindi dayuhan, ngunit ang lumang isa na kasama sa paggamit ng unibersal matematika.
Sa panahon ng Sobyet, ang kahulugan ng BSE ay itinuturing na klasiko, A. N. Kolmogorov:
Matematika ... agham ng quantitative relasyon at spatial na mga form ng wastong mundo.
Ang kakanyahan ng matematika ... tila ngayon bilang doktrina ng mga relasyon sa pagitan ng mga bagay, na hindi kilala tungkol sa, maliban sa naglalarawan sa kanila ng ilang mga katangian, ay tiyak na ang mga bilang isang axiom sa base ng teorya ... Matematika ay isang hanay ng mga abstract form - mga istraktura ng matematika.
Nagbibigay kami ng ilang mas modernong kahulugan.
Ang modernong teoretikal ("net") na matematika ay isang agham ng mga istruktura ng matematika, mga invariant ng matematika ng iba't ibang mga sistema at proseso.
Matematika - agham na nagbibigay ng kakayahan upang kalkulahin ang mga modelo na ibinigay sa pamantayan (kanonikal) isip. Agham tungkol sa paghahanap ng mga solusyon ng analytical modelo (pagtatasa) sa pamamagitan ng pormal na pagbabago.
Mga seksyon ng matematika
1. Matematika As akademikong disiplina hinati sa B. Pederasyon ng Russia Sa elementarya matematika pinag-aralan sa mataas na paaralan at disiplina nabuo:
- elementary Geometry: Planimetry and Stereometry.
- teorya ng elementarya function at mga elemento ng pagtatasa
4. Ang American Mathematical Society (AMS) ay bumuo ng pamantayan nito para sa pag-uuri ng mga seksyon ng matematika. Ito ay tinatawag na pag-uuri ng paksa sa matematika. Ang pamantayan na ito ay pana-panahon na na-update. Ang kasalukuyang bersyon ay MSC 2010. Nakaraang bersyon - MSC 2000.
Pagtatalaga
Dahil sa ang katunayan na ang matematika ay gumagana na may lubos na magkakaibang at medyo kumplikadong mga istraktura, ang sistema ng pagtatalaga ay masyadong kumplikado. Ang modernong formula recording system ay nabuo batay sa isang European algebraic tradisyon, pati na rin ang matematika pagtatasa (konsepto ng function, derivative, atbp.). Ang epekto ng geometry ng siglo ay nasiyahan sa visual (geometric) na representasyon. Sa modernong matematika, ang mga kumplikadong graphical na talaan ng mga sistema ng pag-record ay karaniwan din (halimbawa, paglipat ng mga chart), ang mga indikasyon batay sa mga graph ay ginagamit din.
Maikling kwento
Ang pag-unlad ng matematika ay batay sa pagsulat at ang kakayahang mag-record ng mga numero. Marahil ang mga sinaunang tao unang ipinahayag ang halaga sa pamamagitan ng pagguhit ng mga siryal sa lupa o scratched ang mga ito sa kahoy. Ang mga sinaunang Incas, pagkakaroon ng ibang sistema ng pagsulat, na kinakatawan at pinananatili ang numerical data gamit ang isang kumplikadong sistema ng mga node ng lubid, ang tinatawag na Kip. Maraming iba't ibang mga sistema ng numero. Ang mga unang kilalang rekord ng mga numero ay natagpuan sa Akhmes Papyrus na nilikha ng mga Ehipsiyo ng Middle Kingdom. Ang sibilisasyon ng India ay bumuo ng modernong decimal system. Numero, kabilang ang zero na konsepto.
Sa kasaysayan, ang mga pangunahing disiplina sa matematika ay lumitaw sa ilalim ng impluwensiya ng pangangailangan na magsagawa ng mga kalkulasyon sa komersyal na globo, kapag sumusukat sa lupa at para sa paghula ng mga pang-astronomikal na phenomena at, mamaya, upang malutas ang mga bagong problema sa pisikal. Ang bawat isa sa mga lugar na ito ay may malaking papel sa malawak na pag-unlad ng matematika, na binubuo sa pag-aaral ng mga istruktura, mga puwang at pagbabago.
Pilosopiya Matematika.
Mga layunin at pamamaraan
Pag-aaral ng matematika Mga haka-haka, perpektong bagay at ratios sa pagitan ng mga ito gamit ang isang pormal na wika. Sa pangkalahatan, ang mga konsepto ng matematika at mga teorema ay hindi kinakailangang sumunod sa anumang bagay sa pisikal na mundo. Ang pangunahing gawain ng inilapat na seksyon ng matematika ay upang lumikha ng isang modelo ng matematika, isang pantay na sapat sa tunay na bagay sa ilalim ng pag-aaral. Task matematika-teoridad - upang magbigay ng sapat na hanay ng mga komportableng paraan upang makamit ang layuning ito.
Ang nilalaman ng matematika ay maaaring tinukoy bilang isang sistema ng mga modelo ng matematika at mga tool para sa kanilang paglikha. Ang modelo ng bagay ay isinasaalang-alang hindi lahat ng mga tampok nito, ngunit ang pinaka-kailangan lamang para sa mga layunin ng pag-aaral (idealized). Halimbawa, pag-aaral ng mga pisikal na katangian ng orange, maaari naming abstract mula sa kulay at tikman at ipakita ito (kahit na hindi ganap na para sigurado) bola. Kung kailangan nating maunawaan kung gaano karaming mga dalandan ito ay lumiliko kung tiklop namin magkasama dalawa at tatlo, pagkatapos ay maaari mong abstract at mula sa form, umaalis sa modelo lamang ng isang katangian - ang halaga. Ang abstraction at pagtatatag ng mga link sa pagitan ng mga bagay sa pinaka pangkalahatang anyo ay isa sa mga pangunahing direksyon ng matematika pagkamalikhain.
Isa pang direksyon, kasama ang abstraction - generalisation. Halimbawa, summarizing ang konsepto ng "puwang" sa puwang ng N-pagsukat. " Puwang, na may mathematical fiction. Gayunpaman, napakatalino fiction, na tumutulong sa mathematically maunawaan kumplikadong phenomena».
Ang pag-aaral ng mga bagay na intramathematics, bilang isang panuntunan, ay nangyayari gamit ang isang axiomatic na paraan: Una, ang listahan ng mga pangunahing konsepto at mga axiom ay binuo para sa mga bagay sa ilalim ng pag-aaral, at pagkatapos ay ang mga teorema ng nilalaman ay nakuha mula sa axiom ng mga panuntunan ng output, sa pinagsama-samang na bumubuo ng matematikal na modelo.
Batayan
Ang isyu ng kakanyahan at mga batayan ng matematika ay tinalakay mula sa panahon ni Plato. Mula noong ika-20 siglo, mayroong isang kasunduan sa comparative tungkol sa bagay, na dapat isaalang-alang ang mahigpit na katibayan ng matematika, ngunit walang pahintulot sa pag-unawa na sa matematika ito ay orihinal na totoo. Mula dito, ang mga hindi pagkakasundo ay lumitaw sa parehong mga tanong ng axiomatics at ang relasyon ng mga industriya ng matematika at sa pagpili ng mga lohikal na sistema na dapat gamitin sa katibayan.
Bilang karagdagan sa may pag-aalinlangan, ang mga sumusunod na pamamaraan sa isyung ito ay kilala.
Maramihang diskarte
Iminumungkahing isaalang-alang ang lahat ng mga bagay sa matematika sa loob ng balangkas ng teorya ng mga hanay, kadalasang may mga axiomatics ng Cermelo - Frankel (bagaman mayroong maraming iba pang katumbas dito). Ang diskarte na ito ay isinasaalang-alang mula sa kalagitnaan ng ika-20 siglo sa pamamagitan ng nangingibabaw, ngunit sa katunayan karamihan sa matematiko gawa ay hindi nagtatakda ng mga gawain upang isalin ang kanilang mga pahayag mahigpit sa wika ng teorya ng set, ngunit gumana sa mga konsepto at mga katotohanan na itinatag sa ilang mga lugar ng matematika. Kaya, kung ang isang kontradiksyon ay napansin sa teorya ng mga hanay, hindi ito makakaapekto sa pamumura ng karamihan sa mga resulta.
Logicism.
Ang diskarte na ito ay nagpapahiwatig ng mahigpit na pagta-type ng mga bagay sa matematika. Maraming mga paradoxes pag-iwas sa teorya ng set lamang sa pamamagitan ng mga espesyal na trick ay imposible sa prinsipyo.
Pormalismo
Ang diskarte na ito ay nagsasangkot sa pag-aaral ng mga pormal na sistema batay sa klasikong lohika.
Intuitionism.
Ang intuitionism ay nagpapahiwatig ng intuitionist logic sa base ng matematika, mas limitado sa katibayan (ngunit, dahil ito ay itinuturing na mas maaasahan). Intuitionism Tinatanggihan ang katibayan ng kabaligtaran, maraming di-nakabubuti na katibayan ang nagiging imposible, at maraming mga problema ng teorya ng mga hanay ay walang kabuluhan (informalizable).
Nakabubuo matematika
Nakabubuo matematika - malapit sa intuitionism sa matematika, pag-aaral ng estruktural constructions [ linawin]. Ayon sa criterion ng constructiveness - " umiiral - nangangahulugan ito na itatayo" Nakabubuting pamantayan - isang mas malakas na demand kaysa sa criterion ng pagkakapare-pareho.
Mga pangunahing paksa
Numero
Ang konsepto ng "Numero" ay orihinal na may kaugnayan sa mga natural na numero. Sa hinaharap, ito ay dahan-dahan na ipinamamahagi sa integer, nakapangangatwiran, tunay, kumplikado at iba pang mga numero.
| Numeric Systems. | |
|---|---|
| Mga account. Itakda |
Natural na mga numero () buong () rational () algebraic () panahon computable aritmetika |
| Real Numbers. At ang kanilang pagpapalawak |
Real () Complex () Quaternions () Cali Numbers (Octoves, Octonions) () Sedenions () Alternations Cali Procedure - Dixon Dual HyperComplex SuperReal Hypereral surreal number ( ingles) |
| Iba Numeric Systems. |
Cardinal numbers ordinal numbers (transfinite, ordinal) p-adic supernatural numbers |
| Tingnan din | Double Numbers Irrational Numbers Transendental Numeric Beam BikwaterNion. |
Conversion
Discrete matematika
Mga code sa mga sistema ng pag-uuri ng kaalaman
Mga online na serbisyo
Mayroong isang malaking bilang ng mga site na nagbibigay ng serbisyo para sa mga kalkulasyon ng matematika. Karamihan sa kanila ay nagsasalita ng Ingles. Mula sa pagsasalita ng Ruso, maaari mong tandaan ang serbisyo ng mga query sa matematika ng nigma search engine.
Tingnan din
Mga Popularizer ng AghamMga Tala
- Encyclopedia Britannica.
- Webster's Online Dictionary.
- Kabanata 2. Matematika bilang isang wika ng agham. Siberian buksan ang Unibersidad. Naka-archive mula sa orihinal na pinagmulan Pebrero 2, 2012. Sinusuri Oktubre 5, 2010.
- Malaking Ancient Greek Dictionary (αω)
- Diksyunaryo ng wikang Ruso XI-XVII siglo. Isyu 9 / ch. ed. F. P. FILIN. - M.: Agham, 1982. - P. 41.
- Descartes R. Mga panuntunan para sa pamumuno ng isip. M.-l.: SOCHEKGISIS, 1936.
- Tingnan ang: Matematika BSE.
- Marx K., Engels F. Gumagana. 2nd ed. T. 20. P. 37.
- Burbaki N. Mathematics architecture. Mga sanaysay sa kasaysayan ng matematika / pagsasalin ng I. G. Bashmakova Ed. K. A. Rybnikova. M.: Il, 1963. P. 32, 258.
- Kaziev V. M. Panimula sa matematika.
- Mukhin O. I. Manwal na Pagsasanay sa Pagsasanay ng System. Perm: Rzi Pstu.
- Herman Veil. // Klein M. . - m.: MIR, 1984. - P. 16.
- Estado standard na pang-edukasyon Mas mataas na propesyonal na edukasyon. Specialty 01.01.00. "Matematika". Kwalipikasyon - dalub-agbilang. Moscow, 2000 (pinagsama-sama sa ilalim ng pamumuno ng O. B. Lupanova)
- Nomenclature ng mga specialties ng mga siyentipiko, na inaprubahan ng Order ng Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russia ng Pebrero 25, 2009 No. 59
- UDC 51 matematika.
- Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Mga elemento ng linear algebra at analytical geometry. M.: Nauka, 1988. P. 44.
- N. I. Kondakov. Logic Dictionary-Directory. M.: Agham, 1975. P. 259.
- G. I. Ruzavin. Tungkol sa kalikasan matematika kaalaman. M.: 1968.
- http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grrnti/gr27.htm.
- Halimbawa: http://mathworld.wolfram.com.
Literatura
Encyclopedia.- // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus at Efron: Sa 86 volume (82 tonelada at 4 dagdag). - St. Petersburg. , 1890-1907.
- Mathematical encyclopedia (sa 5 volume), 1980s. // pangkalahatan at mga espesyal na libro ng sanggunian sa matematika sa eqworld
- Kondakov N. I. Logic Dictionary-Directory. M.: Agham, 1975.
- Encyclopedia ng matematika agham at ang kanilang mga application (ito.) 1899-1934. (ang pinakamalaking pagsusuri sa literatura ng siglong XIX)
- Korn, T. Corn. Sanggunian sa matematika para sa mga siyentipiko at mga inhinyero M., 1973.
- Klein M. Matematika. Pagkawala ng katiyakan. - m.: MIR, 1984.
- Klein M. Matematika. Maghanap ng katotohanan. M.: Mir, 1988.
- Klein F. Elementarya matematika mula sa punto ng view ng pinakamataas.
- Tom I. aritmetika. Algebra. Pagsusuri m.: Agham, 1987. 432 p.
- Dami II. Geometry m.: Agham, 1987. 416 p.
- Kuralt R., G. Robbins. Ano ang matematika? 3-e ed., Kumilos. at idagdag. - M.: 2001. 568 p.
- Pisarevsky B. M., Kharin V. T. Tungkol sa matematika, mathematicians at hindi lamang. - M.: Binom. Laboratoryo ng kaalaman, 2012. - 302 p.
- Poincare A. Agham at Paraan (RUS) (Fr.)
Ang matematika ay isa sa mga pinakalumang agham. Magbigay mabilis na kahulugan Ang matematika ay hindi sa lahat, ang nilalaman nito ay mag-iiba nang labis depende sa antas ng edukasyon sa matematika ng tao. Schoolboy. pangunahing mga klaseSa pagsisimula lamang ng pag-aaral ng aritmetika, sabi ng matematika na pag-aaral ng mga alituntunin ng mga item sa pagbibilang. At siya ay tama, sapagkat ito ay kasama nito na siya ay nakakatugon sa simula. Ang mga mas lumang paaralan ay nagdaragdag sa kung ano ang sinabi na ang konsepto ng matematika ay nagsasama ng isang algebra at pag-aaral ng mga geometric na bagay: mga linya, ang kanilang mga interseksyon, flat figure, geometric bodies, iba't ibang mga transform. Ang mga nagtapos ng parehong sekundaryong paaralan ay isasama sa kahulugan ng matematika upang pag-aralan pa rin ang mga function at ang pagkilos ng paglipat sa limitasyon, pati na rin ang mga konsepto ng hinalaw at integral na nauugnay dito. Graduates ng mas mataas na teknikal institusyong pang-edukasyon o likas na pang-agham na pasilidad ng mga unibersidad at pedagogical institusyon ay hindi na masisiyahan ang mga kahulugan ng paaralan, tulad ng alam nila na ang komposisyon ng matematika ay nagsasama ng iba pang mga disiplina: probabilidad teorya, mga istatistika ng matematika, mga kaugalian calculus, programming, computational pamamaraan, pati na rin ang mga application ng mga disiplina para sa Proseso ng produksyon ng pagmomodelo, pagproseso ng nakaranas ng data, paghahatid at pagpoproseso ng impormasyon. Gayunpaman, ang katunayan na ito ay nakalista, ang nilalaman ng matematika ay hindi naubos. Ang teorya ng mga hanay, matematikal na lohika, pinakamainam na kontrol, ang teorya ng mga random na proseso at higit pa kasama rin sa komposisyon nito.
Ang mga pagtatangka upang makilala ang matematika sa pamamagitan ng paglilipat ng mga sangkap ng mga sangay nito ay hahantong sa amin bukod, dahil hindi sila nagbibigay ng mga ideya na ang matematika ay nag-aaral at kung ano ang kanyang saloobin sa mundo sa paligid sa amin. Kung ang naturang tanong ay nakatakda sa pisika, isang biologist o astronomo, ang bawat isa sa kanila ay magbibigay ng isang maikling tugon na hindi naglalaman ng listahan ng mga bahagi, kung saan ang agham ay pinag-aralan nila. Ang ganitong sagot ay naglalaman ng indikasyon ng mga phenomena ng kalikasan, na tinuturuan nito. Halimbawa, sasabihin ng isang biologist na ang biology ay nag-aaral ng iba't ibang mga manifestations ng buhay. Hayaan ang sagot na ito ay hindi ganap na nakumpleto dahil hindi ito sinasabi na ang naturang buhay at mga phenomena sa buhay ay, ngunit gayunpaman, tulad ng isang kahulugan ay nagbigay ng isang medyo kumpletong larawan ng nilalaman ng agham ng biology at tungkol sa iba't ibang mga antas ng agham na ito. At ang kahulugan na ito ay hindi magbabago sa pagpapalawak ng aming kaalaman sa biology.
Walang ganitong mga phenomena ng kalikasan, teknikal o panlipunang proseso, na kung saan ay ang paksa ng pag-aaral ng matematika, ngunit hindi nauugnay sa phenomena ng pisikal, biological, kemikal, engineering o panlipunan. Ang bawat natural na disiplina sa agham: biology at physics, kimika at sikolohiya - ay tinutukoy ng materyal na tampok ng paksa nito, tiyak na mga tampok ng rehiyon ng tunay na mundo, na nag-aaral. Ang bagay mismo o kababalaghan ay maaaring pag-aralan ng iba't ibang mga pamamaraan, kabilang ang matematika, ngunit, pagbabago ng mga pamamaraan, mananatili pa rin kami sa loob ng mga limitasyon ng disiplina na ito, dahil ang nilalaman ng agham na ito ay isang tunay na bagay, at hindi isang paraan ng pananaliksik. Para sa matematika, ang materyal na paksa ng pananaliksik ay walang isang tiyak na halaga, ang pamamaraan na ginamit ay mahalaga. Halimbawa, trigonometriko functions. Maaari mo ring gamitin para sa pag-aaral ng kilusang osilosment, at upang matukoy ang taas ng hindi maa-access na item. At anong phenomena ng tunay na mundo ang maaaring tuklasin gamit ang isang paraan ng matematika? Ang mga phenomena na ito ay hindi natutukoy sa pamamagitan ng kanilang materyal na kalikasan, ngunit eksklusibo pormal na mga katangian ng istruktura, at higit sa lahat ng mga dami ng relasyon at spatial na mga form kung saan sila umiiral.
Kaya, ang mga pag-aaral sa matematika ay hindi materyal na mga bagay, ngunit ang mga pamamaraan ng pananaliksik at mga katangian ng istruktura ng bagay ng pag-aaral na nagbibigay-daan sa iyo upang mag-apply ng ilang mga operasyon dito (summation, pagkita ng kaibhan, atbp.). Gayunpaman, ang isang makabuluhang bahagi ng mga problema sa matematika, mga konsepto at mga teorya ay may tunay na phenomena at mga proseso sa pangunahing pinagmulan nito. Halimbawa, ang aritmetika at teorya ng mga numero ay mediated mula sa pangunahing praktikal na gawain - pagbibilang ng mga bagay. Ang elementary geometry ay may mga problema sa pinagmulan na nauugnay sa paghahambing ng mga distansya, pagkalkula ng mga lugar ng flat figure o spatial bodies. Ang lahat ng ito ay kinakailangan upang mahanap, dahil ito ay kinakailangan upang muling ipamahagi lupa Sa pagitan ng mga gumagamit, kalkulahin ang laki ng mga granaries o ang dami ng earthworks sa panahon ng pagtatayo ng mga istraktura ng pagtatanggol.
Ang resulta ng matematika ay may ari-arian na hindi lamang ito magagamit kapag nag-aaral ng isang partikular na hindi pangkaraniwang bagay o proseso, ngunit ginagamit din upang pag-aralan ang iba pang mga phenomena, ang pisikal na likas na katangian na kung saan ay sa panimula naiiba mula sa dati isinasaalang-alang. Kaya, ang mga alituntunin ng aritmetika na naaangkop sa mga gawain ng ekonomiya, at sa mga teknikal na isyu, at kapag nilulutas ang mga problema agrikultura, at sa siyentipikong pananaliksik. Ang mga panuntunan ng aritmetika ay binuo ng Millennium pabalik, ngunit pinanatili nila ang halaga para sa walang hanggang panahon. Ang aritmetika ay isang mahalagang bahagi ng matematika, ang tradisyunal na bahagi nito ay hindi na napapailalim sa creative development sa loob ng balangkas ng matematika, ngunit nahahanap ito at patuloy na makahanap ng maraming mga bagong application. Ang mga application na ito ay maaaring may malaking kahalagahan para sa sangkatauhan, ngunit ang kontribusyon mismo sa matematika ay hindi gagawin.
Matematika, bilang isang creative na puwersa, ay inilaan upang bumuo pangkalahatang mga panuntunanna dapat gamitin sa maraming mga espesyal na kaso. Ang isa na lumilikha ng mga panuntunang ito ay lumilikha ng bago, lumilikha. Ang isa na nag-aplay ng mga alituntunin na yari ay hindi na lumilikha sa matematika mismo, ngunit posible, lumilikha ito ng mga bagong halaga sa tulong ng mga tuntunin ng matematika sa iba pang mga lugar ng kaalaman. Halimbawa, ngayon, ang data ng decryption ng kampanya na ito, pati na rin ang impormasyon sa komposisyon at edad ng bato, geochemical at geophysical anomalies ay naproseso gamit ang mga computer. Walang alinlangan na ang paggamit ng isang computer sa geological studies ay umalis sa mga pag-aaral na may geological. Ang mga prinsipyo ng gawain ng mga computer at ang kanilang mathematical support ay dinisenyo nang hindi isinasaalang-alang ang posibilidad ng kanilang paggamit sa mga interes ng geological sciology. Ang tampok na ito mismo ay tinutukoy ng katotohanan na ang estruktural katangian ng geological data ay alinsunod sa lohika ng ilang mga programa ng computer.
Ang dalawang kahulugan ng matematika ay malawak na ipinamamahagi. Ang una sa kanila ay ibinigay ni F. Engels sa gawaing "anti-dühring", isa pa - isang pangkat ng mga Pranses na mathematicians na kilala bilang Nicola Burbaki, sa artikulong "arkitektura ng matematika" (1948).
"Ang malinis na matematika ay may sariling bagay na spatial form at dami ng relasyon ng tunay na mundo." Ang kahulugan na ito ay hindi lamang naglalarawan ng bagay ng pag-aaral ng matematika, ngunit nagpapahiwatig din ng pinagmulan nito - ang aktwal na mundo. Gayunpaman, ang kahulugan na ito ng F. Engels ay makabuluhang sumasalamin sa estado ng matematika sa ikalawang kalahati ng XIX century. At hindi ito isinasaalang-alang ang mga bagong lugar na hindi direktang may kaugnayan sa anumang dami ng relasyon o geometric form. Ito ay, una sa lahat, matematikal na lohika at disiplina na nauugnay sa programming. Samakatuwid, ang kahulugan na ito ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Marahil ay dapat sabihin na ang matematika ay may sariling bagay sa pag-aaral ng mga spatial form, quantitative relations at lohikal na istruktura.
Bombaki magtaltalan na "ang tanging matematiko bagay maging, sa katunayan, matematiko istruktura." Sa ibang salita, ang matematika ay dapat na tinukoy bilang agham sa mga istruktura ng matematika. Ang kahulugan na ito ay mahalagang Tautology, dahil inaprubahan lamang nito ang isang bagay: Ang matematika ay nakikibahagi sa mga bagay na pag-aaral nito. Ang isa pang depekto ng kahulugan na ito ay hindi nito alam ang relasyon ng matematika sa mundo sa paligid natin. Bukod dito, binibigyang diin ni Bombaki na ang mga istruktura ng matematika ay nilikha anuman ang tunay na mundo at ang mga phenomena nito. Iyon ang dahilan kung bakit pinilit na sabihin ng Bombaki na "ang pangunahing problema ay nasa relasyon sa pagitan ng mundo ng pang-eksperimentong at sa matematika sa mundo. Ang katotohanan na mayroong isang malapit na koneksyon sa pagitan ng mga pang-eksperimentong phenomena at mga istraktura ng matematika - tila medyo hindi inaasahang nakumpirma ng mga pagtuklas. modern physics., ngunit kami ay ganap na hindi kilalang mga dahilan para sa mga ito ... at, marahil, hindi namin malalaman ang mga ito. "
Mula sa kahulugan ng F. Engels, ang naturang disappointing output ay hindi maaaring mangyari, dahil ito ay nagbibigay ng isang pahayag na ang mga konsepto ng matematika ay abstractions mula sa ilang mga relasyon at mga form ng tunay na mundo. Ang mga konsepto na ito ay kinuha mula sa tunay na mundo at konektado dito. Sa kakanyahan, ito ay tiyak na ang kapansin-pansin na pagkakagamit ng matematika ay nagreresulta sa mga phenomena ng mundo sa paligid natin, at sa parehong panahon ang tagumpay ng proseso ng matematika ng kaalaman.
Ang matematika ay hindi isang pagbubukod sa lahat ng mga lugar ng kaalaman - mga konsepto na nagmumula sa mga praktikal na sitwasyon at kasunod na mga abstragment ay nabuo din dito; Pinapayagan ka nitong mag-aral ng katotohanan din ng humigit-kumulang. Ngunit dapat itong maipanganak na ang mga pag-aaral sa matematika ay hindi ang tunay na mga bagay sa mundo, ngunit ang mga abstract na konsepto at ang mga lohikal na konklusyon ay ganap na mahigpit at tumpak. Ang diskarte nito ay hindi panloob na karakter, ngunit nauugnay sa paghahanda ng modelo ng matematika ng kababalaghan. Tandaan din namin na ang mga patakaran ng matematika ay walang ganap na pagkakagamit, para sa kanila mayroon ding limitadong lugar ng aplikasyon, kung saan sila dominado ay hindi nababahagi. Ipaliwanag natin ang pag-iisip na ipinahayag halimbawa: ito ay lumabas na dalawa at dalawa ay hindi palaging katumbas ng apat. Ito ay kilala na kapag paghahalo 2 liters ng alak at 2 L ng tubig, mas mababa sa 4 liters ng mixtures ay nakuha. Sa halo na ito, ang mga molecule ay nakaayos na compact, at ang dami ng timpla ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng mga sangkap ng lakas ng tunog. Ang panuntunan ng aritmetika ay nasira. Maaari ka pa ring magbigay ng mga halimbawa kung saan ang iba pang mga katotohanan ng aritmetika ay nabalisa, halimbawa, kapag nagdadagdag ng ilang mga bagay, ito ay lumiliko na ang halaga ay depende sa pagkakasunud-sunod ng summation.
Maraming mga mathematicians isinasaalang-alang ang mga konsepto ng matematika hindi bilang ang paglikha ng isang dalisay na isip, ngunit bilang abstraction mula sa aktwal na umiiral na mga bagay, phenomena, proseso, o abstractions mula sa na itinatag abstraksion (up abstraction ng mas mataas na order). Sa "Dialectics of Nature" F. Sinulat ni Engels na "ang lahat ng tinatawag na purong matematika ay nakikibahagi sa mga abstraction ... lahat ng mga halaga nito, mahigpit na nagsasalita, mga haka-haka na halaga ..." Ang mga salitang ito ay malinaw na nagpapakita ng opinyon ng isa Ng mga tagapagtatag ng Marxistang pilosopiya sa papel na ginagampanan ng mga abstraction sa matematika. Kailangan lang naming idagdag na ang lahat ng mga "haka-haka na halaga" ay kinuha mula sa tunay na katotohanan, at hindi dinisenyo nang arbitrarily, libreng flight ng pag-iisip. Iyon ay kung paano ang konsepto ng numero ay kasama sa unibersal na paggamit. Sa una, ang mga ito ay mga numero sa loob ng mga yunit, at bukod dito ay lamang ang buong positibong numero. Pagkatapos ay pinalawak ng karanasan ang arsenal ng mga numero hanggang sa dosenang at daan-daang. Ang ideya ng walang limitasyong hanay ng mga integer ay ipinanganak na sa kasaysayan na malapit sa amin: Si Archimedes sa aklat na "Psammith" ("pagkalkula ng mga butil") ay nagpakita kung paano mag-disenyo ng mga numero nang higit pa kaysa sa mga tinukoy. Kasabay nito, ang konsepto ng fractional numbers ay ipinanganak mula sa mga praktikal na pangangailangan. Ang mga kalkulasyon na nauugnay sa pinakasimpleng geometric figure na humantong sa sangkatauhan sa mga bagong numero - hindi makatwiran. Kaya unti-unti ang ideya ng hanay ng lahat ng wastong numero.
Ang parehong landas ay maaaring traced para sa anumang iba pang mga konsepto ng matematika. Ang lahat ng mga ito ay lumitaw ng mga praktikal na pangangailangan at unti-unting nabuo sa abstract konsepto. Maaari mong muli tandaan ang mga salita ng F. Engels: "... malinis na matematika ay mahalaga, independiyenteng ng espesyal na karanasan ng bawat indibidwal na pagkatao ... ngunit ito ay ganap na hindi tama na sa isang malinis na matematika isip lamang sa mga produkto ng sarili pagkamalikhain at imahinasyon. Ang mga konsepto ng mga numero at numero ay hindi kinuha mula sa isang lugar, ngunit lamang mula sa aktwal na mundo. Sampung daliri, kung saan natutunan ng mga tao na mabilang, iyon ay, upang makabuo ng unang operasyon ng aritmetika, kumakatawan sa anumang bagay, hindi lamang isang produkto ng libreng pagkamalikhain ng isip. Upang isaalang-alang, ito ay kinakailangan na hindi lamang ang mga bagay na hindi wasto, ngunit may kakayahang magambala kapag isinasaalang-alang ang mga item na ito mula sa lahat ng iba pang mga katangian, maliban sa bilang, at ang kakayahang ito ay resulta ng mahabang makasaysayang pag-unlad batay sa karanasan . Tulad ng konsepto ng numero at ang konsepto ng figure ay hiniram eksklusibo mula sa labas ng mundo, at hindi lumitaw sa ulo ng dalisay na pag-iisip. Dapat ay may mga bagay na may isang tiyak na hugis, at ang mga form na ito ay dapat na ihambing bago ito ay posible na dumating sa konsepto ng figure. "
Isaalang-alang kung may mga konsepto sa agham na nilikha nang walang komunikasyon sa nakaraang pag-unlad ng agham at kasalukuyang progreso ng pagsasanay. Alam namin nang lubos na ang pang-agham na matematika pagkamalikhain ay sinundan ng pag-aaral ng maraming mga paksa sa paaralan, unibersidad, pagbabasa ng mga libro, mga artikulo, mga pag-uusap na may mga espesyalista sa kanilang sariling larangan at sa iba pang mga lugar ng kaalaman. Ang matematika ay naninirahan sa lipunan, at mula sa mga aklat, sa radyo, mula sa iba pang mga mapagkukunan, natututo siya tungkol sa mga problema na nagmumula sa agham, engineering, pampublikong buhay. Bilang karagdagan, ang pag-iisip ng mananaliksik ay nasa ilalim ng impluwensya ng buong naunang ebolusyon ng pang-agham na pag-iisip. Samakatuwid, ito ay lumabas upang maging handa sa pamamagitan ng paglutas ng ilang mga problema na kinakailangan para sa pag-unlad ng agham. Iyon ang dahilan kung bakit hindi maaaring ilagay ng siyentipiko ang mga problema ng arbitrariness, sa pamamagitan ng kapritso, at dapat lumikha ng mga konsepto ng matematika at mga teorya na mahalaga para sa agham, para sa iba pang mga mananaliksik, para sa sangkatauhan. Ngunit ang mga teorya ng matematika ay nagpapanatili ng kanilang kahalagahan sa mga kondisyon ng iba't ibang pampublikong pormasyon at makasaysayang epochs.. Bilang karagdagan, kadalasan ang parehong mga ideya ay lumitaw mula sa mga siyentipiko na hindi nakakaugnay. Ito ay isang karagdagang argumento laban sa mga sumusunod sa konsepto ng libreng pagkamalikhain ng mga konsepto ng matematika.
Kaya, sinabi namin kung ano ang pumapasok sa konsepto ng "matematika". Ngunit mayroon ding isang konsepto tulad ng inilapat na matematika. Sa ilalim nito ay maunawaan ang kabuuan ng lahat mathematical methods. at disiplina na mga application sa labas ng matematika. Sa sinaunang panahon, ang geometry at aritmetika ay naisip ang lahat ng matematika at, dahil ang iba pang natagpuan maraming mga application sa panahon ng palitan ng kalakalan, pagsukat ng mga lugar at volume, sa mga isyu sa nabigasyon, ang lahat ng matematika ay hindi lamang teoretikal, ngunit din inilapat. Mamaya, B. Ancient Greece., ang paghihiwalay ng matematika at matematika ay inilapat. Gayunpaman, ang lahat ng natitirang mga mathematicians ay nakikibahagi sa mga application, at hindi lamang pulos teoretikal na pag-aaral.
Ang karagdagang pag-unlad ng matematika ay patuloy na konektado sa pag-unlad ng natural na agham, teknolohiya, na may paglitaw ng mga bagong pangangailangan sa lipunan. Sa pagtatapos ng siglong XVIII. Nagkaroon ng isang pangangailangan (una sa lahat may kaugnayan sa mga problema ng nabigasyon at artilerya) ang paglikha ng matematika teorya ng kilusan. Ginawa ito sa kanilang mga gawa G. V. Leibnitz at I. Newton. Inilapat matematika replenished na may isang bagong napakalakas na paraan ng pag-aaral - matematika pagtatasa. Halos sa parehong oras, ang mga pangangailangan ng demograpiya, seguro na humantong sa pagbuo ay nagsimula ang teorya ng probabilidad (tingnan ang mga probabilidad teorya). XVIII at XIX siglo. Ang nilalaman ng inilapat na matematika ay pinalawak sa pamamagitan ng pagdaragdag ng teorya ng kaugalian equation ng ordinaryong at may mga pribadong derivatives, equation ng matematika physics, mga elemento ng mga istatistika ng matematika, kaugalian geometry. XX Century. Nagdala ng mga bagong pamamaraan ng mga praktikal na gawain sa matematika: ang teorya ng mga random na proseso, ang teorya ng mga graph, functional analysis, optimal control, linear at nonlinear programming. Bukod dito, ito ay naka-out na ang teorya ng mga numero at abstract algebra ay natagpuan hindi inaasahang mga application sa mga gawain ng pisika. Bilang resulta, ang paniniwala ay nagsimulang tiyakin na ang inilapat na matematika bilang isang hiwalay na disiplina ay hindi umiiral at ang lahat ng matematika ay maaaring ituring na inilalapat. Marahil hindi kinakailangan na sabihin na ang matematika ay inilalapat at panteorya, ngunit ang matematika ay nahahati sa mga pag-apruba at mga teoriya. Para sa ilang matematika ay ang paraan ng kaalaman sa nakapalibot na mundo at nagaganap sa mga ito phenomena, ito ay para sa layuning ito na ang isang siyentipiko ay bubuo at nagpapalawak ng kaalaman sa matematika. Para sa iba, ang matematika mismo ay isang buong mundo, karapat-dapat sa pag-aaral at pag-unlad. Para sa pag-unlad ng agham, kailangan ang mga siyentipiko at ang iba pang plano.
Matematika, bago mag-aral sa mga pamamaraan nito, ang ilang mga kababalaghan ay lumilikha ng matematiko modelo, i.e. Inililista nito ang lahat ng mga tampok ng hindi pangkaraniwang bagay na dadalhin sa account. Pinipilit ng modelo ang mananaliksik na pumili ng mga matematika na magpapahintulot sa lubos na sapat upang ilipat ang mga peculiarities ng pinag-aralan kababalaghan at ebolusyon nito. Bilang isang halimbawa, kunin ang modelo ng planetary system: ang araw at mga planeta ay itinuturing bilang mga materyal na punto na may kaukulang masa. Ang pakikipag-ugnayan ng bawat dalawang punto ay tinutukoy ng lakas ng pagkahumaling sa pagitan nila.
kung saan ang M 1 at M 2 ay ang masa ng mga interacting point, R ay ang distansya sa pagitan ng mga ito, at F ay pare-pareho. Sa kabila ng lahat ng pagiging simple ng modelong ito, ito ay tatlong daang taong gulang na may mahusay na katumpakan, ang mga tampok ng paggalaw ng mga planeta ng solar system.
Siyempre, ang bawat modelo ng coats katotohanan, at ang gawain ng mananaliksik ay binubuo lalo na sa pagpapanukala ng isang modelo na nagpapadala, sa isang banda, ang pinaka-ganap na aktwal na bahagi ng kaso (dahil kaugalian na magsalita, ang mga pisikal na tampok nito), at sa Ang iba pa - ay nagbibigay ng isang makabuluhang approximation sa katotohanan. Siyempre, para sa parehong kababalaghan maaari kang mag-alok ng ilang mga matematiko modelo. Ang lahat ng mga ito ay may karapatan na umiiral hanggang ang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng modelo at katotohanan ay nagsisimula na makaapekto.
Sa II century BC, ang aklat ng Euclideus ay lumitaw sa Alexandria na may parehong pangalan, sa pagsasalin ng Ruso "ay nagsimula". Mula sa pangalan ng Latin na "nagsimula" ang salitang "elementarya geometry" ay naganap. Sa kabila ng katotohanan na ang mga komposisyon ng mga predecessors ng Euclide ay hindi nakarating sa amin, maaari naming gumawa ng ilang opinyon tungkol sa mga sanaysay na ito sa "simula ng" Euclidea. Sa "simula" may mga seksyon, lohikal na napakaliit na nauugnay sa iba pang mga seksyon. Ang kanilang hitsura ay ipinaliwanag lamang sa pamamagitan ng katotohanan na sila ay ginawa ng tradisyon at kopyahin ang "simula" ng mga predecessors ng euclide.
"Simula" Euclid ay binubuo ng 13 mga libro. 1 - 6 na mga libro ay nakatuon sa Planimetry, 7 - 10 na mga libro - tungkol sa aritmetika at hindi kanais-nais na mga halaga na maaaring binuo gamit ang isang sirkulasyon at ruler. Ang mga aklat mula 11 hanggang 13 ay nakatuon sa stereometry.
"Simula" magsimula sa pahayag ng 23 mga kahulugan at 10 axiom. Ang unang limang axiom ay "karaniwang mga konsepto", ang natitira ay tinatawag na "postulates". Ang unang dalawang postulates ay tumutukoy sa mga pagkilos sa tulong ng isang perpektong linya, ang ikatlong - sa tulong ng isang perpektong sirkulasyon. Ika-apat, "lahat ng tuwid na sulok ay katumbas ng bawat isa," ay hindi kailangan, dahil maaari itong alisin mula sa iba pang mga axiom. Ang huli, ang ikalimang postulate ay nabasa: "Kung direktang bumaba sa dalawang tuwid na linya at bumubuo ng mga panloob na unilateral na anggulo sa halagang mas mababa sa dalawang direktang, pagkatapos, na may isang walang limitasyong pagpapatuloy ng dalawang tuwid na linya, sila ay tatawid mula sa kabilang panig kung saan ang Ang mga sulok ay mas mababa sa dalawang direktang. "
Limang " mga karaniwang konsepto"Euclidea ay ang mga prinsipyo ng pagsukat ng mga haba, sulok, lugar, volume:" katumbas ng parehong ay katumbas ng bawat isa "," kung ito ay katumbas ng pantay na pantay, ang mga kabuuan ay kabilang sa kanilang mga sarili "," kung katumbas ng pantay, Ang mga labi ay katumbas ng bawat isa "," comcommended sa bawat isa ay katumbas ng bawat isa "," buong bahagi ".
Sinimulan ng susunod ang pagpuna sa geometry ng Euclidean. Ang mga euclide ay sinaway para sa tatlong dahilan: para sa pagsasaalang-alang lamang tulad geometriko mga halaga na maaaring constructed gamit ang isang sirkulasyon at isang pinuno; Para sa ang katunayan na siya ruptured geometry at aritmetika at argued para sa integers, kung ano ang napatunayan na para sa mga geometric na halaga, at sa wakas para sa Euclidea axioms. Ang ikalimang postulate ay pinaka-criticized, ang pinaka mahirap euclid post. Marami ang itinuturing na hindi kailangan, at maaari ito at dapat alisin mula sa iba pang mga axiom. Naniniwala ang iba na dapat itong mapalitan ng isang mas simple at visual, katumbas sa kanya: "Pagkatapos ng punto sa labas ng tuwid, maaari mong gastusin sa kanilang eroplano hindi hihigit sa isang direktang, na hindi tumatawid sa tuwid na ito."
Ang pagpuna sa agwat sa pagitan ng geometry at aritmetika ay humantong sa pagpapalawak ng konsepto ng numero sa aktwal na numero. Ang mga pagtatalo tungkol sa ikalimang postulate ay humantong sa katotohanan na maagang XIX. Isang siglo n.i.lobachevsky, I. Bayyai at K.f.gauss ay nagtayo ng isang bagong geometry, kung saan ang lahat ng mga axiom ng Euclidean geometry ay natupad, maliban sa ikalimang postulate. Ito ay pinalitan ng kabaligtaran na pahayag: "Sa eroplano sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng tuwid, maaari kang gumastos ng higit sa isang direktang, hindi intersecting ito." Ang geometry na ito ay pare-pareho bilang geometry ng Euclid.
Ang modelo ng Lobachevsky Planimetry sa eroplano ng Euclidean ay itinayo ng French mathematician Henri Poincaré noong 1882.
Sa eroplano ng Euclidean, gumuhit kami ng pahalang na tuwid na linya. Ang direktang ito ay tinatawag na absolute (x). Ang mga punto ng eroplanong Euclidean na pinagbabatayan ng absolute sa itaas ay ang mga punto ng lobachevsky plane. Ang Lobachevsky eroplano ay ang bukas na half-plane, na nasa itaas ng absolute. Ang mga segment ng Nevklidovy sa modelo ng Poincaré ay mga arko ng mga lupon na may sentro sa absolute o segment ng direktang, perpendicular absolute (AB, CD). Figure sa lobachevsky eroplano - ang figure ng bukas na kalahating eroplano na pinagbabatayan ang absolute sa itaas (f). Ang Movement ng Neevklidovo ay isang komposisyon ng isang may hangganan na bilang ng mga inversion na may sentro sa absolute at ehe symmetries na ang mga axes ay patayo sa absolute. Ang dalawang segment ng di-anak ay pantay-pantay kung ang isa sa kanila ay ang kilusang hindi anak ay maaaring isalin sa iba. Ito ang mga pangunahing konsepto ng axiomatics ng planimetry ng Lobachevsky.
Ang lahat ng mga axiom ng planimetry lobachevsky ay binubuo. "Nevklidova ay direktang - ito ay isang semi-rapidness sa mga dulo sa absolute o sinag sa simula ng absolute at patayo absolute." Kaya, ang assertion ng parallelism ng Lobachevsky ay ginaganap hindi lamang para sa ilang mga direktang A at punto A, na hindi nakahiga sa tuwid na ito, kundi pati na rin para sa anumang direktang A at sinuman na hindi nagsisinungaling dito. A.
Iba pang mga pare-parehong geometries lumitaw para sa Lobachevsky ng geometry: projective geometry na pinaghiwalay mula sa Euclidean, multidimensional Euclidean geometry ay lumitaw, ang Riemannian geometry lumitaw ( pangkalahatang teorya Mga puwang na may isang arbitrary na pagsukat ng batas ng haba) at iba pa. Mula sa agham ng mga numero sa isang tatlong-dimensional na espasyo ng Euclidean, ang geometry sa 40-50 taon ay naging isang hanay ng iba't ibang mga teorya, lamang sa isang bagay na katulad ng kanyang ninuno - Euclidean geometry .
Ang mga pangunahing yugto ng pagbuo ng modernong matematika. Istraktura ng modernong matematika
Academician A.N. Kolmogorov Alemates apat na panahon ng pag-unlad ng matematika kolmogorov A.N. - Matematika, matematika encyclopedic Dictionary., Moscow, Soviet Encyclopedia, 1988: Ang pinagmulan ng matematika, elementarya matematika, matematika ng mga variable na halaga, modernong matematika.
Sa panahon ng pag-unlad ng elementarya matematika mula sa aritmetika, ang teorya ng mga numero ay unti-unting lumalaki. Ang isang algebra ay nilikha bilang sulat calculus. Ang isang nilikha ng mga sinaunang Greeks, ang sistema ng pagtatanghal ng elementarya geometry - Euclidean geometry - para sa dalawang milenyo maaga ay ginawa ng isang sample ng deductive konstruksiyon ng matematika teorya.
Sa siglong XVII, ang mga kahilingan ng natural na agham at teknolohiya ay humantong sa paglikha ng mga pamamaraan na nagpapahintulot sa mathematically upang pag-aralan ang kilusan, mga pagbabago sa mga pagbabago sa halaga, pagbabagong-anyo geometric figure.. Gamit ang paggamit ng mga variable sa analytical geometry at ang paglikha ng kaugalian at integral pagkalkula, ang panahon ng matematika ng mga variable ay nagsisimula. Ang mahusay na pagtuklas ng XVII siglo ay ang konsepto ng walang hanggan maliit na magnitude na ipinakilala ng Newton at Leibniz, ang paglikha ng mga pundasyon ng pag-aaral ng walang hanggan maliit na halaga (matematika pagtatasa).
Ang konsepto ng pag-andar ay inilagay sa unahan. Ang pag-andar ay nagiging pangunahing paksa ng pag-aaral. Ang pag-aaral ng function ay humahantong sa mga pangunahing konsepto ng pagtatasa ng matematika: ang limitasyon, derivative, kaugalian, integral.
Sa oras na ito, ang hitsura ng makikinang na mga ideya ng R. Dekart tungkol sa paraan ng coordinate. Ang analytical geometry ay nilikha, na nagbibigay-daan sa iyo upang pag-aralan ang mga geometric na bagay sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng algebra at pagtatasa. Sa kabilang banda, natuklasan ng paraan ng coordinate ang posibilidad ng geometric interpretation ng algebraic at analytical facts.
Ang karagdagang pag-unlad ng matematika ay humantong sa simula ng siglong XIX sa pagbabalangkas ng problema sa pag-aaral ng mga posibleng uri ng dami ng relasyon at spatial na mga form na may sapat na pangkalahatang punto ng pananaw.
Ang koneksyon ng matematika at natural na agham ay nagiging mas at higit pa kumplikadong mga form.. Ang mga bagong teorya ay lumitaw at lumabas sila hindi lamang bilang resulta ng mga kahilingan ng natural na agham at teknolohiya, kundi pati na rin bilang resulta ng panloob na pangangailangan ng matematika. Ang isang kahanga-hangang halimbawa ng naturang teorya ay ang haka-haka geometry ng n.i.lobachevsky. Ang pagpapaunlad ng matematika sa XIX at XX siglo ay nagbibigay-daan ito upang maiugnay sa panahon ng modernong matematika. Ang pag-unlad ng matematika mismo, ang matematismo ng iba't ibang mga lugar ng agham, ang pagtagos ng mga pamamaraan sa matematika sa maraming lugar ng praktikal na aktibidad, ang pag-unlad ng computational technology ay humantong sa paglitaw ng mga bagong matematiko disiplina, halimbawa, isang pag-aaral ng mga operasyon, laro teorya, matematika ekonomiya at iba pa.
Ang mga pangunahing pamamaraan sa matematikal na pag-aaral ay katibayan ng matematika - mahigpit na lohikal na pangangatwiran. Ang pag-iisip ng matematika ay hindi nabawasan lamang sa lohikal na pangangatwiran. Para sa tamang pagbabalangkas ng problema, ang matematikal na intuwisyon ay kinakailangan upang masuri ang pagpili ng paraan ng solusyon nito.
Ang mga modelo ng matematika ng mga bagay ay pinag-aralan sa matematika. Ang parehong modelo ng matematika ay maaaring ilarawan ang mga katangian ng tunay na phenomena mula sa bawat isa. Kaya, pareho kaugalian equation. Maaaring ilarawan ang mga proseso ng paglago ng populasyon at ang paghiwalay ng isang radioactive substance. Para sa matematika, ang likas na katangian ng mga bagay na isinasaalang-alang ay mahalaga, ngunit ang relasyon sa pagitan nila.
Sa matematika gumamit ng dalawang uri ng mga konklusyon: pagbawas at pagtatalaga sa tungkulin.
Induction - isang paraan ng pananaliksik kung saan pangkalahatang konklusyon Itinayo batay sa mga pribadong parcels.
Ang pagbawas ay isang paraan ng pangangatuwiran, kung saan ang isang pribadong konklusyon ay sinundan mula sa mga karaniwang parcels.
Ang matematika ay may mahalagang papel sa natural na siyentipiko, engineering at humanitarian studies. Ang dahilan para sa pagpasok ng matematika sa iba't ibang sangay ng kaalaman ay nag-aalok ito ng napakalinaw na mga modelo para sa pag-aaral sa nakapalibot na katotohanan, sa kaibahan sa mas pangkalahatang at mas malabo na mga modelo na inaalok ng iba pang mga agham. Walang modernong matematika na may mga nakabuo na lohikal at computing device, imposible ang progreso sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao.
Ang matematika ay hindi lamang isang makapangyarihang paraan ng paglutas ng mga gawain na inilapat at unibersal na agham na wika, kundi isang elemento ng isang karaniwang kultura.
Ang mga pangunahing tampok ng pag-iisip ng matematika
Ayon sa isyung ito, ang katangian ng matematikal na pag-iisip ay partikular na interes, na ibinigay sa isang taon. Khinchin, o sa halip, ang kongkretong makasaysayang form - ang estilo ng pag-iisip ng matematika. Ipinakita ang kakanyahan ng estilo ng pag-iisip ng matematika, nagha-highlight ito ng apat na karaniwang mga tampok para sa lahat ng panahon, kapansin-pansing tangi ang estilo na ito mula sa mga estilo ng pag-iisip sa iba pang mga agham.
Una, para sa matematika ay nailalarawan sa pamamagitan ng pangingibabaw ng lohikal na pamamaraan ng pangangatuwiran. Ang dalubhasa sa matematiko, na nawala, pansamantala, sa paningin, ang pamamaraan na ito ay karaniwang pinagkaitan ng pagkakataon na mag-isip sa siyensiya. Ang kakaibang estilo ng matematikal na pag-iisip ay may maraming mahalaga. Malinaw, pinapayagan ka nitong sundin ang katumpakan ng daloy ng pag-iisip at garantiya mula sa mga pagkakamali; Sa kabilang banda, pinipilit nito ang pag-iisip kapag pinag-aaralan bago ang kanyang mga mata ang buong hanay ng mga magagamit na mga pagkakataon at obligasyon na isaalang-alang ang bawat isa sa kanila, hindi nawawala ang sinuman (ang ganitong uri ng pass ay posible at talagang madalas na sinusunod iba pang mga estilo ng pag-iisip).
Pangalawa, laconicism, i.e. Isang nakakamalay na pagnanais na palaging mahanap ang pinakamaikling humahantong sa layuning ito ng isang lohikal na landas, walang awa na itinatakda ng lahat ng bagay na ganap na kinakailangan para sa perpektong kapunuan ng argumento. Ang matematikal na sanaysay ng isang mahusay na estilo, ay hindi pinahihintulutan ang anumang "tubig", walang dekorasyon, nagpapahina sa lohikal na pag-igting ng ranting, nakakagambala sa gilid; Pinakamataas na paninigas, ang malupit na kalubhaan ng pag-iisip at pagtatanghal nito ay bumubuo ng isang mahalagang traksyon ng pag-iisip ng matematika. Ang tampok na ito ay may higit na halaga hindi lamang para sa matematika, kundi pati na rin para sa anumang iba pang malubhang pangangatuwiran. Lakonis, ang pagnanais na maiwasan ang anumang bagay na hindi kailangan, tumutulong at ang tunay na pag-iisip, at ang kanyang mambabasa o tagapakinig ay ganap na nakatuon sa kursong ito ng mga kaisipan, nang hindi ginulo ng mga ideya ng panig at hindi nawawala ang direktang kontak sa pangunahing linya ng pangangatuwiran.
Ang mga coriferations ng agham, bilang isang panuntunan, sa tingin at concreted concisely sa lahat ng mga lugar ng kaalaman, kahit na ang ideya ng mga ito ay lumilikha at nagtatakda sa panimula ng mga bagong ideya. Ang isang marilag na impression ay gumagawa, halimbawa, ang marangal na kasawian ng pag-iisip at pagsasalita ng mga pinakadakilang tagalikha ng pisika: Newton, Einstein, Nielsa Bor! Maaaring mahirap makahanap ng mas maliwanag na halimbawa kung gaano ang malalim na epekto ay maaaring magkaroon ng estilo ng pag-iisip ng kanyang mga tagalikha sa pagpapaunlad ng agham.
Para sa matematika, ang laconide ng mga saloobin ay isang patuloy, canonized siglo ayon sa batas. Anumang pagtatangka upang pasanin ang pagtatanghal ay hindi kinakailangan (kahit na kahit na kaaya-aya at kamangha-manghang para sa mga tagapakinig) na may mga kuwadro na gawa, distractions, ranting nang maaga sa legal na hinala at awtomatikong nagiging sanhi ng kritikal na alerto.
Ikatlo, malinaw na dismemberment ng progreso. Kung, halimbawa, sa kaso ng patunay ng anumang pangungusap, dapat nating isaalang-alang ang apat na posibleng mga kaso, kung saan ang lahat ay maaaring nahahati sa isang bilang ng mga subheard, pagkatapos ay sa bawat sandali ng pangangatuwiran ang mathematician ay dapat na malinaw na matandaan, kung saan ang subllity ng Ang kanyang pag-iisip ay nakuha na ngayon at kung anong mga kaso at subhean siya ay nananatiling pa rin upang isaalang-alang. Sa anumang uri ng branched transfer, ang dalubhasa sa matematika ay dapat magbayad ng isang ulat sa anumang oras sa kung anong uri ng konsepto ang inililista niya ang mga bahagi ng mga konsepto ng species nito. Sa karaniwan, hindi pang-agham na pag-iisip, madalas naming obserbahan sa ganitong mga kaso ng paghahalo at jumps, na humahantong sa pagkalito at mga pagkakamali sa pangangatwiran. Madalas na mangyayari na ang isang tao ay nagsimulang ilista ang mga uri ng isang uri ng uri, at pagkatapos ay hindi napapansin para sa mga estudyante (at madalas para sa kanyang sarili), gamit ang hindi sapat na lohikal na diskriminasyon ng pangangatuwiran, na inayos sa isa pang genus at natapos ang pahayag na ang parehong mga uri ay ngayon nauuri; At ang mga tagapakinig o mga mambabasa ay hindi alam kung saan ang hangganan ay tumatakbo sa pagitan ng mga species ng una at pangalawang uri.
Upang makagawa ng tulad ng paghahalo at jumps imposible, matematika ay matagal na malawak na ginagamit ng simpleng panlabas na pagkuha ng mga numero ng bilang ng mga konsepto at hatol, minsan (ngunit mas mababa) naaangkop sa iba pang mga agham. Ang mga posibleng kaso o mga generic na konsepto na dapat isaalang-alang sa pangangatwiran na ito ay ang mga Renumber nang maaga; Sa loob ng bawat naturang kaso, ang mga paksa sa subhear, na naglalaman din nito ay din renumbered (minsan, upang makilala sa anumang iba pang mga numero ng numero). Bago ang bawat talata, kung saan ang pagsasaalang-alang ng isang bagong subllitance ay nagsisimula, ito ay ilagay sa pagpapalawak ng pagtatalaga (halimbawa: II 3 - nangangahulugan ito na ang ikatlong kaso ng ikatlong kaso ay itinuturing dito, o isang paglalarawan ng ikatlong uri ng pangalawang uri, kung ito ay dumating sa pag-uuri). At alam ng mambabasa na hanggang pagkatapos, hangga't hindi siya malampasan sa isang bagong numerong heading, ang lahat ng nakabalangkas ay nalalapat lamang sa okasyong ito at sumbrero. Ang sarili mismo, siyempre, na ang gayong bilang ay naglilingkod lamang sa pamamagitan ng panlabas na pagtanggap, lubhang kapaki-pakinabang, ngunit hindi ito sapilitan, at ang kakanyahan ng kaso ay wala dito, ngunit sa natatanging dismemberment ng argumento o pag-uuri, kung saan ito stimulates, at marks ito.
Ika-apat, maingat na katumpakan ng mga simbolo, mga formula, mga equation. Iyon ay, "Ang bawat simbolo ng matematika ay may mahigpit na tinukoy na halaga: palitan ito ng isa pang simbolo o permutasyon sa ibang lugar, bilang isang panuntunan, ay nangangailangan ng pagbaluktot, at kung minsan ang kumpletong pagkawasak ng kahulugan ng pahayag na ito."
Ang pagkakaroon ng highlight ang mga pangunahing tampok ng estilo ng matematika ng pag-iisip, A.YA.Hinchin tala na matematika (lalo na matematika ng variable na halaga) sa pamamagitan ng kalikasan nito ay isang dialektikal na kalikasan, at samakatuwid ay nag-aambag sa pag-unlad ng dialektikal na pag-iisip. Sa katunayan, sa proseso ng pag-iisip ng matematika, ang pakikipag-ugnayan ng isang visual (kongkreto) at haka-haka (abstract). "Hindi namin maisip ang mga linya," wrote cant, "nang hindi gumagasta sa kanyang pag-iisip, hindi namin maaaring isipin ang tatlong dimensyon, nang walang paggastos, mula sa isang punto ng tatlong patayo sa bawat iba pang mga linya."
Ang pakikipag-ugnayan ng kongkreto at abstract "LED" matematiko pag-iisip sa pag-unlad ng mga bago at bagong konsepto at pilosopiko kategorya. Sa antigong matematika (matematika ng pare-pareho ang mga halaga) ay "ang numero" at "puwang", na orihinal na nakalarawan sa aritmetika at euclidean geometry, at mamaya sa algebra at iba't ibang mga geometric system. Matematika ng mga variable "batay" sa mga konsepto kung saan ang kilusan ng bagay ay makikita - "Final", "Walang-hanggan", "pagpapatuloy", "discrete", "walang hanggan maliit", "derivative", atbp.
Kung pinag-uusapan natin ang modernong makasaysayang yugto ng pagpapaunlad ng kaalaman sa matematika, napupunta ito sa karagdagang pag-unlad ng mga kategorya ng pilosopiko: ang teorya ng mga probabilidad na "masters" na posible at random; topology - mga kategorya ng mga relasyon at pagpapatuloy; Ang teorya ng mga kalamidad - ang kategorya ng jump; Ang teorya ng mga grupo - mga kategorya ng mahusay na proporsyon at pagkakaisa, atbp.
Sa matematikal na pag-iisip, ang mga pangunahing pattern ng pagtatayo ng katulad sa anyo ng mga lohikal na koneksyon ay ipinahayag. Sa tulong nito, ang paglipat mula sa isa (sabihin, mula sa ilang mga pamamaraan sa matematika - axiomatic, algorithmic, nakakatulong, teoretiko at iba pa) sa isang espesyal at pangkalahatan, sa mga pangkalahatang deductive building. Ang pagkakaisa ng mga pamamaraan at mga bagay ng matematika ay tumutukoy sa mga detalye ng pag-iisip ng matematika, pinapayagan ka nitong makipag-usap tungkol sa isang espesyal na wika sa matematika, kung saan hindi lamang ang katotohanan ay nakikita, ngunit din synthesized, summarized, pang-agham na kaalaman ay hinulaang. Ang kapangyarihan at kagandahan ng matematikal na pag-iisip - sa paglilimita ng kalinawan ng lohika nito, ang biyaya ng mga istruktura, mga bihasang pagbuo ng mga abstraksiyon.
Sa panimula ng mga bagong posibilidad ng aktibidad ng kaisipan na binuksan sa pag-imbento ng computer, kasama ang paglikha ng matematika ng makina. Sa wika ng matematika may mga makabuluhang pagbabago. Kung ang wika ng classical computing matematika ay binubuo ng mga formula ng algebra, geometry at pagtatasa, na nakatuon sa paglalarawan ng patuloy na proseso ng kalikasan na pinag-aralan, lalo na sa mekanika, astronomiya, pisika, ang modernong wika ay ang wika ng mga algorithm at mga programa, kabilang ang ang lumang formula ng wika bilang pribadong kaso.
Ang wika ng modernong computing matematika ay nagiging mas maraming nalalaman, na may kakayahang naglalarawan ng mga sistema ng komplikadong (multi-parameter). Kasabay nito, gusto kong bigyan ng diin na ang anumang perpektong ay isang matematikal na wika, pinahusay ng electronic computing equipment, hindi ito nagpapataw ng mga koneksyon sa magkakaibang "buhay", natural na wika. Bukod dito, ang pang-usap na wika ay isang artipisyal na base ng wika. Sa bagay na ito, ito ay interesado sa kamakailang pagtuklas ng mga siyentipiko. Ito ang katotohanan na ang sinaunang wika ng Aimara Indians, na nagsasalita tungkol sa 2.5 milyong katao sa Bolivia at Peru, ay lubos na maginhawa para sa mga kagamitan sa computer. Noong unang bahagi ng 1610, ang Italian missionary-Jesuit Louis Burtoni, na unang diksyunaryo ni Aimar, ay nakilala ang henyo ng kanyang mga tagalikha na nakamit ang mataas na lohikal na kadalisayan. Sa Aimar, halimbawa, walang mga maling pandiwa at walang mga eksepsiyon mula sa ilang malinaw na mga panuntunan sa gramatika. Ang mga tampok na ito ng wika ng Aimar ay pinapayagan ang Bolivian matematika na lumikha ng isang sistema ng kasabay na pagsasalin ng computer mula sa alinman sa limang wika ng Europa na inilatag sa programa, ang "tulay" sa pagitan ng Aimar. Si Emm "Aimara", na nilikha ng siyentipikong Bolivian, ay nakatanggap ng mataas na pagtatasa ng mga espesyalista. Summarizing ang bahaging ito ng tanong ng kakanyahan ng estilo ng matematika ng pag-iisip, dapat tandaan na ang pangunahing nilalaman nito ay ang pag-unawa sa kalikasan.
Axiomatic Method.
Ang axiomatics ay ang pangunahing paraan upang magtayo ng teorya, sa unang panahon at hanggang ngayon ay nagkukumpirma ng kagalingan sa lahat nito at lahat ng pagkakagamit.
Ang batayan ng pagtatayo ng teorya ng matematika ay isang axiomatic na paraan. Ang batayan ng teorya ng siyentipiko ay ilang mga paunang probisyon na tinatawag na mga axiom, at lahat ng iba pang mga probisyon ng teorya ay nakuha bilang lohikal na mga kahihinatnan ng mga axiom.
Ang axiomatic method ay lumitaw sa sinaunang Gresya, at sa oras na ito ay nalalapat sa halos lahat ng mga teoretikal na agham, at, higit sa lahat sa matematika.
Paghahambing ng tatlo, sa isang tiyak na paggalang, na umaayon sa bawat isa geometry: Euclidean (parabolic), Lobachevsky (hyperbolic) at Riemannov (elliptical), dapat itong nabanggit na kasama ang ilang mga pagkakatulad mayroong isang mahusay na pagkakaiba sa pagitan ng spherical geometry, sa isang banda , at Euclidean geometries at lobachevsky - sa isa pa.
Ang katutubong pagkakaiba ng modernong geometry ay na ngayon ay sumasaklaw sa "geometry" ng isang walang katapusang maraming ng iba't ibang mga haka-haka na puwang. Gayunpaman, dapat pansinin na ang lahat ng geometries ay interpretasyon ng Euclidean geometry at sila ay batay sa isang axiomatic na paraan sa unang pagkakataon na ginagamit ng euclide.
Batay sa pananaliksik, ang axiomatic method ay binuo at laganap. Bilang isang espesyal na kaso ng paglalapat ng pamamaraang ito, ang paraan ng mga bakas sa stereometry ay ginagamit upang malutas ang mga problema sa pagtatayo ng mga seksyon sa Polyhedra at ilang iba pang mga posisyonal na gawain.
Ang axiomatic method na binuo sa simula sa geometry ay naging isang mahalagang instrumento ng pag-aaral at sa iba pang mga seksyon ng matematika, pisika at mekanika. Sa kasalukuyan, ang trabaho ay isinasagawa upang mapabuti at mas malalim na pag-aaral ng isang axiomatic na paraan para sa pagtatayo ng teorya.
Ang axiomatic method ng pagtatayo ng teorya ng siyentipiko ay upang ilaan ang mga pangunahing konsepto, ang pagbabalangkas ng mga axiom ng mga teorya, at lahat ng iba pang mga pahayag ay nagmula sa lohikal na paraan, batay sa mga ito. Ito ay kilala na ang isang konsepto ay dapat ipaliwanag sa tulong ng iba, na kung saan, ay tinutukoy din gamit ang ilang mga kilalang konsepto. Kaya, dumarating kami sa mga konsepto ng elementarya na hindi maaaring matukoy sa pamamagitan ng iba. Ang mga konsepto na ito ay tinatawag na basic.
Kapag pinatutunayan namin ang pag-apruba, teorama, pagkatapos ay umasa sa mga kinakailangan na itinuturing na napatunayan na. Ngunit ang mga kinakailangang ito ay pinatunayan din, kailangan nila upang bigyang-katwiran. Sa wakas, dumating kami sa mga di-napatunayan na pahayag at tanggapin ang mga ito nang walang patunay. Ang mga pahayag na ito ay tinatawag na mga axiom. Ang hanay ng axiom ay dapat na tulad na, umaasa dito, maaaring patunayan ng isa ang karagdagang mga paratang.
Ang pagkakaroon ng i-highlight ang mga pangunahing konsepto at pagbubuo ng mga axiom, pagkatapos ay nakuha namin ang mga teorema at iba pang mga konsepto na may lohikal na paraan. Ito ang lohikal na istraktura ng geometry. Ang mga axiom at pangunahing konsepto ay bumubuo sa batayan ng planimetry.
Dahil imposibleng magbigay ng isang pinag-isang kahulugan ng mga pangunahing konsepto para sa lahat ng geometries, ang mga pangunahing konsepto ng geometry ay dapat na tinukoy bilang mga bagay ng anumang kalikasan na nakakatugon sa mga axiom ng geometry na ito. Kaya, sa axiomatic construction ng geometric system, nagpapatuloy kami mula sa ilang sistema ng axiom, o axiomatics. Inilalarawan ng mga axiom ang mga katangian ng mga pangunahing konsepto ng geometric system, at maaari naming ipakita ang mga pangunahing konsepto sa anyo ng mga bagay ng anumang kalikasan na may mga katangian na tinukoy sa mga axiom.
Pagkatapos ng mga salita at katibayan ng unang geometric na pahayag, posible na patunayan ang ilang mga paratang (theorems) sa tulong ng iba. Ang katunayan ng maraming mga theorems ay iniuugnay sa Pythagora at Democritus.
Ang Hippocrata Chiosky ay iniuugnay sa paghahanda ng unang sistematikong kurso ng geometry batay sa mga kahulugan at mga axiom. Ang kurso na ito at ang kasunod na pagproseso nito ay tinatawag na "mga elemento".
Axiomatic method para sa pagtatayo ng teorya ng siyensiya
Ang paglikha ng deduksyon o axiomatic na paraan ng pagtatayo ng agham ay isa sa mga pinakadakilang tagumpay ng pag-iisip ng matematika. Hiniling nito ang gawain ng maraming henerasyon ng mga siyentipiko.
Ang isang kahanga-hangang katangian ng deductive system ng pagtatanghal ay ang pagiging simple ng konstruksiyon na ito, na nagbibigay-daan ito upang ilarawan ito sa ilang mga salita.
Ang deductive system ng pagtatanghal ay nabawasan:
1) sa listahan ng mga pangunahing konsepto,
2) sa pahayag ng mga kahulugan
3) sa pagkilos ng mga axiom,
4) upang ipakita ang mga theorems
5) sa patunay ng mga teorema na ito.
Axioma - Pag-apruba na kinuha nang walang katibayan.
Ang teorama ay isang pahayag na nagmumula sa axiom.
Ang patunay ay isang mahalagang bahagi ng deductive system, ito ay isang pangangatwiran, na nagpapakita na ang katotohanan ng pahayag ay nagpapahiwatig ng lohikal mula sa katotohanan ng nakaraang mga teorema o mga axiom.
Sa loob ng deductive system, ang dalawang tanong ay hindi maaaring malutas: 1) sa kahulugan ng mga pangunahing konsepto, 2) sa katotohanan ng axiom. Ngunit hindi ito nangangahulugan na ang mga tanong na ito ay karaniwang hindi malulutas.
Ang kasaysayan ng natural na agham ay nagpapakita na ang posibilidad ng axiomatic construction ng isa o ibang agham ay lilitaw lamang sa isang medyo mataas na antas ng pag-unlad ng agham na ito, batay sa isang malaking aktwal na materyal, ay nagbibigay-daan sa iyo upang malinaw na makilala ang mga pangunahing koneksyon at relasyon na umiiral sa pagitan ang mga bagay na pinag-aralan ng agham na ito.
Ang isang sample ng axiomatic construction ng mathematical science ay elementary geometry. Ang sistema ng axiom ng geometry ay itinakda ng euclide (mga 300 g. BC) sa isang hindi maayos na paggawa "nagsimula". Ang sistemang ito sa mga pangunahing tampok ay napanatili hanggang sa araw na ito.
Pangunahing konsepto: punto, tuwid, pangunahing mga imahe ng eroplano; Mas mababa sa pagitan, pag-aari, kilusan.
Ang elementary geometry ay may 13 axiom na nahahati sa limang grupo. Sa ikalimang grupo, ang isang axiom sa parallel (V ay ang Euclid Post): Sa pamamagitan ng punto sa eroplano, maaari ka lamang gumastos ng isang direktang, na hindi tumatawid sa direktang ito. Ito ang tanging axiom na naging sanhi ng katibayan. Mga pagtatangka upang patunayan ang ikalimang postulates inookupahan mathematicians ng higit sa 2 libong taon, hanggang sa unang kalahati ng ika-19 siglo, i.e. Hanggang sa si Nikolai na si Ivanovich Lobachevsky ay pinatunayan sa kanyang mga sinulat ng isang kumpletong kawalan ng pag-asa ng mga pagtatangka na ito. Sa kasalukuyan, ang di-katumpakan ng ikalimang postulate ay mahigpit na napatunayan na katotohanang matematika.
Axioma tungkol sa parallel n.i. Pinalitan ni Lobachevsky ang Axiom: Hayaan sa eroplano na ito ay isang tuwid at nakahiga sa labas ng tuwid na punto. Pagkatapos ng puntong ito, maaari mong gastusin sa isang ibinigay na direktang, hindi bababa sa dalawang parallel tuwid.
Ng. bagong System. Aksiom n.i. Lobachevsky na may hindi nagkakamali lohikal na kahirapan nagdala ng isang payat na sistema ang theorems na bumubuo sa pagpapanatili ng mga di-anak geometry. Parehong geometries ng Euclidean at Lobachevsky, bilang lohikal na mga sistema ay pantay.
Tatlong mahusay na matematika sa ika-19 na siglo halos sa parehong oras, nakapag-iisa sa bawat isa ay dumating sa isang resulta ng hindi kaapektahan ng ikalimang postulate at sa paglikha ng non-anak geometry.
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)
Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
Janos Boyai (1802-1860)
Matematika na katibayan
Ang pangunahing paraan sa matematikal na pag-aaral ay katibayan ng matematika - mahigpit na lohikal na pangangatwiran. Dahil sa layunin na pangangailangan, ang kaukulang miyembro ng rounds ng Ran L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Modernong matematika at ang kanyang pagtuturo, Moscow, Agham, 1985., mga argumento ng lohika (na, ayon sa kalikasan, kung tama ang mga ito, ay parehong mahigpit) ay kumakatawan sa paraan ng matematika, nang walang mga ito, matematika ay hindi maiisip. Dapat pansinin na ang pag-iisip ng matematika ay hindi nabawasan lamang sa lohikal na pangangatuwiran. Upang maayos na ipahayag ang gawain, upang suriin ang data nito, upang maglaan ng mahahalagang intuwisyon, kinakailangan upang maiwasan ang solusyon nito sa solusyon nito, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahulaan ang nais na resulta bago ito makuha, balangkas ang landas ng pag-aaral sa tulong ng makatwirang pangangatuwiran . Ngunit ang bisa ng katotohanan sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay hindi napatunayan sa pamamagitan ng pagsuri sa isang bilang ng mga halimbawa, hindi isang bilang ng mga eksperimento (na kung saan mismo ay gumaganap ng isang malaking papel sa matematika pag-aaral), ngunit isang pulos lohikal na landas, ayon sa mga batas ng pormal lohika.
Ito ay pinaniniwalaan na ang mathematical proof ay ang katotohanan sa huling pagkakataon. Ang solusyon na batay sa malinis na lohika ay hindi maaaring hindi tama. Ngunit sa pag-unlad ng agham at mga gawain sa harap ng matematika ay lalong kumplikado.
"Kami ay pumasok sa panahon nang ang mathematical apparatus ay naging sobrang kumplikado at masalimuot na sa unang sulyap ay hindi maaaring sinabi - matapat o hindi natutugunan ang gawain," naniniwala si Kate Devlin mula sa Stenford University of California, USA. Ito ay humahantong sa isang halimbawa ng isang "pag-uuri ng mga simpleng pangkat na may hangganan", na binuo noong 1980, at ganap na tumpak na naaakit hanggang ngayon. Malamang, ang teorama ay tapat, ngunit imposibleng pag-usapan ito.
Ang solusyon sa computer ay imposible ring tawagan nang tumpak, para sa naturang mga kalkulasyon ay laging may error. Noong 1998, ang halat ay nagpanukala ng isang solusyon sa Kepler Theorem gamit ang isang computer na binuo noong 1611. Inilalarawan ng teorama na ito ang pinaka makapal na packaging ng mga bola sa espasyo. Ang patunay ay iniharap sa 300 mga pahina at naglalaman ng 40000 mga linya ng makina code. 12 Sinubok ng mga tagasuri ang desisyon sa panahon ng taon, ngunit hindi pa nila nakamit ang isang daang porsyento ng pagtitiwala sa katumpakan ng katibayan, at ang pag-aaral ay ipinadala sa refinement. Bilang isang resulta, ito ay nai-publish lamang apat na taon at walang kumpletong sertipikasyon ng mga tagasuri.
Ang lahat ng mga huling kalkulasyon para sa mga inilapat na gawain ay ginawa sa isang computer, ngunit naniniwala ang mga siyentipiko na para sa mas malawak na pagiging maaasahan, ang mga kalkulasyon ng matematika ay dapat na kinakatawan nang walang mga pagkakamali.
Ang teorya ng patunay ay binuo sa lohika at may kasamang tatlong bahagi ng istruktura: ang sanaysay (kung ano ang dapat patunayan), mga argumento (isang hanay ng mga katotohanan, sa pangkalahatan ay tinanggap ang mga konsepto, mga batas, na may kaugnayan sa agham) at pagpapakita (ang pamamaraan para sa pag-deploy ng katibayan) ; pare-parehong kadena ng mga konklusyon kapag ang konklusyon ng N-ingay ay nagiging isa sa mga parcels n + 1st konklusyon). Ang mga alituntunin ng katibayan ay inilalaan, posibleng lohikal na mga pagkakamali ay ipinahiwatig.
Ang mathematical proof ay may maraming karaniwan sa mga prinsipyong iyon na itinatag sa pamamagitan ng pormal na lohika. Bukod dito, ang mga tuntunin ng matematika ng pangangatuwiran at operasyon ay malinaw na nagsilbi bilang isa sa mga pangunahing kaalaman sa pagpapaunlad ng pamamaraan ng patunay sa lohika. Sa partikular, ang mga mananaliksik ng pagpapaunlad ng pormal na lohika upang maniwala na sa isang pagkakataon, nang gawin ni Aristotle ang mga unang hakbang upang lumikha ng mga batas at regulasyon ng lohika, lumipat siya sa matematika at sa pagsasagawa ng legal na aktibidad. Sa mga pinagkukunang ito, natagpuan niya ang materyal para sa mga lohikal na constructions ng inilaan na teorya.
Sa ika-20 siglo, ang konsepto ng katibayan ay nawala ang isang mahigpit na kahulugan, na nangyari dahil sa pagtuklas ng mga lohikal na paradoxes, na nagaganap sa teorya ng mga hanay at lalo na may kaugnayan sa mga resulta, na dinala ni K. Gedel's theorems tungkol sa hindi kumpleto na formalization.
Una sa lahat, hinawakan nito ang matematika mismo, na may kaugnayan sa kung saan ang paniniwala ay ipinahayag na ang terminong "patunay" ay walang tumpak na kahulugan. Ngunit kung ang ganitong opinyon (nagaganap at ngayon) ay nakakaapekto sa matematika mismo, pagkatapos ay dumating sila sa konklusyon, ayon sa kung aling katibayan ang dapat dadalhin hindi sa lohikal at matematika, ngunit sa isang sikolohikal na kahulugan. Dahil dito, ang hitsura na ito ay matatagpuan sa napaka Aristotle, na itinuturing na ito ay upang patunayan na magsagawa ng isang pangangatwiran na kumbinsihin sa amin sa isang lawak na, gamit ito, kumbinsihin namin ang iba na maging tama. Ang isang lilim ng isang sikolohikal na diskarte na natagpuan a.e.i.senin-volpin. Siya ay mahigpit na sinasalungat ang pag-aampon ng katotohanan nang walang katibayan, pagkonekta nito sa gawa ng pananampalataya, at pagkatapos ay nagsusulat: "Tumawag ako ng patunay ng paghatol, tumawag ako ng matapat na pagtanggap na ginagawang isang hindi mapag-aalinlanganan na paghatol." Ang Yesenin-Volpin ay nagbibigay ng isang ulat na ang kanyang kahulugan ay nangangailangan ng kahit na sa paglilinaw. Kasabay nito, ang katangian ng patunay bilang "tapat na pagtanggap" ay ang apela ng moral at sikolohikal na pagtatasa?
Kasabay nito, ang pagtuklas ng maraming kabalintunaan teoretikal at ang hitsura ng mga teorema ng Gedel ay nag-ambag lamang sa pagpapaunlad ng teorya ng katibayan ng matematika na isinagawa ng mga intuitionist, lalo na ang direksyon ng constructivist, at d.gilbert.
Minsan ito ay pinaniniwalaan na ang matematiko patunay ay unibersal at kumakatawan sa perpektong bersyon ng pang-agham na katibayan. Gayunpaman, hindi lamang ang paraan, may iba pang mga paraan ng mga pamamaraan at operasyon ng Evidentiary. Totoo na ang katibayan ng matematika ay may maraming katulad sa pormal na lohikal, maaaring makuha sa natural na agham, at ang katibayan ng matematika ay may isang tiyak na pagtitiyak, pati na rin ang isang hanay ng pagtanggap ng mga operasyon. Sa ganito tayo ay titigil, na hindi natin nauugnay sa iba pang mga anyo ng katibayan, iyon ay, nang walang pag-deploy sa lahat ng hakbang (kahit na ang pangunahing) algorithm, mga alituntunin, mga pagkakamali, atbp. Proseso ng patunay.
Ang patunay ng matematika ay kumakatawan sa pangangatuwiran, pagkakaroon ng isang gawain upang patunayan ang katotohanan (siyempre, sa matematika, iyon ay, bilang isang derivability, pakiramdam) ng anumang pag-apruba.
Ang hanay ng mga patakaran na inilapat sa patunay ay nabuo kasama ang pagdating ng axiomatic constructions ng matematika teorya. Ang pinaka-malinaw at ganap ay ipinatupad sa geometry ng euclide. Ang kanyang "simula" ay naging isang uri ng pamantayan ng modelo ng isang axiomatic na organisasyon ng kaalaman sa matematika, at sa isang mahabang panahon ay nanatiling tulad ng mga mathematicians.
Ang mga pahayag na isinumite sa anyo ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ay dapat na garantiya ang konklusyon na, napapailalim sa mga patakaran ng lohikal na operating at itinuturing na napatunayan. Dapat itong bigyang-diin na ang isang tiyak na pangangatwiran ay katibayan lamang tungkol sa ilang sistemang axiomatic.
Kapag nag-characterize ng katibayan ng matematika, dalawang pangunahing tampok ang inilaan. Una sa lahat, ang katunayan na ang katibayan ng matematika ay hindi kasama ang anumang mga sanggunian sa empirius. Ang buong pamamaraan para sa pagpapatibay ng katotohanan ng output ay isinasagawa sa loob ng balangkas ng pinabilis na axiomatics. Academician A.D. Alksandrov, na may kaugnayan sa ito, emphasizes. Maaari mong sukatin ang mga sulok ng tatsulok na libu-libong beses at siguraduhin na sila ay katumbas ng 2D. Ngunit ang matematika ay hindi patunayan ang anumang bagay. Patunayan niya kung dadalhin mo ang nakahanay na assertion mula sa axiom. Ulitin. Narito ang matematika at malapit na pamamaraan ng scholasticism, na sa panimula din ay tinatanggihan ang argumento ay nakaranas ng mga katotohanang ito.
Halimbawa, kapag natuklasan ang papasok na mga segment, na may patunay ng teorama na ito, ang isang apela sa pisikal na eksperimento ay hindi kasama, dahil, una, ang tunay na konsepto ng "di-elementarya" ay pinagkaitan ng pisikal na kahulugan, at, ikalawa, matematika at hindi maaaring, pagharap sa abstraction, maakit para sa tulong ng mga tunay na tiyak na haba, sinusukat ng isang sensually visual na pagtanggap. Ang hindi pagkumpleto, lalo na, ang mga partido at diagonals ng parisukat, ay pinatunayan, batay sa ari-arian ng mga integer sa paglahok ng Pythagorean theorem sa pagkakapantay-pantay ng parisukat ng hypotenuse (ayon sa pagkakabanggit - pahilis) ang kabuuan ng mga parisukat ng cathets (dalawang gilid ng hugis-parihaba tatsulok). O kapag hinahanap ni Lobachevsky ang kumpirmasyon para sa kanyang geometry, na tumutukoy sa mga resulta ng mga obserbasyon sa astronomya, ang kumpirmasyon na ito ay isinasagawa ng mga ito sa pamamagitan ng isang pulos na ispekulatibong kalikasan. Sa interpretasyon ng Nehvklide geometry na isinagawa ng Cali - Klein at Beltra, lumitaw din ang karaniwang matematika, at hindi pisikal na bagay.
Ang ikalawang tampok ng katibayan ng matematika ay ang pinakamataas na abstraction nito, na kung saan ito ay naiiba mula sa mga pamamaraan ng patunay sa iba pang mga agham. At muli, tulad ng sa kaso ng konsepto ng isang matematikal na bagay, hindi lamang kami tungkol sa antas ng abstraction, ngunit tungkol sa kalikasan nito. Ang katotohanan ay ang mataas na antas ng patunay ng abstraction ay umaabot sa parehong bilang ng iba pang mga agham, halimbawa, sa pisika, kosmolohiya at, siyempre, sa pilosopiya, dahil ang paksa ng huli ay nagiging limitasyon ng mga problema sa pagiging at pag-iisip. Ang matematika ay nakikilala sa pamamagitan ng ang katunayan na may mga variable, ang kahulugan ng kung saan ay sa kaguluhan mula sa anumang partikular na mga katangian. Isipin na, sa pamamagitan ng kahulugan, mga variable - mga palatandaan na ang kanilang mga sarili ay walang mga halaga at makuha ang huling lamang kapag substituting ang mga pangalan ng ilang mga bagay (indibidwal na mga variable), o kapag tumutukoy sa mga tiyak na mga katangian at mga relasyon (predicate variable), o sa wakas kaso ng kapalit ng isang variable na makabuluhang pahayag (propositional variable).
Inanunsyo ang tampok at dahil sa likas na katangian ng matinding mga daglat na ginagamit sa matematika na patunay ng mga palatandaan, pati na rin ang mga pahayag na, salamat sa pagsasama ng mga variable sa kanilang istraktura, ay binago sa isang function na pahayag.
Ang patunay na pamamaraan mismo, tinutukoy sa lohika bilang isang demonstrasyon, ay nagpapatuloy batay sa mga patakaran ng output, umaasa kung saan ang paglipat mula sa ilang mga napatunayan na pahayag sa isa pa, na bumubuo ng serial chain ng mga konklusyon. Ang pinaka-karaniwang mga patakaran (substitutions at konklusyon) at ang deduction theorem ay pinaka-karaniwan.
Panuntunan ng pagpapalit. Sa matematika, ang pagpapalit ay tinukoy bilang isang kapalit ng bawat isa sa mga elemento ng isang ibinigay na hanay ng anumang iba pang elemento f (a) mula sa parehong hanay. Sa matematikal na lohika, ang panuntunan ng pagpapalit ay binuo bilang mga sumusunod. Kung ang tunay na formula m sa pahayag ng calculus ay naglalaman ng sulat, sabihin ng isang, pagkatapos, pinalitan ito sa lahat ng dako, kung saan ito nangyayari, isang arbitrary na titik D, nakakakuha kami ng isang formula, totoo rin bilang orihinal. Posible ito, at pinahihintulutan dahil ito ay sa pagkalkula ng mga pahayag ay ginulo ng kahulugan ng mga pahayag (mga formula) ... lamang ang mga halaga ng "katotohanan" o "kasinungalingan" ay isinasaalang-alang. Halimbawa, sa Formula M: A -\u003e (BUA) sa lugar na pinalitan namin ang expression (AUB), bilang isang resulta nakakuha kami ng isang bagong formula (AUB) -\u003e [(BU (AUB)].
Ang panukalang output ng konklusyon ay tumutugma sa istraktura ng kondisyon na categorical slitogism ng modus ponens (approving mode) sa pormal na lohika. Mayroon itong sumusunod na form:
a. .
Ang pahayag ay ibinigay (a-\u003e b) at binibigyan pa rin ng isang. Mula sa sumusunod na ito.
Halimbawa: Kung umuulan, pagkatapos ay basa ang tulay, ang ulan ay (a), samakatuwid, ang tulay ay basa (b). Sa matematikal na lohika, ang syllogism na ito ay nakasulat sa ganitong paraan (a-\u003e b) a-\u003e b.
Ang konklusyon ay tinukoy, bilang isang panuntunan, mga tanggapan para sa implikasyon. Kung ang implikasyon (a-\u003e b) at ang antecedent (a) ay ibinigay, pagkatapos ay may karapatan kaming sumali sa pangangatwiran (katibayan) din ng isang bunga ng implikasyon (b). Silogismo ay sapilitan, na ginagawang arsenal ng deduksyon paraan ng katibayan, iyon ay, ganap na pagsagot sa mga kinakailangan ng matematika pangangatwiran.
Ang isang malaking papel sa matematika patunay ay gumaganap ng deduction theorem - ang pangkalahatang pangalan para sa isang bilang ng mga theorems, ang pamamaraan na tinitiyak ang kakayahang magtatag ng patunay ng implux: A-\u003e B, kapag ang lohikal na output ng formula B ay halata Sa Formula A. Sa pinakakaraniwang pagpipilian para sa mga pahayag (sa klasiko, intuitionist at iba pang mga uri ng matematika) ang pag-aalis ng teorama ay nag-apruba sa mga sumusunod. Kung ang sistema ng parsela ay ibinigay at ang parsela A, mula sa kung saan, ayon sa mga patakaran, nagmula bg, ab (- ang tanda ng output), ito ay sumusunod na lamang mula sa parcels g, posible upang makakuha ng isang alok a - \u003e B.
Tiningnan namin ang uri na direktang katibayan. Kasabay nito, ginagamit ng lohika ang tinatawag na di-tuwiran, walang direktang katibayan na na-deploy ayon sa sumusunod na pamamaraan. Nang walang, dahil sa isang bilang ng mga kadahilanan (ang hindi mararating ng bagay ng pag-aaral, ang pagkawala ng katotohanan ng pagkakaroon nito, atbp.) Ay ang posibilidad ng direktang katibayan ng katotohanan ng anumang pag-apruba, ang sanaysay, bumuo ng antitesis. Kumbinsido sila na ang antithesis ay humahantong sa mga kontradiksyon, at, ito ay naging hindi totoo. Pagkatapos, mula sa katunayan ng flaunt ng antitesis, ginagawa nila batay sa batas ng ibinukod na ikatlong (isang V) - ang konklusyon tungkol sa katotohanan ng sanaysay.
Sa matematika, ang isa sa mga anyo ng di-tuwirang katibayan ay malawakang ginagamit - patunay ng pangit. Ito ay lalong mahalaga at, sa katunayan, ay lubhang kailangan sa pag-aampon ng mga pangunahing konsepto at mga probisyon ng matematika, halimbawa, ang konsepto ng may-katuturang infinity, na imposible sa anumang iba pang paraan.
Ang pagpapatakbo ng katibayan mula sa salungat ay iniharap sa matematikal na lohika tulad ng sumusunod. Ang pagkakasunud-sunod ng mga formula g at pagtanggi A (G, A) ay ibinigay. Kung sumusunod ito mula sa b at ang pagtanggi nito (G, AB, non-B), maaari nating tapusin na ang katotohanan ay nakuha mula sa pagkakasunud-sunod ng Formula G. sa ibang salita, ang katotohanan ng tesis ay sumusunod mula sa kasinungalingan ng antitesis.
Mga sanggunian:
1. n.sh.kremer, b.a. putko, i.m.trishin, m.n.fridman, mas mataas na matematika para sa mga ekonomista, aklat-aralin, Moscow, 2002;
2. L.D. Cudryavtsev, modernong matematika at ang kanyang pagtuturo, Moscow, Agham, 1985;
3. O.I. Larichev, layunin modelo at subjective solusyon, Moscow, Agham, 1987;
4. A.YA. Khalamizer, "Matematika? - Nakakatawang! ", Ang publikasyon ng may-akda, 1989;
5. p.k.Rashevsky, riemanova geometry at tensor analysis, Moscow, 3 edisyon, 1967;
6. v.e.gmurman, teorya ng posibilidad at mga istatistika ng matematika, Moscow, mataas na paaralan, 1977;
7. World Enternet Network.
Ang matematika ay isang agham ng quantitative relations at spatial forms ng wastong mundo. Sa isang hindi maituturing na koneksyon sa mga kahilingan ng agham at teknolohiya, ang margin ng dami ng relasyon at spatial na mga porma na pinag-aralan ng matematika ay patuloy na lumalawak, kaya ang kahulugan sa itaas ay dapat na maunawaan sa pangkalahatang kahulugan.
Ang layunin ng pag-aaral ng matematika ay upang madagdagan ang pangkalahatang pananaw, kultura ng pag-iisip, ang pagbuo ng pang-agham na worldview.
Ang pag-unawa sa independiyenteng posisyon ng matematika bilang espesyal na agham ay naging posible pagkatapos ng akumulasyon ng isang sapat na malaking aktwal na materyal at lumitaw sa unang pagkakataon sa sinaunang Gresya sa mga siglo ng VI-V sa ating panahon. Ito ay ang simula ng isang panahon ng elementarya matematika.
Sa panahong ito, ang mga pag-aaral sa matematika ay nakikitungo lamang sa isang medyo limitadong reserba ng mga pangunahing konsepto na lumitaw sa pinakamadaling pangangailangan ng buhay pang-ekonomiya. Kasabay nito, ang husay na pagpapabuti ng matematika bilang agham ay nangyayari.
Ang modernong matematika ay kadalasang inihambing sa isang malaking lungsod. Ito ay isang mahusay na paghahambing, dahil sa matematika, tulad ng sa isang malaking lungsod, mayroong isang patuloy na proseso ng paglago at pagpapabuti. Ang mga bagong lugar ay lumitaw sa matematika, kaaya-aya at malalim na mga teorya ay itinayo, katulad ng pagtatayo ng mga bagong tirahan at mga gusali. Ngunit ang progreso ng matematika ay hindi nabawasan lamang sa pagbabago sa mukha ng lungsod dahil sa pagtatayo ng isang bago. Kailangan mong baguhin ang lumang. Ang mga lumang teorya ay kasama sa bago, mas pangkalahatang; May pangangailangan na palakasin ang mga pundasyon ng mga lumang gusali. Kinakailangan na maglatag ng mga bagong kalye upang magtatag ng mga link sa pagitan ng malayong tirahan ng matematikal na lungsod. Ngunit hindi sapat ito - ang disenyo ng arkitektura ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, dahil ang pagkakaiba sa iba't ibang mga rehiyon ng matematika ay hindi lamang sumisira sa pangkalahatang impresyon ng agham, kundi pati na rin ang nakakasagabal sa pag-unawa sa agham sa pangkalahatan, ang pagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng iba't ibang bahagi nito.
Ang isa pang paghahambing ay kadalasang ginagamit: Ang matematika ay tulad ng isang malaking puno ng sumasanga, na sistematikong nagbibigay ng mga bagong shoots. Ang bawat sangay ng isang puno ay ang isa o ibang rehiyon ng matematika. Ang bilang ng mga sanga ay hindi nananatiling hindi nagbabago, dahil ang mga bagong sangay ay lumalaki, lumalaki sila nang una, ang ilan sa mga sanga ay lumubog, wala ang nutritional juices. Ang parehong mga paghahambing ay matagumpay at napakahusay na ipinapadala ang aktwal na sitwasyon.
Walang alinlangan na ang pangangailangan ng kagandahan ay gumaganap ng isang malaking papel sa pagbuo ng mga teorya ng matematika. Ito ay hindi nagsasabi na ang pakiramdam ng kagandahan ay napaka-subjective at madalas may sapat na pangit na mga ideya tungkol dito. At gayon pa man ito ay kinakailangan upang mabigla sa pamamagitan ng unanimity, na namuhunan ng mga mathematicians sa konsepto ng "kagandahan": ang resulta ay itinuturing na maganda kung mula sa isang maliit na bilang ng mga kondisyon posible upang makakuha ng isang pangkalahatang konklusyon na may kaugnayan sa isang malawak na hanay ng mga bagay. Ang matematikal na konklusyon ay itinuturing na maganda kung mayroong simple at maikling pangangatuwiran dito upang patunayan ang isang makabuluhang katotohanan sa matematika. Mature matematika, ang kanyang talento ay nahulaan sa pamamagitan ng kung paano binuo siya ay may isang pakiramdam ng kagandahan. Aesthetically nakumpleto at mathematically perpektong resulta ay mas madaling maunawaan, tandaan at gamitin; Mas madaling makilala ang kanilang relasyon sa iba pang mga lugar ng kaalaman.
Ang matematika sa ating panahon ay naging isang siyentipikong disiplina na may iba't ibang direksyon sa pananaliksik, isang malaking bilang ng mga resulta at pamamaraan. Ang matematika ay napakahusay na ngayon na walang posibilidad para sa isang tao na takpan ito sa lahat ng mga bahagi nito, walang posibilidad na maging isang unibersal na espesyalista. Ang pagkawala ng mga link sa pagitan ng mga indibidwal na direksyon nito ay tiyak na isang negatibong epekto ng mabilis na pag-unlad ng agham na ito. Gayunpaman, ang pag-unlad ng lahat ng mga industriya ng matematika ay ang pangkaraniwan - ang mga pinagmulan ng pag-unlad, ang mga ugat ng puno ng matematika.
Euclidean geometry bilang unang likas na teorya ng agham
Matematika 1. Saan nagmula ang salitang matematika? Sino ang dumating sa matematika? 3. Mga pangunahing paksa. 4. Kahulugan 5. Etymology sa huling slide.
Saan nanggaling ang salita (pumunta sa nakaraang slide) Matemaa Tika mula sa Griyego - Pag-aaral, Agham) - Agham ng mga istraktura, kaayusan at relasyon na may kasaysayan na binuo batay sa pagkalkula, pagsukat at paglalarawan ng anyo ng mga bagay. Ang mga bagay sa matematika ay nilikha ng idealisasyon ng mga katangian ng tunay o iba pang mga bagay sa matematika at itala ang mga katangian na ito sa pormal na wika.
Sino ang dumating sa matematika (pumunta sa menu) ang unang dalub-agbilang ay ginawa upang tawagan si Falez Miletsky, na nanirahan sa Century VI. BC e. , isa sa mga tinatawag na pitong matalinong tao ng Gresya. Maging tulad nito, ngunit siya ang siyang unang istraktura ang buong kaalaman base para sa gastos na ito, na matagal nang nabuo sa loob ng mundo na kilala sa kanya. Gayunpaman, ang may-akda ng unang treatise sa matematika ay umabot sa amin ay Euclide (III century. BC). Maaari rin itong maging karapat-dapat na isinasaalang-alang ng ama ng agham na ito.
Ang mga pangunahing paksa (pumunta sa menu) sa rehiyon ng matematika ay kinabibilangan lamang ng mga agham na kung saan ang alinman sa order, o panukalang-batas, at ganap na hindi mahalaga, ang mga numerong ito, mga sukat, ang panukalang ito ay makakahanap . Kaya, dapat magkaroon ng isang pangkalahatang agham, na nagpapaliwanag ng lahat na may kaugnayan sa pamamaraan at hindi bababa sa, nang hindi pumasok sa pag-aaral ng anumang mga pribadong paksa, at ang agham na ito ay dapat na tinatawag na hindi dayuhan, ngunit ang lumang isa na kasama sa paggamit ng unibersal matematika.
Ang kahulugan (pumunta sa menu) sa isang klasikong pagtatasa ng matematika ay batay sa isang modernong pagtatasa, na itinuturing bilang isa sa tatlong pangunahing direksyon ng matematika (kasama ang algebra at geometry). Kasabay nito, ang terminong "mathematical analysis" sa klasikal na pag-unawa ay pangunahing ginagamit sa kurikulum at mga materyales. Sa tradisyon ng Anglo-Amerikano, ang klasikong pagtatasa ng matematika ay tumutugma sa programa ng kurso na may pangalan na "Calculus"
Etymology (pumunta sa menu) ang salitang "matematika" ay naganap mula sa iba. Ano ang pag-aaral, kaalaman, agham, at iba pa. -Grech, sa simula ay nangangahulugang madaling kapitan, sunud-sunod, na may kaugnayan sa pag-aaral, kasunod na may kaugnayan sa matematika. Sa partikular, sa Latin, ay nangangahulugang ang sining ng matematika. Ang terminong dr. -Grech. Sa modernong kahulugan ng salitang ito na "matematika" ay natagpuan na sa mga kasulatan ng Aristotle (IV siglo BC) sa mga teksto sa Russian, ang salitang "matematika" o "mailematics" ay matatagpuan, hindi bababa mula sa siglong XVII, halimbawa , Nicholas Spa sa "Book of Chosen sa maikling tungkol sa siyam na Musakh at ang Sedmi High Free Arts" (1672)
