Razumijevanje Pokhídno

Hajde funkcija f(x) se dodjeljuje tekućem međuvremenom x. Nadamo se vrijednost argumenta u bodovima x 0 X dovoljan prirast Δ x tako da jecaj x0 + Δ x tako lezi x. Istog dana povećanje funkcije f(x) zaliha Δ at = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Zakazivanje 1. Lateralne funkcije f(x) u tački x0 naziva se granica poboljšanja funkcije u tački tsij do poboljšanja argumenta na Δ x 0 (na primjer, između redova).

Za prepoznavanje slične funkcije crtaju se simboli u" (x0) ili f"(x0):

Yakshcho u deyakíy point x0 granica (4.1) nije ograničena:

onda se čini da je u točki x0 funkcija f(x) svibanj Otići ću zauvijek.

Koja je funkcija f(x) može ići do množitelja poena kože x, onda loše f"(x) također funkcioniraju kao argument X, dodijeljen x.

Geometrijski senzor

Da bismo razumjeli geometrijski smisao sličnog, potrebna nam je oznaka za fiksiranje grafa funkcije u datoj tački.

Zakazivanje 2. Stosuetsya na raspored funkcije y = f(x) u tački M nazvana granična situacija MN, ako dot N pragne bodova M duž krivina f(x).

Hajde M na krivini f(x) odgovara vrijednosti argumenta x0, i zrnca N- vrijednost argumenta x0 + Δ x(Slika 4.1). Z vznachennya dotichny slid, scho x0 potrebno je uspostaviti granicu, kao dorívnyuê kutu nahil dotichí̈ prema osi Ox. 3 trikutnik MNA vrišti šta

Kakva kul funkcija f(x) u tački x0ísnuê, dakle, zgídno (4.1), otrimuêmo

Zvídsi zviždi na oko onoga koji f"(x0) bliže koeficijentu reza (tangenta reza na pozitivnu ravnu osu Ox) = f(x) at tačka M(x0, f(x0)). Kada je komu kut nahil dotično, prikazane su formule (4.2):

Fizički osjećaj vremena

Pretpostavimo da je funkcija l = f(t) opisuju zakon kretanja materijalne tačke u pravoj liniji, poput ugarskog puta l u satu t. Ista cijena Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - cijelim putem, prolaza po satu interval Δ t, i vídnoshennia Δ l/Δ t- prosječna brzina na sat Δ t. Ista granica označava mittevu shvidkist point trenutno t kao da ću ostaviti put na sat vremena.

Osjećaj pjevanja ima loše funkcije at = f(x) može se tumačiti i kao fleksibilnost promjene funkcija: što je vrijednost veća f"(x), tim ima više rezova od bolesne tačke do krive, tim ima cool raspored f(x) i veću funkciju.

Prava i lav su nestali

Analogno konceptima jednostranih međufunkcija, uvode se pojmovi desne i lijeve slične funkcije u tački.

Zakazivanje 3. Desno lijevo) povezane funkcije at = f(x) u tački x0 naziva se desna (levi) granica (4.1) na Δ x 0, što je granica između

Za prepoznavanje jednostranih pobjedničkih pobjednika koristi se takva simbolika:

Koja je funkcija f(x) može u bodovima x0 Otići ću, otići ću i s pravom idem do ove tačke, bojim se.

Vodit ćemo kraj funkcije, jer može biti jednostrana slična tački, a ne jednaka samo jednoj. Tse f(x) = |x|. Tačno, u tački x = 0 možda f' +(0) = 1, f"-(0) \u003d -1 (Sl. 4.2) i f' +(0) ≠f'-(0), onda. funkcija ne može biti slična kada X = 0.

Operacija poznate funkcije naziva se í̈í̈ diferencijacije; funkcija, koja se može izgubiti u tački, se poziva diferenciran.

Veza između diferencijacije i nestalnosti funkcije u nekoj tački uspostavlja uvredljivu teoremu.

TEOREMA 1 . Ako je funkcija diferencirana u tački x 0, tada je u tački x neprekinuta.

Pogrešan zazor: funkcija f(x), bez prekida u bodovima, možda će moja majka otići do moje tačke. Takva guza je funkcija at = |x|; u tom trenutku nema prekida x= 0, ali nema sličnih tačaka.

U ovom rangu, većina diferencijacije funkcija je najjača, najniža je najneprekidnija, krhotine prve automatski vape jedna drugoj.

Usklađivanje sa rasporedom funkcije u ovoj točki

Kako je dodeljeno u odeljku 3.9, poravnanje prave linije koja prolazi kroz tačku M(x0, u 0) sa koeficijentom rezanja k može pogledati

Neka funkcija bude postavljena at = f(x). Todi oskílki í̈í̈ pokhídna u deakíy point M(x0, u 0) ê granični faktor M, onda je očito da je graf funkcije jednak f(x) na tsíy dotsí može izgledati

Datum: 20.11.2014

Šta je tako cool?

Tablica sljedećeg.

Pokhídna je jedna od najvažnijih stvari za razumijevanje matematike vishchoy. Na ovoj lekciji to znamo iz našeg razumijevanja. I sama je poznata, bez strogih matematičkih formula i dokaza.

Ovo znanje omogućava:

Prepoznajte suštinu nespretnih zadataka iz pokhidnoy;

Uspješno obaviti zadatke skladišta;

Spremite se za ozbiljne lekcije u budućnosti.

Na poleđini - iznenađenje dobrodošlice.)

Suvore vyznachennya pokhídnoí̈ polagaê u teorííí̈ inter íst stvar koju treba učiniti je sklopivo. Tse zbunjen. Ali praktičnija zastosuvannya pokhídnoi, u pravilu, ne zahtijeva tako veliko i duboko znanje!

Dovoljno je znati za uspješnu vikonnanju svih termina- razumjeti zadatak, to sva pravila- Shchob yogo virishiti. ja sve. Tse drago.

Hoćemo li se upoznati?)

Termini i definicije.

U osnovnoj matematici postoji bogatstvo svih vrsta matematičkih operacija. Zbrajanje, vídnimannya množitelj, zvedennya u koracima, logaritam, itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu, elementarna matematika postaje najveća. Ova nova operacija se zove diferencijaciju. Označavanje te operacije zmíst tsíêí̈ će se razmatrati u narednim lekcijama.

Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija na funkciji. Uzmimo funkciju i, prema pravilima pjevanja, transformirajmo je í̈í̈. Kao rezultat, imamo novu funkciju. Os je nova funkcija i zove se: dobro.

Diferencijacija- Injekcija preko funkcije.

Pokhidna- Rezultat je ts_êí̈ díí̈.

Dakle, kao što je npr. soma- Rezultat preklapanja. Abo privatno- Rezultat raspodílu.

Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatak.) Formula je ovakva: odrediti slične funkcije; uzeti obrok; diferencirajuća funkcija; izračunati trošak itd. Tse everything jedan i isti Zrozumílo, buvayut i presavijeni zadaci, de perebuvannya pokhídnoí̈ (diferencijacija) će biti samo jedan od nedostataka zadatka.

Označeno je potezom u desnoj ruci iznad funkcije. osa ovako: y" ili f"(x) ili S"(t) i do sada.

čitaj igre stroke, ef stroke víd íks, es stroke víd te, Pa, shvatio si...)

Hod može značiti i određenu funkciju, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" i sl. Često se koristi kao pomoć diferencijalima, ali takav znak nije vidljiv u ovoj lekciji.

Pretpostavimo da smo naučili kako razmišljati. Izgubio sam sve - naučite ih virišovati.) Opet pretpostavljam: značenje transformacija funkcija prema pravilima pjevanja. Cikh je vladao, iznenađujuće, ne baš bogato.

Da biste znali škakljive funkcije, trebate znati samo tri riječi. Tri kita, na kojima stoji sva diferencijacija. Os smrdljivog Qi tri kita:

1. Tabela sličnih (formule diferencijacije).

3. Pokhídna sklopiva funkcija.

Počnimo redom. Na koga se čitava lekcija gleda na stolu mrtvih.

Tablica sljedećeg.

Svijet ima bezlične funkcije. U sredini se nalaze mnoge funkcije koje su najvažnije za praktičnu primjenu. Qi funkcije su u skladu sa svim zakonima prirode. Iz ovih funkcija, kao iz ceglinkova, možete formulirati sve ostalo. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. U školi se razvijaju iste funkcije - linearne, kvadratne, hiperbola previše tanka.

Razlikovanje funkcija "od nule", tobto. vyhodyachi z vyznachennya pokhídnoí̈ da teorija između - stvar koju treba raditi s radnikom. A matematičari su također ljudi, tako-tako!) Od i su pitali svoj (i nas) život. Smrad virahuvali slabe elementarne funkcije pred nama. Pojavio se sto pokhídnyh, već je spreman.)

Axis won, ovo je ploča za najpopularnije funkcije. Zlo je elementarna funkcija, desno - í̈í̈ pokhídna.

	Funkcija y	Ostale funkcije y y"
1	C (konstantna vrijednost)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n je broj)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Preporučujem da obratite pažnju na treću grupu funkcija i tablice srodnih. Pokhídna statechní í̈ í̈ - jedna od najvažnijih formula, kao da samo ne nayuzhivanísha! Natyak zrozumíly?) Dakle, stol pokhídnyh bazhano plemstva za pamćenje. Prije govora, nije toliko važno, jer možete pobjeći. Pokušajte virišovati više primjera, sama tabela će se pamtiti!)

Da biste znali tabelarne vrijednosti smiješnog, kao što znate, zadatak nije važan. Stoga takvi menadžeri često imaju dodatne čipove. Bilo za formularni zadatak, bilo za vizualnu funkciju, kao u tabelama, on je nachebto i mute.

Pogledajmo sprat aplikacija:

1. Pronađite slučajnu funkciju y = x 3

U tabelama nema takvih funkcija. Ale ê pokhídna statíí̈ í̈ í̈ í í í̈ zagalny vyglyadí (treća grupa). U vremenima n=3. Os i predstavljena je triom zamjena n i rezultat je točno zabilježen:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Osovina i uradi sve.

prijedlog: y" = 3x 2

2. Pronađite vrijednost slične funkcije y = sinx u tački x = 0.

Ovaj zadatak znači da morate na prvi pogled znati kako sinus izgleda, a zatim dati vrijednost x = 0 Ja ću lično otići do Qiua. Isti red! A onda, buvaê, odmah dodajte nulu izlaznoj funkciji... Od nas se traži da znamo ne vrijednost izlazne funkcije, već vrijednost í̈í̈ pokhídnoy. Pokhídna, pretpostavljam - to je već nova funkcija.

Prema tabeli, znamo sinus i vídpovídnu pokhídnu:

y" = (sinx)" = cosx

Zamijenite nulu za ostatak:

y"(0) = cos 0 = 1

Tse bude povíd.

3. Razlikujte funkciju:

Šta, usađivanje?) Takvih funkcija jedva da ima u tabelama sličnih.

Pogodit ću, po čemu razlikovati funkciju - to je samo znati tačnu funkciju. Zaboravite elementarnu trigonometriju, šalite se na račun naše funkcije da je usisamo. Tabela ne pomaže...

Ale, molim te reci mi da je naša funkcija kosinus, Onda će sve biti nalagodzhuetsya!

Dobro dobro! Zapamtite da je transformacija vanjskih funkcija prije diferencijacije potpuno dozvoljeno! Ja, trapleyaetsya, veliki život lakši. Prema formuli kosinusa kuta donje žice:

Tobto. naša lukava funkcija nije ništa drugo, kao y = cox. As je tabelarna funkcija. Odmah prihvatamo:

prijedlog: y" = - sin x.

Primjer za te maturante i studente:

4. Znati relevantne funkcije:

U sličnim tabelama, očigledno, nema takvih funkcija. Pa ipak, pogodite elementarnu matematiku, korak po korak... Onda možete potpuno oprostiti ovu funkciju. osa ovako:

A korak x je jedna desetina - to je već tablična funkcija! Treća grupa, n = 1/10. Odmah iza formule koja je zapisana:

Od svih. Tse bude povíd.

Uvjeren sam da je s prvim kitom diferencijacije – tablicom posljednjih – sve jasno. Izgubio sam put sa dva kita, koje sam izgubio. U nadolazećem dobu savladaćemo pravila diferencijacije.

Nađite virazu za sličnu eksponencijalnu funkciju (y = (e^x)), bodujući istu eksponencijalnu funkciju.

Rješenje.

Zapisujemo funkciju \(\Delta y\) da bismo povećali argument \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \desno) - y\left (x \desno) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^ x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \desno).) \] desno) ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\ Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \desno)))((\Delta x)).) \] Funkcija \(y = (e^x) \) knjiga brojeva ne može biti ispod víd Δ x a joga se može okriviti za granični znak. Tada to izgleda ovako: \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] , što je \((e^0) = 1\) i to može se napisati \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1 ))((\Delta x)) ) = (\lim \limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x )) = e"\left(0 \right),) \] tada se granica daje vrijednostima slične funkcije prikaza na nuli. Otzhe, \ Oduzeli smo spívvídnennia, u kojoj je moguće izraziti kroz samu funkciju \(y = (e^x)\) i íí̈ pokhídnu u tački \(x = 0\). Obavijestite nas da će \ za koga je moguće pretpostaviti da će broj \ (e \) biti prikazan na očigledno neiscrpnoj granici yak \, a broj \ (e \) na koraku \ (\ Delta x \) će biti ) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \desno)^n).\] Njutnov binom i rozlademo viraz pod znakom međe u binomni niz: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \desno)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) .\] ) ). U evropskim i američkim priručnicima broj je označen kao \ Okrenimo se našoj granici \ (L \), sada ga možemo napisati na ovaj način: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \ frac ((( ( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ do \infty ) \) lijevo[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k) ) ) \desno ] - 1))((\Delta x)).) \] Lako možemo vidjeti prva dva dodatka binomskom nizu: za \(k = 0\) i \(k = 1\). Kao rezultat, \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1))((\Delta x)) ) = ( \ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))) ) )) \desno))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^1) + \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1)) ( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_( \ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^ k ((\left((\frac((\Del) ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \ lijevo[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \right) ))^(k - 1)))))(( (n^k)))) ) \desno)) \desno].) \] 0\). Tom, (L = 1). Tse znači da je eksponencijalna funkcija \(y = (e^x)\) slična eksponencijalnoj funkciji: \

Neka postoji funkcija u blizini tačke

Globalno prihvaćen znak slične funkcije u određenom trenutku

Table

Geometrijski smisao slične funkcije u tački.

Pogledajmo sichnu AB funkcionalna grafika y=f(x) taku sho mrlje Aі V pronađite tačne koordinate , de - zbílshennya argument. Značajno kroz povećanu funkciju. Na fotelji je sve značajno:

3 pravougaona trikota ABC možda. Krhotine za sastanke su dotične - granični logor je sada, onda .

Pogodimo svrhu sljedeće funkcije u točki: sljedeća funkcija y=f(x) tačka se naziva granica između povećanja funkcije do povećanja argumenta na , naznačena je .

otzhe, , de - Kutovy dotichny koeficijent.

U ovom rangu, osnova je slična funkcija y=f(x) u tački je ekvivalentna tački na grafu funkcije y=f(x) na tački mučenja, štaviše kutovyi, zatim .

Ugradnja: geometrijski smisao slične funkcije u tački polagaê na ísnuvanní dotíchí̈ na raspored funkcije u íy tački.

20 Diferencijalnost funkcije u tački. Ta dovoljna mentalna diferencijacija je neophodna.

Prirast diferencirane funkcije u ovoj tački može biti kao linearna funkcija povećanja argumenta, do najvišeg reda malenosti. Tse znači da linearnu funkciju možete zamijeniti malim brojevima oko tačaka (brzina promjene funkcije se smatra trajnom). Linearni dio povećane funkcije naziva se diferencijal (u ovom trenutku).

Neophodna, iako bez mentalne diferencijacije - nestalna funkcija. U različitim funkcijama, u obliku jednog govora promjenjivog, diferencijacija je jednako jaka na osnovu slične. U različitim funkcijama neke od govornih promjena su neophodne (iako nisu dovoljne) uz intelektualnu diferencijaciju, a osnova privatnih je slična svim promjenama. Za diferencijalnu funkciju dekala koji se mijenja u tački, dovoljno je da se privatni događaji baziraju u blizini date tačke i da su bez prekida u datoj tački.

21 Diferencijalnost funkcije u tački. Teorema o kontinuitetu funkcije koja diferencira.

Teorema.

Ako je funkcija u ovoj tački diferencirana, tada je funkcija u ovoj tački neprekidna.

Dokaz.

Neka se funkcija y=f(x)y=f(x) diferencira u tački x0x0, tada je povećanje funkcije bolje Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) )⋅x.

Kada se argument funkcije ∆x∆x poveća na nulu, funkcija ∆y∆y također raste na nulu, što znači da je funkcija neprekidna.

Zato smo uzeli u obzir da je funkcija y=f(x)y=f(x) diferencirana u tački x0x0, te da je u tački x0x0 neprekinuta funkcija. Šta je bilo potrebno da se donese.

Na ovaj način, nevinost funkcije u ovoj tački je neophodna, ali ne i dovoljno mentalna za diferencijaciju funkcije.

guza.

Funkcija y=|x|y=|x| tačka x0x0 ima neprekinutu funkciju, ali funkcija ove tačke nije diferencirana.

U stvari, povećanje funkcije je skuplje:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Kada ga uzmemo:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Granica limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx ne postoji, što znači da je funkcija y=|x|y=|x|

22 Diferencijalna funkcija. Geometrijski senzorski diferencijal.

Diferencijalna funkcija pevačke tačke x naziva se glavnim, linearnim dijelom povećane funkcije.

Funkcijski diferencijal y=f(x) na dobar rad njenog sličnog povećanja x(argument).

Trebalo bi da bude napisano ovako:

Geometrijski senzorski diferencijal. Funkcijski diferencijal y=f(x) na povećanje ordinate dotike S, izvedeno prije grafa funkcije u tački M( x; y), prilikom promjene x(argument) po vrijednosti (razd. bebe).

23 Pravilo diferencijacije zbroj koji dobutku.

Da bismo dokazali još jedno pravilo diferencijacije, ubrzavamo imenovanje sličnih i moć između neprekinutih funkcija.

Sa sličnim rangom možete donijeti kakvu dobru svotu (maloprodaja) n funkcije dodatnog iznosa (maloprodaja) n pokhídnyh

Pravilo diferencijacije dovodimo do sabiranja dvije funkcije.

Zapišimo između poboljšanja kreiranja funkcija do poboljšanja argumenta. Sigurno je reći da je i (inkrement funkcije se povećava na nulu kada se argument povećava, što se povećava na nulu).

Šta je bilo potrebno da se donese.

24 Invarijantnost diferencijala oblika 1.

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Yakscho x- samostalna promjena, dakle dx = x - x 0 (fiksno povećanje). Kome je to moguće

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Yakscho x = φ (t) je onda diferencirana funkcija dx = φ" (t 0)dt. otzhe,

tako da prvi diferencijal može imati invarijantnost snage ako zamijenite argument.

25 Teorema uloge.

Rolleova teorema (nulta teorema) stverzhuê, scho

dokaz

Čim je funkcija postala jača, onda je očiglednije, krhotine su slične funkciji na nulu u bilo kojoj tački intervala.

Yakschko zh, osskílki značenje funkíí̈ na graničnim tačkama segmenta Rivni, zatim vídpovid teoremi Weiêrshtrass, Vona Nabuiva, Holy Nibílʹšoe ABO NIMENSHOVA VENANCE IN OPTERSIY POTCIÍ INTERVALE, TOBTO MOŽE U LOKALNOM POMENU ÍRM. POTCIÍ PUPIDNA DORIVNUê 0 .

geometrijskog smisla

Teorem stverdzhuê, scho yakscho ordinate obje kintsív glatke zakrivljene linije, onda postoji tačka na krivulji, u yakíy dotichna do krivulje paralelne osi apscise.

26 Lagrangeova teorema i njene posljedice.

Formula krajnjih inkremenata ili Lagrangeova teorema srednje vrijednosti tvrdi da je funkcija neprekidna u odnosu na interval i diferencirana u intervalu, onda postoji takva točka da

.

Geometrijski Može se preformulisati na sljedeći način: na klinu se nalazi tačka u kojoj je dotično paralelna sa tetivom, koja prolazi kroz tačke grafa, koja pokazuje na tačke vijenca.

Mehaničko zamućenje: Pomerimo tačke u trenutku otvaranja pljuvačke pozicije. Todí ê način, prolazi iz trenutka u trenutak, vídnoshennia - prosječna brzina za cijeli interval. To znači da ako se brzina tijela u bilo kojem trenutku pripiše satu, tada će trenutak pjevanja biti jednak njegovoj prosječnoj vrijednosti na ovoj dimenziji.

dokaz

Za funkciju jedne promjene:

Hajde da predstavimo funkciju. Za neí̈ vykonaní pomislite na teoremu uloge: na kíntsyah vídrízka íí̈ znachenya na nulu. Nakon što smo brzo pogodili teoremu, uzimamo u obzir da je to točka , koja ima sličnu funkciju nuli:

šta je trebalo doneti.

Rezultati i razumijevanje

Lagrangeova teorema o konačnim inkrementima je jedna od najvažnijih, Wuzlovova teorema za sve sisteme diferencijalnog proračuna. Postoji mnogo dodataka računarskoj matematici, a nasleđene su i najvažnije teoreme matematičke analize.

Poslednji 1. Funkcija koja se razlikuje u promjenljivu, sličnu, koja je bliža nuli, je konstanta.

Dokaz. Za be-yakikh i ísnuê tačku, takav scho.

Dakle, za sve i, smirenost je tačna.

Slučaj 2 (Taylorova formula sa redundantnim terminom u Lagrangeovom obliku). Ako se funkcija jednom diferencira na periferiji tačke, tada za male (tiho je, da neke druge tačke leže blizu periferije) vrijedi Taylorova formula:

de - deyake broj z ínvalu.

Posljednje 3. Isto tako, funkcija promjenjive dvije diferencira se na periferiji tačke Pro i sve ostale promjene su slične bez prekida u tački O, tada je jednakost pravedna u drugoj tački:

Dokaz za . Popravljamo vrijednost i gledamo maloprodajne operatere

Prema Lagrangeovoj teoremi pronađite brojeve , dakle

at kroz kontinuitet drugih sličnih funkcija.

Slično, može se tvrditi da .

Ale oskílki, (koji se preispituju bez sredine), qi između zbígayutsya.

Naslidok 4 (Newton-Leibnitz formula). Ako je funkcija diferencirana u granu i na sličan način integrirana nakon Riemanna u svakoj grani, tada vrijedi sljedeća formula: .

Dokaz. Ma hajde - pravi odmor na vjetru. Zastosovuyuchi Lagrangeova teorema, dermalni z vídrízkív znati točku tako da .

U zavisnosti od vrednosti smirenosti, oduzimamo:

Livoruch je koštao Rimanov integralni zbroj za integral date dodeljene raspodele. Prelazeći na međupromjer jaza, oduzimamo Newton-Leibnitzovu formulu.

Naslídok 5 (Teorema o procjeni krajnjih inkremenata). Neka se živost neprekidno razlikuje u raskošnom kompaktnom prostoru. Todi.

27 Kashijeva teorema.

Cauchyjev teorem srednje vrijednosti.

Dati ove dvije funkcije i to takve da: 1. dodijeljene i neprekidne u hitnim slučajevima; 2. praznici i vikendi u intervalima; 3. smanjuje se i ne vraća na nulu istovremeno na intervalu 4. ; todí ísnuê, za yakoí̈ virno: . (Kako očistiti um 4, potrebno je, na primjer, pomoći umu 3: g "(x) nije kriv za odlazak na nulu bilo gdje u intervalu.)

Geometrijski se može preformulisati na sljedeći način: ako i postavimo zakon rotacije na ravninu (da se dodijeli apscisa i ordinata kroz parametar ), tada na bilo kojem podgrafu takve krive, datoj parametrima i , postoji podređeni vektor kolinearan vektoru pomaka u to .