Kurs predavanja. Otvorite biblioteku - pogledajte biblioteku početnih informacija o pitanju

Lako je zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razumjeti funkciju. Yaka funkcija ê zvoni za show funkciju? logaritam:

Naša vipadku baza ê ima broj:

Takav logaritam (tob prema logaritmu od osnove) naziva se "prirodnim", a za novog vikorista je posebno značajan: piše se natomist.

čemu služi? Svakako dobro,.

Izgled prirodnog logaritma je također jednostavniji:

Prijavite se:

1. Upoznajte izgubljenu funkciju.
2. Zašto imate izgubljenu funkciju?

Prijedlozi: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije jedinstveno jednostavne naizgled nejasnoće. Pokažite logaritamske funkcije od toga da li će osnova biti moja majka i ja ću otići, kako od vas izaberem, za to, dok budemo donosili pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

koja pravila? Znam novi termin, znam?!

Diferencijacija- Proces znakhozhennya obhidnoí̈.

Samo i sve. Kako možete nazvati proces jednom riječi? Ne proizvodnja f ... Diferencijal matematike se naziva te iste funkcije sa. Pogledajte termin iz latinskog biznisa. Osa.

Sa uvođenjem svih pravila vikorista, postoje dvije funkcije, npr. Također znamo formule koje su dodane:

Usogo je 5 pravila.

Stalno kriviti za loš znak.

Âkšo - kao trajni broj (konstanta), todí.

Očigledno, cijelo pravilo je za posao:.

Dovedeno tebi. Hajde, jednostavnije je.

stavi ga.

Upoznajte izgubljene funkcije:

1. at point;
2. at point;
3. at point;
4. u tački.

Odluka:

1. (jednako je u svim tačkama, primjeri svrhe linearne funkcije, memorija?);

Izgleda kao robot

Ovdje je sve slično: biće predstavljena nova funkcija za koju se zna da je poboljšana:

Izgleda kao:

Prijavite se:

1. Upoznajte izgubljene funkcije;
2. Upoznajte izgubljenu funkciju tačke.

Odluka:

Izgleda kao funkcija emisije

Sad je tvoje znanje u izobilju, pa ću znati i otići ću ako budem imao show funkciju, a ne biti lišen eksponencijalnosti (ne zaboravljajući, kako to?).

Isti, de - broj.

Ako sam već upoznat s funkcijom, pokušajmo našu funkciju dovesti na novu osnovu:

Prije svega, imamo jednostavno pravilo:. Todi:

Pa, osovina, viyshlo. Sada pokušajte znati da je nestalo i ne zaboravite da je funkcija sklopiva.

Je li nestalo?

Axis, promijeni se:

Formula je ispala još sličnija izgubljenoj eksponencijalnosti: kao bulo, pa je postala suvišna, kada je lišena množitelja, kao ê samo broj, ali ne i zao.

Prijavite se:
Upoznajte izgubljene funkcije:

Prijedlozi:

To je samo broj, jer je teško ići bez kalkulatora, tako da ga ne možete zapisati u jednostavnijem prikazu. Za to je, u takvoj viziji, previše.

Začudo, ovdje postoje dvije funkcije i nema razlike u pravilu diferencijacije:

Postoje dvije dodatne funkcije za ovu aplikaciju:

Logaritamska funkcija

Ovdje je analogno: također znam iz prirodnog logaritma:

Ako želite znati više od logaritma s bazom, na primjer:

Potrebno je cijeli logaritam dovesti u bazu. A kako se mijenja baza logaritma? Ohrabren sam da zapamtim formulu:

Tek sad ću napisati:

Imenilac ima samo konstantu (broj bez promjene). Još je jednostavnije ići:

Trenutne show i logaritamske funkcije ne mogu se koristiti u ADI-ju, ili nećemo zauzeti plemstvo.

Funkcija je fleksibilna i sklopiva.

Dakle, i "sklopiva funkcija"? N, to nije logaritam i ne arktangens. Ove funkcije mogu biti sklopive radi pameti (ako želite da logaritam bude sklopiv, pročitajte temu "Logaritmi" i prođite kroz sve), ali sa stanovišta matematike, riječ "sklopiv" ne znači "važno".

Imajte mali transporter: sjedite dvije osobe i igraju se kao predmeti. Na primjer, oguliti čokoladicu na komad, a drugu je vezati konopcem. Idite do takvog skladišnog objekta: čokoladicu, spaljenu i vezanu konopcem. Da biste napravili čokoladicu, morate napraviti igru ​​zvonjenja po redoslijedu zvonjenja.

Dajte rješiv matematički transporter: skup zna kosinus broja, a zatim se broj izrezuje u kvadrat. Takođe, daju nam broj (čokoladica), znam kosinus (obgortka), a onda, onda, dobijam one koje sam našao, u kvadratu (obv'yazuêsh stichkoyu). Šta se desilo? funkcija. Tse i ê zadnji deo funkcije preklapanja: ako je poznavanje značenja proročanstva prvi korak bez sredine od zime, onda će biti još jedan korak za one koji su rezultat prvog.

Drugim riječima, folding funkcija - cijela funkcija, čiji je argument funkcija: .

Za zadnjicu,.

U isto vrijeme možemo raditi istim redoslijedom i zumiranim redoslijedom: skup brojeva je prikazan u kvadratu, a zatim promiješam kosinus odbijenog broja:. Nezgodno je pitati se hoće li rezultat biti razuman. Posebnost funkcija preklapanja je važna: promjena redoslijeda i promjena funkcije.

Ostala guza: (one iste). ...

Diyu, yaku robimo ostati, nazivatimo "poziv" funkcija, i dia, kako početi s prvim - očigledno "Interna" funkcija(nazovite neformalno, ugrađujem ga kako bih na jednostavan način objasnio materijal).

Probajte sami, kako se zove funkcija i kao interna:

Prijedlozi: Dodatne interne i eksterne funkcije su čak slične zamjeni rudara: na primjer, funkcije

1. Prvi vikonuvatimo yaku diyu? Napraviću sinus, a onda ćemo ga sagraditi u kocki. Otzhe, interna funkcija, ali poziv.
   A konačna funkcija kompozicije je:.
2. Interni:; poziv:.
   Pereirka:.
3. Interni:; poziv:.
   Pereirka:.
4. Interni:; poziv:.
   Pereirka:.
5. Interni:; poziv:.
   Pereirka:.

viconumo zamijeniti zimnice i prihvatiti funkciju.

Pa, dobro, sad mi se sviđa naša čokoladica - izgubiću je. Redoslijed je zvorotnyy: zbirka shukaê Sto posto opake guzice je ovako:

Inshy zadnjica:

Otzhe, ja ću formulisati, nareshty, zvanično pravilo:

Algoritam za poznavanje zastarjele funkcije savijanja:

Prilično je jednostavno, zar ne?

Kabriolet na kundacima:

Odluka:

1) Interni:;

Zovnishnya:;

2) Interni:;

(Tilki ne pomišljaj sada da ubrzavaš! Z-pid kosinus nema ništa za kriviti, pam'yataêsh?)

3) Interni:;

Zovnishnya:;

Odmah je vidljivo da ovdje postoji funkcija trostrukog preklapanja: to je također funkcija preklapanja sama po sebi, ali je živopisan korijen, tako da je to treća faza (čokoladica u maloj kutiji i sa linijom za stavljanje aktovku). Postoji mnogo razloga za to: sva jedna funkcija "raspakivanja" biće urađena istim redosledom kako je vi zovete: od kraja.

Tako ću praviti razliku između korijena, kosinusa i manjeg viraza na lukovima. A onda se sve umnožava.

Odjednom, ručno numerisano. Da bude jasno, šta vidimo. Kojim redoslijedom ćemo moći izračunati vrijednost viraza? Uklonite sa zadnjice:

Da bi se poboljšale performanse, funkcija će biti važnija. Zadnji dan - jak i ranije:

Ovdje je doprinos 4 rublje. Uzmimo veoma značajan nalog.

1. Pidkorene viraz. ...

2. Root. ...

3. Sinus. ...

4. Kvadrat. ...

5. Uzmite sve prije kupovine:

VIROBNICH. UKRATKO O GLAVU

Funkcije- povećanje funkcije do povećanja argumenta s neograničeno malim povećanjem argumenta:

Osnovno porijeklo:

Pravila diferencijacije:

Stalno krivi za loš znak:

Pookhídna suma:

Izgleda kao robot:

Pogledao privatno:

Pogodno za funkciju preklapanja:

Algoritam za poznavanje jednostavnih funkcija preklapanja:

1. Visnachaêmo "internu" funkciju, poznato je da će nestati.
2. Visnachaêmo "pozovi" funkciju, poznato je da ću otići.
3. Pomnožite rezultate prve i ostalih bodova.

Ne tjerajte nas da očekujemo tačno značenje bilo koje količine od našeg života. Nevino cicavo saznanje o promjeni veličine npr. prosječne brzine autobusa, promjeni veličine promjene do sata itd. Za tačnije značenje funkcije u deyakiy tačkama značenja funkcije u ostalim tačkama, ručno pobjeđuje takvo razumijevanje, kao što su “funkcija svećenika” i “sveštenički argument”.

Razumijevanje "funkcije svećenika" i "argumenta svećenika"

Moguće je da je x dobra tačka, jer leži na periferiji tačke x0. Argument sveštenika u tački x0 naziva se razlika x-x0. Sveštenik se podrazumeva na sledeći način: ∆h.

• ∆x = x-x0.

Ista vrijednost se također naziva povećanjem neovisne zime u tački x0. 3 formule: h = h0 + ∆h. U takvim vapadama, čini se da je vrijednost cob nezavisne zime x0 smanjena povećanjem ∆x.

Kako je to argument, značenje funkcije se također može promijeniti.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆h) - f (x0).

Poboljšane funkcije f u tački x0, prirast ∆x naziva se razlika f (x0 + ∆x) - f (x0). Prioritet funkcije označen je ofanzivnim rangom ∆f. Sa ovim činom ću mo, za ime:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

U nekima, ∆f se nazivaju i više ugarskih vina, a za označenog vikorista ∆u, kao funkcija logičke vrijednosti, na primjer, y = f (x).

Geometrijski osjećaj poboljšanja

Divite se bebama koje napreduju.

Yak bachite, povećavajući prikaz ordinate i apscisa tačke. A poboljšanje funkcije do poboljšanja argumenta zasniva se na tački nahila, koja prolazi kroz klip i krajnji položaj tačke.

Primijenite bolju funkciju na argument

dionica 1. Znati poboljšanje argumenta ∆x i poboljšanje funkcije ∆f u tački x0, ako je f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Skoristaêmosya formule, ciljajte na nišan:

a) ∆h = h-h0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

dionica 2. Izračunajte višak ∆f za funkciju f (x) = 1 / x u tački x0, ako se argument poveća za ∆x.

Pa, znam, brzo, sa formulama koje će odsjeći visce.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0-∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).

medicinske i biološke fizike

Predavanje br. 1

VIROBNICA I DIFERENCIJALNA FUNKCIJA.

PRIVATE VIROBNICHI.

1. Razumijevanje opscene, mehaničke i geometrijske zmije.

a ) Pririst argument i funkcija.

Neka je data funkcija y = f (x), de x - vrijednost argumenta iz opsega funkcije. Ako vibrirate dvovrijedni argument x o i x iz singularnog intervala funkcije, tada se razlika između dvovrijednog argumenta naziva dodatnim argumentom: x - x o = ∆x.

Vrijednost argumenta x može se dati kroz x 0 i istu vrijednost: x = x pro + ∆x.

Razlika između dvije značajne funkcije naziva se dodatnim funkcijama: ∆y = ∆f = f (x pro + ∆x) - f (x o).

Argument i funkcija se mogu prikazati grafički (slika 1). Argument i poboljšana funkcija mogu biti pozitivni ili negativni. Kao što je prikazano na slici 1, geometrijsko povećanje argumenta ∆x prikazano je na apscisi, a povećanje funkcije ∆y u odnosu na povećanje ordonansa. Proračun povećanja funkcija slajdova treba izvršiti u ofanzivnom redoslijedu:

da za argument ∆x je prihvatljiv i vrijednost je prihvatljiva - x + ∆x;

2) vrijednost funkcije je poznata argumentu (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) poznato je da je funkcija ∆f = f (x + ∆x) - f (x) poboljšana.

zadnjica: S druge strane, razlika je y = x 2, jer se argument mijenja sa x pro = 1 na x = 3. Za tačku x, vrijednost funkcije f (x o) = x²; za tačku (ho + ∆h) vrijednost funkcije f (h o + ∆h) = (h o + ∆h) 2 = h² o + 2h o ∆h + ∆h 2, zvijezde ∆f = f ( h o + ∆h) –f (x o) = (h o + ∆h) 2 –h² o = h² o + 2h o ∆h + ∆h 2 –h² o = 2h oko ∆h + ∆h 2; ∆f = 2x oko ∆x + ∆x 2; ∆h = 3-1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Zavdannya, scho proizvesti do razumijevanja opscenog. Viznachennya pohídnoí̈, í̈í̈j fizički zmíst.

Za razumijevanje poboljšanja argumenta i funkcije koja je neophodna za uvođenje razumijevanja zastarjelog, kao što je povijesno gledano, potrebno je identificirati brzinu tihih procesa.

To je razumljivo, jer je moguće povećati brzinu direktnosti. Ne dozvolite da se jednostavno sruši zbog zakona: ∆Ẑ =  ∆t. Za jednaku žoharu:  = ∆Ẑ / ∆t.

Za promjenjivi ruch, vrijednost ∆Ẑ / ∆t je početna vrijednost  porívn. , tobto  porívn. = ∆Ẑ / ∆t. Ali prosječna brzina ne daje mogućnost vizualizacije posebnosti dana i datuma iskaza o pravoj brzini u trenutku sata t. Kada se sat promijeni, tobto. pri ∆t → 0, prosječne performanse su pragmatične do svoje granice - prosječne performanse:

 instant =
 porívn. =
∆Ẑ / ∆t.

Dakle, sam početak i mittêva brzina hemijske reakcije:

 instant =
 porívn. =
∆h / ∆t,

de x - broj govora, koji je odobren tokom hemijske reakcije za sat t. Razvoj znanja o brzini razvoja procesa vršen je prije uvođenja koncepta zastarjele funkcije u matematiku.

Neka je funkcija f (x) data bez prekida, označena na intervalu] a, u [íê pririst ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
ê funkciju ∆x i okrenite srednju brzinu funkcije.

Meza Vidnosin , ako je ∆h → 0, za pranje, pa, između ísnuê, nazvati opscenom funkcijom :

y "x =

.

Izgleda:
- (Ígrčki potez prema ix); " (x) - (ef hod prema ix) ; y "- (grabna crtica); dy / dh – (de igrek od de ix); - (Ígrčki sa tačkom).

Kada nestanete iz vidokruga, možete reći, kako možemo reći da je brzina pravolinijskog kretanja koja ide niz cestu sat vremena:

 instant = S "t = f " (t).

U takvom rangu, moguće je ići nevažno, ali funkcija se gubi argumentom x;

y "x = f " (x) =  instant.

Poliagu ima fizički osjećaj opscenosti. Proces poznavanja izgubljene funkcije naziva se diferencijacija, tako da je viraz "diferenciranja funkcije" ekvivalentan virazu "poznavanja izgubljene funkcije".

v)Geometrijski smisao za najsmješnije.

P
derivacija funkcije y = f (x) je jednostavan geometrijski osjećaj, veze sa zenicama su slične krivoj liniji u tački deyakiy M. ravna linija analitički rotirati na viglyadí y = kx = tg x, de? – kut nahilu dotichnoy (pravo) na osu X. Vidljivo bez prekida krivulja yak funkcija y = f (x), ako je na krivoj tački Mi, tačka M 1 blizu nje i tačka M 1 je dovedena kroz njih. Efektivnost do sec = tg β = .Samo pristupite tački M 1 do M, a zatim povećanje argumenta ∆h biće pragmatičan na nulu, a veličina kredita pri β = α će biti prilično slična. 3 sl. 2: tgα =
tgβ =
= y "x. Ale tgα na opću funkciju, ali se graf funkcije može koristiti:

to = tgα =
= y "x = f " (X). Otzhe, kutoviy kofítsíênt, pa, postoji graf funkcije u datoj tački, važno značenje u tački baklje. Poliagus ima geometrijski osjećaj opscenosti.

G)Sjedište je pravilo znhozhennya obhidnoí̈.

Od početka, proces diferenciranja funkcije može se obaviti prema sljedećem rangu:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

znati bolje funkcije: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

pohraniti dodanu funkciju u dodatni argument:

;

zadnjica: f (x) = x 2; f " (x) = ?.

Međutim, to se može vidjeti iz obične zadnjice, spremanje predviđene zadužbine za sat vremena uzimanja stare je naporan i preklapajući proces. Osim toga, za različite funkcije uvodimo diferencijalne formule, kao što je prikazano u tabelama "Osnovne formule za diferencijaciju funkcija".

Hajde X- Argument (promjena kvadrata); y = y (x)- Funkcije.

Značenje argumenta je fiksno x = x 0 tu numerisanu funkciju y 0 = y (x 0 ) ... Sada sa visokim rangom možemo snabdjeti pririst (zmína) argument koji smisleno yogo  X ( X možda znak).

Argument iz zbílshennyam - tse point X 0 +  X... Navodno imaju i značajnu funkciju y = y (x 0 +  X)(Božanstvene bebe).

Takav rang, s dovoljnom promjenom značenja argumenta, prepoznaje se kao promjena funkcije, koja se naziva zbílshennyam značenje funkcije:

i nije zadovoljan, već da se postavi prema vrsti funkcije te veličine
.

Povećani argument i funkcija mogu biti kintsevym, tobto. Vislovyuvatisya po poštanskim brojevima, ponekad to zovu raznitsy izdržljivosti.

U ekonomiji su stope rasta još češće. Na primjer, u tabeli se nalazi podatak o povećanju ukupnog iznosa deyakoi stanja. Očigledno, povećanje broja ježeva se računa kao put uspjeha ispred prednje vrijednosti ofanzive.

Lako je vidjeti da je to samo dobra ideja funkcije, argument je da će to biti sat vremena (kamen).

	Dovzhina zal_znichnyh stanica na 31,12 hiljada km.	Sveštenik	Prosečan sveštenik

Sama po sebi, poboljšana funkcija (u vrijeme željeznice) je nepristojna) karakterizira promjenu funkcije. Naša guza ga ima 2,5>0,9 nije moguće uzgajati visnovk, jer je jež izrastao u shvidsche 2000-2003 rockakh, nízh y 2004 r., to je ono što priris 2,5 važiti do perioda od tri rika, i 0,9 - Ostavi to na jednom kamenu. Zbog toga je sasvim prirodno da je funkcija poboljšana na jedan argument. Argument je dat ovdje - tačka: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Otrimamo one koji se u ekonomskoj literaturi nazivaju prosečan rast.

Moguće je objediniti operaciju svođenja razlike na jedan argument, kao uzimanje značenja funkcije za značenje argumenta, ali ne i nužno mijenjanje istog.

U matematičkoj analizi, u seedlingu, u diferencijalnom računu, postoji beskonačno malo (BM) poboljšanje argumenta i funkcije.

Diferencijacija funkcije jedne promjene (isti diferencijal) Moguća funkcija

Povećani argument i funkcija u tački X 0 Moguće je da je beskonačno male veličine (div. tema 4, veličina BM), tobto. BM jedna narudžba.

Todi í̈kh víkh vídnoshennya će biti majka kintsevu između X 0 .

Između poboljšanja funkcije u BM, povećanje argumenta u točki x = x 0 biti pozvan star funkcioniše na tsy tačkama.

Simboliku označenu opscenim potezom (a, vernice, rimski broj I) projektuje Newton. Moguće je koristiti donji indeks, koji će pokazati kako se zao smatra izgubljenim, na primjer, ... Takođe je opštepriznato da nema smisla, što je predložio osnivač broja starih, nemački matematičar Lajbnic:
... Saznajte više o putokazima u svojim izvještajima na razdiliju Diferencijalna funkcija i diferencijalni argument.

Broj procjena brzina funkcija se mijenja kako bi prošla kroz tačku
.

Zamjenjiv geometrijskog smisla funky funkcije u točki. Grafikon funkcije će biti potaknut. y = y (x) to je smisleno u novoj tački, tako da je promjena y (x) na maturalnoj večeri

Stopostotni grafikon funkcija u bodovima M 0
mi ćemo vvvazyat granični kamp syuchoí̈ M 0 M za duhovitost
(tačka M kovzaê iza grafa funkcija do točke M 0 ).

Jasno
... Očigledno,
.

Yaksho point M Usmjerite graf funkcije pravo u točku M 0 , zatim vrijednost
će biti pragmatičan do granice pjevanja, jaku smislen
... Sa tsomom.

Border kut  Da biste se riješili kutom nahil dotično, provedeno prije grafa funkcije. M 0 to je zaboravljeno
brojčano do kompletne funkcionalnosti istih u značenju tačaka.

-

geometrijski smisao elementarne funkcije u tački.

U takav rang možete zapisati istu vrstu normalnog ( normalno - lanac je ravan, okomit na grafik funkcije u tački X 0 :

Shchodo -.

normalno -
.

Ima nekoliko kapi, ako su ravne, horizontalno ili okomito (div. Tema 3, oko kapi se postavljaju pravo na kvadrat). Todi,

yaksho
;

yaksho
.

Ime diferencijacije funkcije.

 Yaksho funkcija u tački X 0 Otići ću u Kintsev, nazvaću se diferenciran na ts_y tačkama. Funkcija, koja diferencira u svim točkama istog intervala, naziva se diferencijacija u cijelom intervalu.

 Teorema . Yaksho funkcija y = y (x) diferenciran među uklj. X 0 , tada nema prekida u tački.

U takvom rangu, prekid- Neophodan (ili nedovoljan) um funkcija diferencijacije.

1. Poboljšani argument i poboljšana funkcija.

Neka je funkcija data. Postoje dva značenja argumenta: počatkov ta promjena, jak je prihvatio da znači
, de - vrijednost yak mijenja argument od sata do prijelaza s prve vrijednosti na drugu, to se zove bolji argument.

Značenje argumenta i odgovarajuće značenje funkcije: pochatkov tu promjenu
, vrijednost , kako se vrijednost funkcije mijenja kada se argument promijeni vrijednošću, biti pozvan poboljšane funkcije.

2. Razumjeti međufunkcije u tačkama.

Broj nazvati graničnom funkcijom
at, scho pragne before kao za bilo koji broj
postoji takav broj
, za sve
, koji je zadovoljan nepravilnostima
, postoji nedostatak nesigurnosti
.

Ostale vrijednosti: Broj se naziva granična funkcija kada je prije pragmatičan, kao za bilo koji broj, kao što je periferija točke, ali za bilo koji broj centra. signify
.

3. Beskonačno velike i beskonačno male funkcije u tački. Funkcija tačke je neograničeno mala - funkcija, između njih, ali nema problema sa tačkama. Funkcija je beskrajno velika u tački - funkcija granične linije sve dok ide do centra tačke je skupa.

4. glavne teoreme o između i nasljeđivanju od njih (bez dokaza).

Posljedica: konstantni množitelj se može okriviti za predznak između:

Yakshko last konvergiraju í između krajnjih tačaka gledišta od nule, onda

klizanje: za oznaku se može okriviti stalni množitelj.

11. Da li postoji između funkcija?
і
a granica funkcije je prikazana od nule,

onda postoji i odnos između dvije funkcije, isti između funkcija:

.

12.yaksho
, onda
, to je pošteno.

13.teorema o međuzavršetcima. Yaksho last
slično, tj
і
onda

5. Između funkcija o nedosljednosti.

Broj a se naziva granična funkcija na nebeskonačnosti, (sa x pragmatičnim prema neizdrživosti), kao i za bilo koji krajnji datum, ali pragmatičnim do nepostojanja
posljednja vrijednost a.

6. razriješili su numeričke vrijednosti.

Broj a nazvati graničnim nizom brojeva, kao i za svaki pozitivan broj postoji prirodan broj N, kao i za sve n> N propasti
.

Simbolično, počinje ovako:
fer.

Činjenica da je broj aê između poslanice, označene uvredljivim rangom:

.

7. broj "e". prirodni logaritmi.

Broj "E" je sama između brojčane ozbiljnosti, n- th član
, tobto.

.

Prirodni logaritam - osnovni logaritam tobto. prirodni logaritmi
bez predrasuda.

Broj
permisivnost ide od desetog logaritma ka prirodnom nazad.

, Yogo se naziva modulom za prijelaz sa prirodnih logaritama na desetice.

8. čuda između
,

.

Persha chudova granica:

ovaj rang na

za teoremu o međuzavršetcima

prijatelj chudova meza:

.

Da dokažem poentu
vikoristovuyu lemu: za bilo koju vrstu akcije
і
pravedna nejednakost
(2) (za
abo
nedosljednost životinje pretvara se u paritet.)

Niz (1) se može napisati na sljedeći način:

.

Sada ga mogu vidjeti kao dodatnog člana
kada se mijenja i okružen je dnom:
yaksho
, Tada će se zadnje promijeniti. Yaksho
posljednji je oivičen ispod. Prikazano tse:

zbog želje (2)

tobto.
abo
... Odnosno, posljednje se mijenja, pa tako i prije. onda je posljednji oivičen ispod. Kako se posljednji mijenja i okružen je dnom, tu je sredina. Todi

ma između onog posljednjeg (1), tj. prije.

і
.

L. Euler zove qiu mezhu .

9. jednostrane granice, funkcije otvaranja.

broj A lijevo od granice, da li se radi o određenoj zadužbini, pobjediti ovako:.

broj A desno od granice, da li se radi o određenoj zadužbini koja se prikazuje ovako:.

Yaksho na mestu a pratiti područja značaja funkcije bilo koje granice, razbiti um bez prekida funkcije, tačka a nazvati točkom sloma ili sloma funkcije. kao u pragmatičnim tačkama

12. Zbir članova beskrajnog raspadajućeg geometrijskog progresa. Geometrijska progresija je post-datum, u kojem odnos prema ofanzivi i bivšim članovima postaje nevidljiv, cijena stava se naziva zastavom napretka. Suma prvog nčlanovi geometrijskog progresa se okreću oko formule
Formula je lako pobjednička u vrijeme opadajućeg geometrijskog progresa – napretka u kojem je apsolutna vrijednost nazivnika manja od nule. - Prvi član; - zastava napretka; - Broj uzetog člana posljednjeg. Zbir neprekidnog recesivnog napretka je broj kojem se zbir prvih članova recesivne progresije ne približava kada broj rasta nije međuzavisan.
onda. Zbir članova beskonačno opadajućeg geometrijskog napretka .