Înțelegerea Pokhіdno

Hai la funcție f(X) este atribuit interimarului curent X. Nadamo valoarea argumentului în puncte X 0 X increment suficient Δ X deci, suspine x0 + Δ X deci culca X. Aceeași zi funcția de creștere f(x) stoc Δ la = f(x0 + Δ X) - f(x0).

Numirea 1. Funcții laterale f(x) la punct x0 se numește limita de îmbunătățire a funcției la punctul tsij la îmbunătățirea argumentului la Δ X 0 (de exemplu, între linii).

Pentru recunoașterea unei funcții similare, sunt desenate simboluri la" (x0) sau f"(x0):

Yakshcho în punctul deyakіy x0 limita (4.1) nu este limitată:

atunci se pare că la punct x0 funcţie f(X) Mai Voi fi plecat pentru totdeauna.

Care este funcția f(X) poate merge la multiplicatorul punctului de piele X, apoi rau f"(x) funcționează și ca argument X, atribuit X.

Detecție geometrică

Pentru a înțelege sensul geometric al aceluiași lucru, avem nevoie de o desemnare pentru a fixa graficul funcției într-un punct dat.

Numirea 2. Stosuetsya la programul funcției y = f(X) la punct M numită situație limită MN, daca punct N puncte pragne M de-a lungul curbelor f(X).

Haide M pe curbă f(X) se potrivesc cu valoarea argumentului x0, și o pată N- valoarea argumentului x0 + Δ X(Figura 4.1). Z vznachennya dotichny alunecat, scho x0 este necesar să se stabilească o limită, ca un dorіvnyuє kutu nahil dotichї la axă Bou. 3 trikutnik MNA strigând ce

Ce funcție grozavă f(X) la punct x0іsnuє, apoi, zgіdno (4.1), otrimuєmo

Zvіdsi fluieră în ochiul celui care f"(x0) mai aproape de coeficientul de tăiere (tangenta tăieturii este bolnavă până la direcția pozitivă a axei Ox) = f(X) la punctul M(x0, f(x0)). Când komu kut nahil dotic, sunt prezentate formulele (4.2):

Simțul fizic al vremii

Să presupunem că funcția l = f(t) descriu legea mișcării unui punct material într-o linie dreaptă, ca pe o cale neîngrădită l la ora t. Același preț Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -întreg drumul, pasaje pe oră interval Δ t, și vіdnoshennia Δ l/Δ t- viteza medie pe oră Δ t. Aceeași graniță semnifică punct mittevu shvidkist pentru moment t parcă voi lăsa drumul pentru o oră.

Senzația de cântat are funcții slabe la = f(x) poate fi interpretată și ca flexibilitatea schimbării funcțiilor: cu cât valoarea este mai mare f"(X), echipa are mai multe tăieturi de la punctul bolnăvicios la cel strâmb, echipa are un program mișto f(X) și o funcție mai mare.

Drepturile și leul au dispărut

Prin analogie cu conceptele de interfuncții unilaterale, sunt introduse conceptele de funcții similare dreapta și stânga la punct.

Numirea 3. Dreapta stanga) funcții aferente la = f(x) la punct x0 se numește limita dreaptă (levi) (4.1) la Δ X 0, care este limita dintre

Pentru recunoașterea învingătorilor unilaterali, se folosește un astfel de simbolism:

Care este funcția f(X) poate în puncte x0 Voi pleca, voi pleca și voi merge pe bună dreptate în acest punct, mă tem.

Vom ghida capul funcției, deoarece poate fi unilateral similar punctului, nu egal cu unul singur. Tse f(X) = |X|. Corect, la punctul x = 0 poate f' +(0) = 1, f"-(0) \u003d -1 (Fig. 4.2) și f' +(0) ≠f'-(0), atunci. functia nu poate fi asemanatoare cand X = 0.

Funcționarea funcției familiare se numește її diferențieri; funcția, care poate fi pierdută într-un punct, este numită diferenţiat.

Legătura dintre diferențierea și nepermanența unei funcții într-un punct stabilește o teoremă ofensivă.

TEOREMA 1 . Dacă funcția este diferențiată în punctul x 0, atunci este neîntreruptă în punctul x.

Reacție greșită: funcție f(X), fără întrerupere în puncte, poate că mama mea va merge la punctul meu. Un astfel de fund este o funcție la = |X|; nu există nicio întrerupere la punct X= 0, dar nu există puncte similare.

În acest rang, cea mai mare parte a diferențierii funcțiilor este cea mai puternică, cea mai scăzută este cea mai neîntreruptă, cioburile primului strigă automat unul la altul.

Alinierea la programul funcției din acest punct

Cum a fost atribuit în secțiunea 3.9, alinierea dreptei care trece prin punct M(x0, la 0) cu coeficient de tăiere k poate vizualiza

Lasă funcția să fie setată la = f(X). Todi oskіlki її pokhіdna în deakіy point M(x0, la 0) є factor de tăiere M, atunci este evident că graficul funcției este egal f(X) at tsіy dotsі pot arăta

Data: 20.11.2014

Ce este atât de tare?

Tabelul următorului.

Pokhіdna este unul dintre cele mai importante lucruri pentru a înțelege matematica Vishchoy. La această lecție, o știm din înțelegerea noastră. Ea însăși este cunoscută, fără formule și dovezi matematice stricte.

Aceste cunoștințe permit:

Recunoașteți esența sarcinilor stângace de la un pokhidnoy;

Finalizează cu succes sarcinile depozitului;

Pregătește-te pentru lecții serioase în viitor.

Pe spate - surpriză binevenită.)

Suvore vyznachennya pokhіdnoї polagaє în teorії inter іst lucru de făcut este pliabil. Tse confuz. Dar zastosuvannya pokhіdnoi mai practic, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de mari și profunde!

Este suficient să știi pentru un vikonnannya de succes a tuturor termenilor- pentru a înțelege sarcina, că toate regulile- Shchob yogo virishiti. eu toti. E bucuros.

Să ne cunoaștem?)

Termeni și definiții.

În matematica elementară, există o bogăție de tot felul de operații matematice. Adăugarea, multiplicatorul vіdnimannya, zvedennya în pași, logaritmul etc. Dacă mai adaugi una la aceste operații, matematica elementară devine cea mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Desemnarea acelei operațiuni zmіst tsієї va fi luată în considerare în lecțiile următoare.

Aici este important să înțelegem că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Să luăm o funcție i, conform regulilor de cânt, o transformăm її. Ca rezultat, avem o nouă funcție. Axa este o funcție nouă și se numește: bun.

Diferenţiere- Injectare peste functie.

Pokhidna- Rezultatul este ts_єї dії.

Deci, la fel ca, de exemplu, soma- Rezultatul plierii. Abo în mod privat- Rezultat raspodіlu.

Cunoscând termenii, puteți, cel puțin, să înțelegeți sarcina.) Formula este astfel: desemnează funcții similare; ia o masă; funcția de diferențiere; calcula costul etc. Asta totul unul si acelasi Zrozumіlo, buvayut și sarcini pliate, de perebuvannya pokhіdnoї (diferențiere) va fi doar unul dintre deficiențele sarcinii.

Este indicat printr-o lovitură în mâna dreaptă deasupra funcției. axa astfel: y" sau f"(x) sau Sf)și până acum.

citit jocuri stroke, ef stroke vіd іks, es stroke vіd te, Ei bine, ai inteles...)

Un accident vascular cerebral poate însemna și o funcție specifică, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" si etc. Este adesea folosit pentru ajutorul diferențelor, dar un astfel de semn nu este vizibil în această lecție.

Să presupunem că am învățat să gândim. Am pierdut totul - învață să le virishuvate.) Bănuiesc din nou: sensul transformarea funcţiilor după regulile cântului. Tsikh a condus, în mod surprinzător, nu foarte bogat.

Pentru a cunoaște funcțiile dificile, trebuie să cunoști doar trei cuvinte. Trei balene, pe care stă toată diferențierea. Axa puturosului qi trei balene:

1. Tabelul celor asemănătoare (formule de diferențiere).

3. Funcția pliabilă Pokhіdna.

Să începem în ordine. La care se uită toată lecția la masa morților.

Tabelul următorului.

Lumea are funcții impersonale. Există multe funcții în mijloc, care sunt cele mai importante pentru aplicarea practică. Funcțiile Qi stau la toate legile naturii. Din aceste funcții, ca de la ceglinks, puteți formula orice altceva. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceleași funcții sunt dezvoltate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă prea subțire.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, tobto. vyhodyachi z vyznachennya pokhіdnoї acea teorie între - un lucru de-a face cu un muncitor. Și matematicienii sunt și oameni, așa-așa!) De la i și-au cerut propria (i us) viața. Mirosul virahuvali săraci funcții elementare în fața noastră. Tabelul pokhіdnyh a apărut, este deja gata.)

Axa câștigată, aceasta este o placă pentru cele mai populare funcții. Răul este o funcție elementară, în dreapta - її pokhіdna.

	Funcţie y	Alte funcții y y"
1	C (valoare constantă)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n este un număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Buturuga A X
	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții și tabelele celor aferente. Pokhіdna statechnі ї ї - una dintre cele mai importante formule, de parcă nu nayuzhivanіsha! Natyak zrozumіly?) Deci, masa nobilimii pokhіdnyh bazhano de reținut. Înainte de a vorbi, nu este atât de important, deoarece poți scăpa. Încercați virishuvati mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Pentru a cunoaște valorile tabelare ale amuzantului, după cum știți, sarcina nu este importantă. Prin urmare, astfel de manageri au adesea cipuri suplimentare. Fie pentru sarcina de formular, fie pentru funcția vizuală, ca în tabele, este nachebto și mute.

Să aruncăm o privire la sprotul de aplicații:

1. Găsiți o funcție aleatoare y = x 3

Nu există astfel de funcții în tabele. Ale є pokhіdna statії ї ї ї і ї zagalny vyglyadі (al treilea grup). În timpii n=3. Axa i este reprezentată de un trio de înlocuiri n și rezultatul este înregistrat cu precizie:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Axa și fă totul.

Sugestie: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea unei funcții similare y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie să știi dintr-o privire cum arată sinusul și apoi să dai valoarea x = 0 Voi merge chiar la Qiu. Aceeași ordine!Și apoi, buvaє, adăugați imediat zero la funcția de ieșire ... Ni se cere să cunoaștem nu valoarea funcției de ieșire, ci valoarea її pokhіdnoy. Pokhіdna, voi ghici - este deja o funcție nouă.

Conform tabelului, cunoaștem sine și vіdpovіdnu pokhіdnu:

y" = (sinx)" = cosx

Înlocuiește zero cu restul:

y"(0) = cos 0 = 1

Tse bude povіd.

3. Diferențiați funcția:

Ce, instilând?) Aproape că există astfel de funcții în tabelele celor similare.

Voi ghici, ce să diferențiem o funcție - este doar pentru a cunoaște funcția exactă. Uită de trigonometria elementară, glumește cu funcția noastră de a o absorbi. Masa nu ajuta...

Ale, te rog spune-mi că funcția noastră este cosinus, Atunci totul va fi nalagodzhuetsya!

Ei bine! Amintiți-vă că transformarea funcțiilor externe înainte de diferenţiere total permis! Eu, trapleyaetsya, mare viață mai ușoară. Conform formulei cosinusului kuta cu sârmă:

Tobto. funcția noastră vicleană nu este altceva, cum ar fi y = cox. Asul este o funcție tabelară. Acceptăm imediat:

Sugestie: y" = - sin x.

Un exemplu pentru acei absolvenți și studenți:

4. Cunoașteți funcțiile relevante:

Nu există astfel de funcții în tabele similare, evident. Și totuși, ghiciți matematica elementară, pas cu pas... Atunci puteți ierta complet această funcție. axa astfel:

Și pasul x este o zecime - este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n = 1/10. Chiar în spatele formulei care este scrisă:

De la mine toti. Tse bude povіd.

Sunt convins că la prima balenă a diferențierii - tabelul ultimelor - totul este clar. M-am rătăcit cu două balene, pe care le-am pierdut. La vârsta care vine, vom stăpâni regulile de diferențiere.

Găsiți viraza pentru o funcție exponențială similară (y = (e^x)), notând aceeași funcție exponențială.

Soluţie.

Scriem funcția \(\Delta y\) pentru a crește argumentul \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left (x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^ x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] dreapta) ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\ Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac( (((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Funcția \(y = (e^x) \) cartea de numere nu poate ajunge la vіd Δ X iar yoga poate fi acuzată pentru semnul limită. Apoi arată astfel: \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) \] , care \((e^0) = 1\) și care poate se scrie \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1 ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limite_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x )) = e"\left(0 \right),) \ ] atunci limita este dată la valorile funcției de afișare similare la zero. Otzhe, \ Am luat spіvvіdnennia, în care este posibil să se exprime prin funcția în sine \(y = (e^x)\) și її pokhіdnu în punctul \(x = 0\). Să știm că \ Pentru cine este posibil să ghicească că numărul \ (e \) va fi afișat la limita aparent inepuizabilă yak \ și numărul \ (e \) la pasul \ (\ Delta x \) va fi ) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n).\] Binomul lui Newton iar rozlademo viraz sub semnul hotarului in serie binomială: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ) ). În manualele europene și americane, numărul este indicat ca \ Să ne întoarcem la granița noastră \ (L \), acum îl putem scrie în acest fel: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \ frac ((( ( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ spre \infty ) \) stânga[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right ] - 1))((\Delta x)).) \] Putem vedea cu ușurință primele două adunări la seria binomială: pentru \(k = 0\) și \(k = 1\). Ca rezultat, \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))) ) )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1)) ( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_( \ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^ k ((\left((\frac((\Del) ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \ stânga[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x))\right) ))^(k - 1)))))(( (n^k)))) ) \dreapta)) \dreapta].) \] 0\). Tom, (L = 1). Tse înseamnă că funcția exponențială \(y = (e^x)\) este similară cu funcția exponențială: \

Să existe o funcție în vecinătatea punctului

Semn acceptat global al unei funcții similare la un punct

Masa

Sensul geometric al unei funcții similare într-un punct.

Să ne uităm la sichnu AB grafica functionala y=f(x) pete de taku sho Aі V găsiți coordonatele corecte , de - argument zbіlshennya. Semnificativ prin creșterea funcției. Totul este semnificativ pe fotoliu:

3 tricot dreptunghiular ABC poate. Cioburile pentru întâlniri sunt dotichnaya - tabăra de graniță este acum, atunci .

Să ghicim scopul următoarei funcții la punctul: următoarea funcție y=f(x) punctul se numește granița dintre creșterea funcției și creșterea argumentului la , este indicată .

Otzhe, , de - Kutovy dotichny coeficient.

În acest rang, baza unei funcții similare y=f(x)în punctul este echivalent cu punctul cu graficul funcției y=f(x)în punctul de chin, de altfel kutovyi, atunci .

Montaj: sens geometric al unei funcții similare într-un punct polagaє la іsnuvannі dotіchї la programul de funcționare la punctul іy.

20 Diferențialitatea funcției într-un punct. Acea diferențiere mentală suficientă este necesară.

Incrementul unei funcții diferențiate în acest punct poate fi ca o funcție liniară a unei creșteri a argumentului, până la cel mai înalt ordin al micii. Tse înseamnă că puteți înlocui funcția liniară cu numere mici în jurul punctelor (viteza de schimbare a funcției este considerată permanentă). Partea liniară a funcției crescute se numește diferențială (în acest punct).

Necesar, deși lipsit de diferențiere mentală - funcție nepermanentă. În diferite funcții, sub forma unui singur discurs schimbător, diferențierea este la fel de puternică pe baza uneia similare. În diferite funcții, unele dintre modificările de vorbire sunt necesare (deși nu suficiente) cu diferențiere intelectuală, iar baza celor private este similară cu toate modificările. Pentru funcția diferențială a decalcomanelor care se schimbă în punct, este suficient, astfel încât evenimentele private să aibă loc în vecinătatea punctului dat și să fie fără întrerupere în punctul dat.

21 Diferențialitatea funcției într-un punct. Teoremă despre continuitatea unei funcții care diferențiază.

Teorema.

Dacă funcția din acest punct este diferențiată, atunci funcția din acest punct este neîntreruptă.

Dovada.

Fie diferențiată funcția y=f(x)y=f(x) în punctul x0x0, atunci creșterea funcției este mai bună Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx )⋅x.

Când argumentul funcției ∆x∆x crește la zero, și funcția ∆y∆y crește la zero și înseamnă că funcția este neîntreruptă.

De aceea am avut în vedere că funcția y=f(x)y=f(x) este diferențiată în punctul x0x0, și că este o funcție neîntreruptă în punctul x0x0. Ce a fost nevoie pentru a aduce.

În acest fel, inocența unei funcții în acest punct este necesară, dar nu suficientă mentală pentru diferențierea unei funcții.

fundul.

Funcția y=|x|y=|x| punctul x0x0 are o funcție neîntreruptă, dar funcția acestui punct nu este diferențiată.

De fapt, creșterea funcției este mai scumpă:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Când o luăm:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Limita limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx nu există, ceea ce înseamnă că funcția y=|x|y=|x| este neîntreruptă în punctul x0x0, nediferențiată în acel punct.

22 Funcție diferențială. Diferenţial de simţ geometric.

Funcția diferențială a punctului de cânt X numită partea principală, liniară a funcției crescute.

Diferenţial de funcţie y=f(X) la bunul lucru al lui її asemănător sporului X(argument).

Ar trebui scris asa:

Diferenţial de simţ geometric. Diferenţial de funcţie y=f(X) la creșterea ordonatei S doticului, efectuată înaintea graficului funcției în punctul M( X; y), la schimbare X(argument) prin valoare (div. bebeluși).

23 Regula de diferențiere suma că dobutku.

Pentru a demonstra o altă regulă de diferențiere, grăbim numirea de similare și putere între funcții neîntrerupte.

Cu un rang similar, poți aduce o sumă bună (retail) n funcțiile sumei suplimentare (cu amănuntul) n pokhіdnyh

Aducem regula diferențierii la adunarea a două funcții.

Să notăm între îmbunătățirea creării de funcții și îmbunătățirea argumentului. Este sigur să spunem că i (incrementul funcției crește la zero când argumentul este incrementat, care crește la zero).

Ce a fost nevoie pentru a aduce.

24 Invarianța diferenţialului de formă 1.

Invarianța formei primului diferențial

Yakscho X- schimbare independentă, atunci dx = X - X 0 (creștere fixă). A cui minte este posibilă

df(X 0) = f"(X 0)dx. (3)

Yakscho X = φ (t) este o funcție diferențiată, atunci dx = φ" (t 0)dt. Otzhe,

astfel încât primul diferențial poate avea invarianță de putere dacă înlocuiți argumentul.

25 Teorema rolului.

teorema lui Rolle (teorema zero) stverzhuє, scho

dovada

De îndată ce funcția a devenit mai puternică, atunci este mai evident, cioburile sunt similare cu funcția la zero în orice punct al intervalului.

Yakschko zh, osskіlki semnificația funkії la punctele de limită ale segmentului Rivni, apoi vіdpovid la teoremi Weiєrshtrass, Vona Nabuiva, Holy Nibільшое ABO NIMENSHOVA VENANCE IN OPTERSIY POTCIІ INTERVALE IN OPTERSIY POTCIІ INTERVALE, TOTCEMІ, LOMІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТІ ТЕІ ТІ ТІ ТІ ТЕІ ТЕІ POTCIІ PUPIDNA DORIVNUє 0 .

sens geometric

Teorema stverdzhuє, ordonate scho yakscho ale ambelor linii curbe netede kintsіv, apoi există un punct pe curbă, în yakіy dotichna la curba paralelă cu axa absciselor.

26 Teorema lui Lagrange și consecințele ei.

Formula incrementelor finale sau Teorema valorii medii a lui Lagrange afirmă că funcția este neîntreruptă în raport cu intervalul și diferențiată în interval, atunci există un astfel de punct încât

.

Geometric Poate fi reformulat astfel: există un punct pe vіdrіzka, în care este dotic paralel cu coarda, care ar trebui să treacă prin punctele graficului, care ar trebui să indice punctele vіdrіzka.

Încețoșarea mecanică: Să mutăm punctele în momentul deschiderii poziției scuipatului. Todі є way, pasaje din moment în moment, vіdnoshennia - viteza medie pentru întreg intervalul. Înseamnă că dacă viteza corpului este atribuită în orice moment orei, atunci momentul cântării va fi egal cu valoarea sa medie pe această dimensiune.

dovada

Pentru funcția unei modificări:

Să introducem o funcție. Pentru neї vykonanі gândiți-vă la teorema rolului: pe kіntsyah vіdrіzka її znachenya la zero. După ce am ghicit rapid după teoremă, luăm în considerare că este un punct , care are o funcție similară cu zero:

ce era necesar să aducă.

Rezultate și înțelegere

Teorema lui Lagrange despre incrementele finite este una dintre cele mai importante, teorema lui Wuzlov pentru toate sistemele de calcul diferențial. Există multe completări la matematica computațională și cele mai importante teoreme ale analizei matematice sunt, de asemenea, moștenite.

Ultimul 1. O funcție care se diferențiază într-o variabilă, similară, care este mai aproape de zero, este o constantă.

Dovada. Pentru be-yakikh i іsnuє punct, astfel de scho.

Deci, pentru tot i, ecuanimitatea este corectă.

Cazul 2 (formula lui Taylor cu un termen redundant în forma Lagrange). Dacă funcția este diferențiată o dată la marginea punctului, atunci pentru cele mici (este liniștit, pentru unele granițe se află lângă periferie) formula lui Taylor este valabilă:

de - număr deyake z іnvalu.

Ultimele 3. La fel, funcția celor doi schimbători este diferențiată la marginea punctului Pro și toate celelalte modificări sunt neîntrerupte în punctul O, atunci egalitatea este corectă în al doilea punct:

Dovada pentru . Fixăm valoarea și ne uităm la operatorii de retail

Conform teoremei lui Lagrange, găsiți numere , asa de

la prin continuitatea altor funcţii similare.

În mod similar, se poate argumenta că .

Ale oskіlki, (care sunt reconsiderate fără mijloc), qi între zbіgayutsya.

Naslidok 4 (formula Newton-Leibnitz). Dacă funcția este diferențiată într-o ramură și este integrată în mod similar după Riemann în fiecare ramură, atunci următoarea formulă este adevărată: .

Dovada. Haide - destul de pauză în vânt. Teorema lui Zastosovuyuchi Lagrange, dermal z vіdrіzkіv cunosc punctul astfel încât .

În funcție de valoarea ecuanimității, luăm:

Livoruch a costat suma integrală a lui Riemann pentru integrala distribuției date atribuite. Trecând la inter-diametrul golului, luăm formula Newton-Leibnitz.

Naslіdok 5 (Teorema despre estimarea incrementelor finale). Lăsați vibrația să fie diferențiată neîntrerupt în zona compactă opulentă a spațiului. Todi.

27 Teorema lui Kashi.

Teorema valorii medii a lui Cauchy.

Dați aceste două funcții și astfel încât: 1. atribuite și neîntrerupte situației de urgență; 2. sărbători și weekenduri la intervale; 3. scade si nu se reseteaza la zero in acelasi timp pe intervalul 4. ; todі іsnuє, pentru yakoї virno: . (Cum să curățați mintea 4, este necesar, de exemplu, să ajutați mintea 3: g „(x) nu este vinovat că a mers la zero oriunde în interval.)

Geometric, poate fi reformulat astfel: dacă și pentru a stabili legea de rotație pe plan (pentru a atribui abscisa și ordonata prin parametrul ), atunci pe orice subplot a unei astfel de curbe, dată de parametrii i , există o vector copil coliniar cu vectorul deplasare în to .