Curs de prelegeri. Deschide Biblioteca

Este ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să aruncăm o privire la funcția de întoarcere. Care este funcția de întoarcere pentru funcția de afișare? Logaritm:

Vipadka noastră are ca bază un număr:

Un astfel de logaritm (adică logaritmul de la bază) se numește „natural”, iar pentru noul învingător este deosebit de important: scriem textul.

De ce iti pasa? Evident, .

Modul de a privi logaritmul natural este și mai simplu:

Aplica:

1. Găsiți o funcție potrivită.
2. De ce funcțiile arată bine?

Sugestii: Funcțiile logaritmului exponențial și natural sunt extrem de simplu de privit. Arătarea acelor funcții logaritmice cu orice altă bază va fi mama viitorului, așa cum vom analiza cu tine mai târziu, după aceea, vom trece prin regulile diferențierii.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Revizuiesc un nou termen, revin?!

Diferenţiere- Întregul proces este rău.

Numai și totul. Cum altfel poți descrie procesul într-un singur cuvânt? Nu producerea de... Diferenţialul de matematică este numele dat celor mai mari funcţii la. Vіdbuvaєtsya tsey termіn vіd latinskogo ryznitsya. Axă.

Cu toate aceste reguli victorioase, avem două funcții, de exemplu, i. Avem nevoie și de formula pentru creșterea lor:

Usyogo є 5 reguli.

O constantă de vină pentru semnul binelui.

Yakshcho - ca un număr constant (constant), etc.

Evident, această regulă se aplică comerțului cu amănuntul: .

Sa o luam. Să fie mai ușor.

aplica.

Aflați caracteristicile asociate:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct

Soluţie:

1. (pokhіdna este aceeași în toate punctele, cioburi din întreaga funcție, vă amintiți?);

Pokhіdna robot

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și cunoaștem îmbunătățirea:

Pokhidna:

Aplica:

1. Cunoaște funcții similare;
2. Aflați funcții similare la un moment dat.

Soluţie:

Funcții de afișare Pokhіdna

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să știi dacă este o funcție de afișare și nu doar exponențială (nu uita ce este?).

Tată, numărul de - tse yakes.

Cunoaștem deja o funcție proastă, așa că hai să încercăm să ne aducem funcția la o nouă fundație:

O voi grăbi cu o regulă simplă: . Todi:

Ei bine, wow. Acum încercați să aflați ce este în neregulă și nu uitați că această funcție este pliabilă.

Wiishlo?

Axis, corectează-te:

Formula wiyshla este și mai asemănătoare cu un exponent mort: așa cum a fost, așa că a fost pierdut, a apărut ca un multiplicator, care este doar un număr, dar nu o schimbare.

Aplica:
Găsiți caracteristici interesante:

Sugestii:

Este doar un număr, este imposibil să-l dai seama fără un calculator, așa că nu poți să-l notezi într-un mod mai simplu. De aceea o astfel de persoană arată și se simte prea mult.

Cu respect, deoarece există două funcții aici, regula diferențierii este valabilă:

Acest fund are două funcții:

Funcția logaritmică Pokhіdna

Aici este similar: știi deja să te uiți la logaritmul natural:

Pentru cineva care vrea să știe suficient despre logaritmul cu o altă bază, de exemplu:

Este necesar să aduceți acest logaritm la bază. Și cum se schimbă baza logaritmului? Vă spun că vă amintiți această formulă:

Aflați acum pisatimemo:

Banermanul avea o constantă simplă (un număr constant fără schimbare). Este ușor să ieși:

Pokhіdnі show și funcțiile logaritmice nu pot fi utilizate în EDI, dar nu le vom cunoaște.

Funcție pliabilă Pokhіdna.

Ce este o „funcție pliabilă”? Hі, tse nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi pliabile pentru înțelegere (dacă doriți ca logaritmul să fie pliabil, citiți subiectul „Logaritmi” și parcurgeți totul), dar din punctul de vedere al matematicii, cuvântul „pliabil” nu înseamnă „foarte important” .

Arată-ți un transportor mic: doi oameni stau și se sfiesc ca și cum ar fi cu astfel de obiecte. De exemplu, primul arde un baton de ciocolată într-un guler, iar celălalt îl leagă cu o sfoară. Sa iasa un astfel de obiect de depozit: un baton de ciocolata, ars si legat cu sfoara. Pentru a avea un baton de ciocolată, trebuie să crești o dietă sănătoasă într-o ordine sănătoasă.

Să creăm o conductă matematică similară: în primul rând, cunoaștem cosinusul unui număr, apoi luăm numărul, îl pătram. Otzhe, ni se dă un număr (ciocolată), știu cosinusul yogo (obgorka), și apoi le faci pe cele pe care le-am avut un pătrat (legați o linie). Ce s-a întâmplat? funcţie. Tse și є capul unei funcții de pliere: dacă semnificația її znachennja mi este problyaєєєm dіyu fără intermediar z zmіnnoї, că bui che alte dіyu despre cele care au rezultatul primei.

Cu alte cuvinte, funcția pliabilă - întreaga funcție, al cărei argument este cealaltă funcție: .

De exemplu, .

Putem lucra ca un întreg tі w dії і în ordine inversă: pe dosul mâinii faci un pătrat, iar apoi caut cosinusul numărului luat: . Nu este ușor de ghicit că rezultatul poate fi diferit pentru totdeauna. Particularitatea funcțiilor de pliere este importantă: schimbarea în ordine și funcția este schimbată.

Un alt fund: (la fel). .

Diyu, yaku robimo stop, namememo funcția „exterior”., și diya, ceea ce este atribuit primului - evident funcția „internă”.(numiți-le informal, le trăiesc doar pentru a explica materialul în modul meu simplu).

Încercați să vă dați seama ce funcție este externă și care este internă:

Sugestii: Podil funcții interne și externe chiar similare cu înlocuirea celor externe: de exemplu, funcții

1. Primul vikonuvatimeme yaku diyu? O să fac un sinus și apoi vom juca într-un cub. Otzhe, funcție internă, dar exterior.
   Iar funcția de ieșire este compoziția sa: .
2. Intern: ; chemând: .
   Revizie: .
3. Intern: ; chemând: .
   Revizie: .
4. Intern: ; chemând: .
   Revizie: .
5. Intern: ; chemând: .
   Revizie: .

vikonuemo zamіnu zmіnnyh și otrimuєmo funktіuєmo.

Ei bine, acum ne luăm batonul de ciocolată - voi tace. Ordinea zilei este întotdeauna inversată: unul câte unul, pare să fie aceeași funcție externă, apoi înmulțim rezultatul cu următoarea funcție internă. De sute de ori o voi pune astfel:

Al doilea exemplu:

Otzhe, formulă, nareshti, regulă oficială:

Algoritm pentru funcția familiară de pliere:

Totul este simplu, nu?

Să verificăm fundul:

Soluţie:

1) Intern: ;

Apelare: ;

2) Intern: ;

(Nu vă gândiți acum să fiți rapid! Z-pіd cosinus nu dați vina pe nimic, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Apelare: ;

Puteți vedea clar că există o funcție de pliere în trei ori aici: adzhe este deja o funcție de pliere în sine și din ea se trage rădăcina, astfel încât să câștige a treia zi (se pune ciocolată într-un obgorttsі și cu o sfoară într-o servietă). Dar există multe motive pentru care: totuși, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine în care sună: de la sfârșit.

De aceea mai întâi diferențiez rădăcina, apoi cosinusul, iar apoi pierdem virazul la tâmple. Și apoi înmulțim totul.

Uneori, numerotați manual dії. Tobto uyavimo, scho us vіdomy. În ce ordine vom lucra diy, pentru a calcula valoarea acelei virase? Să aruncăm o privire la fund:

Oricare ar trebui să fie ziua, cu atât funcția va fi mai „frumoasă”. Secvență diy - ca și înainte:

Aici, contribuția a fost ridicată 4-r_vneva. Să semnificăm comanda diy.

1. Sub-rădăcină viraz. .

2. Korin. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Alegem totul înainte de a cumpăra:

VIROBNICH. SCURT DESPRE LUCRURI

Alte funcții- extinderea creșterii funcției la creșterea argumentului cu o creștere infinit mică a argumentului:

Călătorii de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta de vină pentru semnul rău:

Suma pokhіdna:

Bună treabă:

Călătoria este privată:

Funcții de pliere:

Algoritm pentru familiaritatea unei funcții de pliere similare:

1. Vedem funcția „internă”, știm că a dispărut.
2. Este evident că funcția „frumoasă”, se știe că voi fi plecat.
3. Înmulțim rezultatele primului și celorlalte puncte.

Nu lăsați viața să ne spună semnificația exactă a oricărei cantități. Uneori trebuie să știți despre modificarea valorii autobuzului, de exemplu, viteza medie a autobuzului, modificarea dimensiunii mișcării înainte de interval etc. Pentru a potrivi valoarea funcției în punctul curent cu valorile funcției în alte puncte, este necesar să câștigați manual o astfel de înțelegere, cum ar fi „incrementare a funcției” și „incrementare a argumentului”.

Conceptul de „creștere a funcției” și „creștere a argumentului”

Este posibil ca x să fie un punct suficient de bun pentru a se afla lângă punctul x0. Creșterea argumentului în punctul x0 se numește diferența x-x0. Creșterea este indicată astfel: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Cu alte cuvinte, valoarea se mai numește și creșterea modificării independente în punctul x0. Sunt viabile trei formule: x = x0 + ∆x. În astfel de situații, se pare că valoarea medie a modificării independente x0 a luat incrementul lui ∆x.

Dacă schimbăm argumentul, atunci se va schimba și valoarea funcției.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Funcții mai mari f în punctul x0, diferența f(x0 + ∆х) - f(x0) se numește diferența de creștere ∆х. Creșterea funcției este indicată de rangul în avans ∆f. În acest rang, îl luăm pentru numire:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Cu alte cuvinte, ∆f se mai numește și o creștere a terenului de pânză și în scopul înțelegerii vicorist ∆y, în funcție de bula, de exemplu, y \u003d f (x).

Senzație geometrică

Uită-te la micuții care vin.

Ca o bachită, sporul arată schimbarea ordonatei și a abscisei punctului. Iar extinderea creșterii funcției la creșterea argumentului este determinată a fi neglijentă, să treacă prin pozițiile spat și de capăt ale punctului.

Să ne uităm la funcția și argumentul mai mare

exemplu 1. Aflați creșterea argumentului ∆x și creșterea funcției ∆f în punctul x0, deci f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Accelerând cu formule, îndreptând mai sus:

a) ∆x = x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

fundul 2. Calculați creșterea ∆f pentru funcția f(x) = 1/x în punctul x0, ca o creștere a argumentului ∆x.

Ei bine, știu, accelerarea cu formulele, scoaterea mai mult.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

din fizica medicala si biologica

Prelegerea №1

VIROBNICH I FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

PRIVAT VIROBNICHI.

1. Ponyatya pokhіdnoї, її mekhanіchny și zmіst geometric.

A ) Creștere la argumentul acelei funcții.

Fie dată funcția y = f (x), unde x este valoarea argumentului din aria funcției atribuite. Dacă alegeți două valori ale argumentului x o і x іz primul interval al ariei de funcție, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește argument mai mare: x - x o =∆x.

Valoarea argumentului x poate fi atribuită în termeni de x 0 și aceeași creștere: x \u003d x pro + ∆x.

Diferența dintre două valori ale funcției se numește funcție mai mare: ∆y = ∆f = f(x pro + ∆x) - f(x o).

Creșterea argumentului și a funcției poate fi prezentată grafic (Fig. 1). O creștere a argumentului și o creștere a funcției pot fi atât pozitive, cât și negative. După cum se arată în Fig. 1, creșterea geometrică a argumentului ∆х este reprezentată ca o creștere a abscisei, iar creșterea funcției ∆y - a creșterii în ordonată. Calculul creșterii următoarelor funcții se efectuează în ordine ofensivă:

dăm argumentului o creștere ∆x și luăm valoarea - x + Δx;

2) valoarea cunoscută a funcției valorii argumentului (х+∆х) – f(х+∆х);

3) creștere semnificativă a funcției ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

fund: Schimbați funcția y=х 2, schimbând astfel argumentul de la x pro =1 la x=3. Pentru un punct x despre valoarea funcției f(x o) = x²; pentru un punct (xo + ∆x) valoarea funcției f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, stele ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x despre ∆x + ∆x 2; ∆f = 2х aproximativ ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Zavdannya, scho pentru a produce pentru a înțelege urâtul. Vznachennya pokhіdnoi, її physіchny zmіst.

Înțelegerea argumentului și a funcției este necesară pentru introducerea înțelegerii săracilor, deoarece din punct de vedere istoric se datorează nevoii de a desemna securitatea liniștii și a altor procese.

Să vedem cum poate fi văzută viteza unei mișcări în linie dreaptă. Lăsați corpul să se prăbușească direct din lege: ∆S=  ∆t. Pentru circulație egală: = ∆S/∆t.

Pentru o viteză variabilă, valorii ∆Ѕ/∆t i se atribuie valoarea  porіvn. , apoi  porіvn. =∆S/∆t. Cu toate acestea, sueditatea medie nu oferă posibilitatea de a imagina particularitatea mișcării corpului și data anunțării adevăratei suedeze la momentul t. Cu o schimbare de oră, adică. la ∆t→0, netezimea medie este chiar până la mijloc - claritatea mittevskoy:

 inst. =
 porіvn. =
∆S/∆t.

Iată cum se manifestă reacția chimică și mitteva:

 inst. =
 porіvn. =
∆х/∆t,

de x - cantitatea de vorbire care a fost făcută în timpul reacției chimice într-o oră t. Sarcini similare pentru desemnarea flexibilității diferitelor procese au fost aduse la introducerea în matematică a înțelegerii funcțiilor aleatorii.

Fie dată fără întrerupere funcția f(х), atribuită pe intervalul ]a,b[іє increment ∆f=f(x+∆x)–f(x).
є funcția ∆x care rotește viteza medie de schimbare a funcției.

Mezha vіdnosyn , dacă ∆х→0, gândiți-vă la ceea ce este între, se numește funcție aleatoare :

y" x =

.

Pokhіdna este semnificată:
- (Igreek stroke pe ix); " (x) - (ef stroke pe ix) ; y" - (trăsă de gravură); dy / dx – (de igreek la de iks); - (Igrec cu un punct).

Îndepărtându-ne de soarta pokhіdnoi, putem spune că mitteva shvidkіst prіkіlіynіy ruhu є є khіdny vіdnoj shlyakhu până la ora:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

În acest fel, puteți crea o nevtishny vysnovka, care este similară cu funcția din spatele argumentului x є mitteva schimba funcția f(x):

y" x = f " (x) =  inst.

Pe care polonezii au un simț fizic asemănător. Procesul de cunoaștere a diferenței se numește diferențiere, la care expresia „a diferenția o funcție” este echivalentă cu expresia „a cunoaște diferența unei funcții”.

v)Simțul geometric este similar.

P
funcția derivată y \u003d f (x) poate fi un sens geometric simplu, legându-se la concepte dotichї la o linie curbă în punctul deyakіy M. În acest fel, dotichno, tobto. o linie dreaptă este rotită analitic y caută y \u003d kx \u003d tg x, de? – kut prost dotic (dreaptă) la axa X. În mod remarcabil curba bezperervnu ca o funcție y = f(x), luați punctul de curbă M_ aproape de acesta punctul M 1 și trageți prin ele s_chnu. Її coeficient de tăiere până la sec =tg β = .Pentru a se apropia de punctul M 1 la M, atunci creșterea argumentului ∆х se va muta la zero, iar potrivirea la β = α va lua poziția punctului. Din fig. 2 vedem: tgα =
tgβ =
=y" x .

to = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). De asemenea, coeficientul de sus, care merită graficul funcției în acest punct, valoarea mai veche este similară în punctul de întoarcere. Pentru care sensul geometric poligaє este similar.

G)Zagalne guvernează znakhodzhennya pokhіdnoi.

Din momentul stabilit, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi un rang ofensiv:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

cunoașteți mai multe funcții: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

adunați creșterea funcției cu creșterea argumentului:

;

fund: f(x)=x 2; f " (x) =?.

Cu toate acestea, după cum puteți vedea din acest cap simplu, zastosuvannya numit secvență pentru ora de a lua ultimul - un proces laborios și pliere. Prin urmare, pentru diverse funcții sunt introduse formule generale de diferențiere, așa cum sunt prezentate în tabelul „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

Haide X- Argument (schimbare independentă); y=y(x)- Funcție.

Luăm o valoare fixă ​​a argumentului x=x 0 acea valoare calculabilă a funcției y 0 = y(x 0 ) . Acum îl vom pune într-o ordine corectă creştere (schimbarea) argumentul este în mod semnificativ yoga  X ( X poate fi un fel de semn).

Argument din zbіlshennyam - punct X 0 +  X. Este permis, are și valoarea funcției y=y(x 0 +  X)(Div. bebeluși).

În acest fel, cu o modificare suficientă a valorii argumentului, schimbarea funcției a fost eliminată, așa cum se numește pentru mai mult valorile functiei:

și nu suficient, ci să stea sub forma unei funcții și mărimi
.

O creștere a argumentului acelei funcție poate fi kіntsevimi, atunci. vyslovlyuvatisya în număr rapid, în diferite țări sunt uneori numite sfârșitul vieții.

În economia Kintsevului, creșterile sunt văzute mai des. De exemplu, tabelele conțin date despre dovzhina trezoreriei statului deaco. Evident, creșterea lungimii granițelor este socotită ca o cale de semnificație înainte de la ofensivă.

Să aruncăm o privire la dozhina zaliznichnoi merezhi ca o funcție, al cărei argument va fi o oră (roci).

	Dovzhina a gărilor pe 31.12, mii km.	Prist	Creștere medie

Prin ea însăși, liniile de cale ferată zbіlshennya funktsії (uneori dovzhini railway) caracterizează rău schimbarea funcțiilor. Fundul nostru este din ce 2,5>0,9 este imposibil să crești wisnovok, în care merezha a crescut mai repede 2000-2003 stâncă, mai jos 2004 r. acel priist 2,5 până în perioada trinității și 0,9 - Mai puțin de o soartă. În acest sens, este destul de natural ca funcția zbіlshennya să producă până la o schimbare a argumentului. Incrementul argumentului aici este punctul: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Le luăm pe cele care se numesc în literatura economică crestere medie.

Puteți omite operația de reducere a argumentului la unu, astfel încât să puteți lua valoarea funcției pentru valoarea argumentului, care este setată la unu, ceea ce nu este posibil.

În analiza matematică, zocrema, în calculul diferențial, se pot privi creșteri infinit de mici (BM) în argumentul acelei funcții.

Funcții diferențiale ale unei modificări (aceeași diferență) Funcții similare

Creștere la argument și funcție la punct X 0 este posibil ca o diferență de valori infinit de mici (div. subiectul 4, diferența BM), tobto. BM o comandă.

Todi їх vіdshennya va fi mama graniței Kіntsev, deoarece este recunoscută ca o funcție similară în t X 0 .

Între creșterea funcției la BM creșterea argumentului la punctul x=x 0 numit pokhіdny funcţionează în acest moment.

Desemnarea simbolică a următoarei linii (și, de fapt, cifra romană I) a fost inspirată de Newton. Puteți depăși indicele inferior, care arată, care modificare este calculată, de exemplu, . Există, de asemenea, o mare varietate de alte definiții, propuse de fondatorul calculului celui mai rău, matematicianul german Leibnitz:
. Pentru ocazie, trebuie să cunoașteți mai bine semnele și raportul la distribuire Diferenţial de funcţie şi diferenţial de argument.

Numărul acesta este estimat viteză schimba funcțiile pentru a trece printr-un punct
.

Instalăm sens geometric funcții similare în puncte. Cu această metodă, vom solicita programarea funcției y=y(x) care este semnificativ pe noul punct care semnifică schimbarea y(x) la intermediar

Sute de grafice ale funcției în puncte M 0
vom respecta tabăra de frontieră a curentului M 0 M spala
(pata M kovzaє în spatele graficului funcției până la punct M 0 ).

Uita-te la
. Evident,
.

Ca un punct Mîndreptați graficul funcției direct la punct M 0 , apoi valoarea
fii pragnic față de limita cântării, deoarece este semnificativă
. Când tsimu.

tăietură de chenar  zbіgaєtsya s kutom nahily dotichny, efectuat înainte de programul funcției. M 0 ca asta
superior numeric reducerea coeficientului de doză în punctele desemnate.

-

sens geometric al unei funcții similare într-un punct.

În acest fel, se poate nota egalitatea punctului și a normalului ( normal – este drept, perpendicular pe graficul funcției în punctul real X 0 :

Shodo - .

normal -
.

Cіkavі vpadki, dacă tsі prіmі raztashovanі orizontal sau vertical (div. subiectul 3, okremі vіpadki poziționat drept pe plan). Todi,

yakscho
;

yakscho
.

Pokhіdnoї numit este numit diferenţiere funcții.

 Care este funcția la punct X 0 Pot să părăsesc Kintsev, se numește ea diferenţiatîn acest moment. O funcție care diferențiază în toate punctele unui interval dat se numește funcție diferențiată pe acel interval.

 Teorema . Care este funcția y=y(x) diferenţiat în t.ch. X 0 , atunci câștigul în acest moment este neîntrerupt.

Într-o asemenea manieră, neîntrerupt- Funcție diferențială mentală necesară (deși nu suficientă).

1. Argumentul zbіlshennya și funcția zbіlshennya.

Să fie dată funcția. Să luăm două sensuri pentru argument: pochatkove acea schimbare, așa cum este acceptat să semnifice
, de - valoarea modului de schimbare a argumentului pentru trecerea de la prima valoare la alta, se numește argument zbіlshennyam.

Valorile argumentului care se potrivesc cu primele valori ale funcției: asta s-a schimbat
, valoare , deoarece valoarea funcției se modifică atunci când argumentul este schimbat cu valoarea , este apelat mai multe funcții.

2. Înțelegerea între funcții la un punct.

Număr numită funcţie de limită
când, ce pragne to yakscho pentru orice număr
găsiți un astfel de număr
, ce pentru toti
care satisface nervozitatea
,
.

O altă desemnare: Numărul se numește limita funcției atunci când, care este pragne la, în ceea ce privește dacă există un număr, există un astfel de punct în jurul punctului, care pentru dacă există un cerc în jur. fi numit
.

3. infinit de mari și infinit de mici funcții ale unui punct. Funcția unui punct este infinit de mică - o funcție, între ele, că nu este posibil ca punctul să fie egal cu zero. Funcție infinit de mare în punct - funcția graniței, dacă există o diferență, până la punctul de inconsecvență mai mare.

4. teoreme principale despre între ele și implicațiile lor (fără dovezi).

consecință: multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul limită:

Ca o secvență converge și intersecvență vіdminna vіd zero, atunci

următorul: multiplicatorul de post poate fi acuzat pentru semnul limită.

11. Cum să înțelegeți între funcții
і
și între funcții vіdminna vіd zero,

atunci este de asemenea necesar să se stabilească granița dintre cele două funcții, egală granița dintre funcții și:

.

12. yakscho
, atunci
, este corect și vicios.

13. teorema despre sirul intermediar. Ca o secvență
similar, i
і
atunci

5. între funcţii pe inconsistenţă.

Numărul a se numește granița funcției pe inconsistență, (cu x pragne la inconsistență) în ceea ce privește dacă există o secvență, care este pragne la inconsistență
arătați secvența sensului, la ce să treceți A.

6. redelele succesiunii numerice.

Număr A numită granița șirului numeric, ca pentru orice număr pozitiv există un număr natural N, deci ce pentru toți n> N nerіvnist
.

Simbolic, arată astfel:
corect.

Faptul că numărul Aє secvență limită, semnificată prin rangul care urmează:

.

7. numărul „e”. logaritmi naturali.

Număr "e" sunt între secvențe numerice, n- al-lea membru
, atunci.

.

Logaritm natural - logaritm cu bază tobto. sunt indicați logaritmii naturali
fara programare.

Număr
vă permite să treceți de la al zecelea logaritm la cel natural și înapoi.

, Yogo este numit modulul de tranziție de la logaritmii naturali la zeci.

8. minuni între
,

.

Prima graniță minune:

Într-o asemenea manieră

în spatele teoremei despre succesiunea intermediară

altă graniță miraculoasă:

.

Pentru a demonstra baza graniței
vikoristovuyut lema: pentru fi-un astfel de număr de foc
і
denivelările sunt corecte
(2) (când
sau
nervozitatea se transformă în gelozie.)

Secvența (1) poate fi scrisă după cum urmează:

.

Acum să ne uităm la următoarea secvență de la elementul articulat
perekonaєmosya, că se schimbă și se franjuri de jos:
yakscho
, apoi secvența se schimbă. Yakscho
secvența este mărginită în partea de jos. Să arătăm:

în virtutea ecuanimității (2)

tobto.
sau
. Adică, secvența se schimbă și așa mai departe. apoi secvența este mărginită de jos. Ca și cum secvența se schimbă și se mărginește de jos, poate exista între. Todi

poate fi între acea secvență (1), adică până la.

і
.

L. Euler denumind hotarul .

9. margini unilaterale, funcții de extindere.

numarul A livu intre, cat despre daca succesiunea este sau nu victorioasa astfel: .

numărul A drept între, în ceea ce privește dacă secvența este sau nu vikonuetsya astfel: .

Ce urmeaza A se află în zona funcției atribuite, sau її între, întrerupe continuitatea mentală a funcției, punct A numit punct de expansiune sau dezvoltare a unei funcţii. yakscho în punctul potrivit

12. suma termenilor progresiei geometrice recesive neterminate. Progresia geometrică este o succesiune, caz în care între cele care urmează, membrii înainte sunt lăsați permanent, iar această schimbare se numește semnul progresului. Suma primelor n membrii progresiei geometrice sunt exprimate prin formula
tsyu formula manual vykoristovuvatime progresie geometrică recesivă - progresie în care valoarea absolută a standardului este mai mică decât zero. - primul membru; - semn de progres; - Numărul membrului luat al secvenței. Suma progresiei recesive nerestricționate este un număr care nu este limitat de suma primilor membri ai progresiei recesive cu o creștere nerestricționată a numărului.
atunci. Suma termenilor unei progresii geometrice inexorabil de lente este mai scumpă .