Matematika ako veda kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem reality štúdia sveta okolo nás, prírodných a sociálnych javov. Na rozdiel od iných vedy sa však matematika skúma svoje špeciálne vlastnosti, rozptyľuje od iných. Tak, geometria študuje tvar a veľkosť objektov, bez toho, aby sa zohľadnili ostatné vlastnosti: farbu, hmotnosť, tvrdosť atď. Všeobecne platí, že matematické objekty (geometrický tvar, počet, množstvo) sú vytvorené ľudskou mysľou a existujú len v ľudskom myslení, v príznakoch a symboloch, ktoré tvoria matematický jazyk.

Abstraktnosť matematiky umožňuje ho aplikovať v širokej škále oblastí, je to silný nástroj pre znalosti prírody.

Formy vedomostí sú rozdelené do dvoch skupín.

Prvá skupina Formy zmyselných poznatkov vykonaných s pomocou rôznych zmyslov: pohľad, sluch, vôňa, dotyk, chuť.

Košeľa druhá skupina Formy abstraktného myslenia, predovšetkým pojmy, vyhlásenia a záver.

Formy zmyselných vedomostí sú cítiť, vnímanie a zastúpenie.

Každá položka nemá jednu, ale mnohé vlastnosti, a my sa naučíme s pomocou pocitov.

Pocit - To je odrazom jednotlivých vlastností objektov alebo javov materiálu svetového sveta, ktoré sú priamo (t.j. momentálne) ovplyvniť naše zmysly. Je to pocit červenej, teplej, okrúhlej, zelenej, sladkej, hladkej a inej individuálnej vlastnosti objektov [Hetmanova, s. 7].

Z jednotlivých pocitov je vnímanie celého predmetu. Napríklad vnímanie Apple sa skladá z takýchto pocitov: sférické, červené, kyslé sladké, voňavé, atď.

Vnímanie Tam je holistický odraz externého materiálu, ktorý je priamo ovplyvnený našimi zmyslami [hetmanov, s. osem]. Napríklad obraz dosky, šálky, lyžice, iných jedál; Obraz rieky, ak sa teraz na ňom plavíme alebo sú na jeho brehu; Obrázok lesa, ak sme teraz prišli do lesa, atď.

Vnímanie, aj keď sú zmyselné odrazom reality v našom vedomí, do značnej miery závisia od ľudskej skúsenosti. Napríklad biológ vnímame lúku jedným spôsobom (uvidí rôzne typy rastlín) a turista alebo umelec je veľmi odlišný.

Zastúpenie - Toto je zmyselný obraz predmetu, v súčasnosti nie sme vnímaní, ale ktorí predtým vnímali v jednej forme alebo inej forme [Hetmanova, s. 10]. Môžeme napríklad vizuálne predstaviť tváre známych, našej izby v dome, breze alebo huby. Toto sú príklady reprodukcia Prezentácie, pretože sme videli tieto položky.

Reprezentácia môže byť kreatívny, počítajúc do toho fantastický. Prezentujeme krásnu princeznú Swan, alebo kráľ Saltana, alebo zlatý Cockerel, a mnoho ďalších postáv z rozprávok A.S. Pushkin, ktorý nikdy nevidel a nevidel. Tieto príklady tvorivej prezentácie na verbálnom opise. Predstavujeme si aj Snow Maiden, Santa Claus, Mermaid, atď.

Takže formy zmyselných vedomostí sú pocity, vnímanie a prezentácia. S pomocou ich pomoci sa naučíme vonkajšie strany predmetu (jeho označenia, vrátane vlastností).

Formy abstraktného myslenia sú pojmy, vyhlásenia a záver.

Koncepty. Objem a obsah konceptov

Termín "koncepcia" sa zvyčajne používa na označenie celej triedy objektov ľubovoľného charakteru, ktoré majú určitú charakteristiku (výrazný, základný) majetok alebo súbor takýchto nehnuteľností, t.j. Vlastnosti, ktoré sú súčasťou iba prvkov tejto triedy.

Pokiaľ ide o logiku, koncepcia je osobitnou formou myslenia charakteristické, z ktorého je: 1) Koncepcia je produktom vysoko organizovanej hmoty; 2) Koncepcia odráža materiálny svet; 3) Koncept sa objavuje vo vedomí ako prostriedok na zovšeobecnenie; 4) Koncepcia znamená konkrétne ľudskú činnosť; 5) Tvorba koncepcie v vedomí osoby je neoddeliteľná od jeho výrazu rečou, záznamom alebo symbolom.

Ako vznikla koncepcia akéhokoľvek predmetu reality v našom vedomí?

Proces vytvorenia určitej koncepcie je postupný proces, v ktorom možno získať niekoľko po sebe nasledujúcich stupňov. Zvážte tento proces na najjednoduchšom príklade - tvorbu koncepcií detí o čísle 3.

1. V prvej fáze poznatkov sa deti zoznámia s rôznymi špecifickými súbormi, zatiaľ čo predmety sa používajú a rôzne súbory troch prvkov sú preukázané (tri jablká, tri knihy, tri ceruzky atď.). Deti nielenže vidia každú z týchto súborov, ale môžu sa narodiť aj (dotyk) tie objekty, z ktorých tieto súbory spočívajú. Tento proces "Vision" vytvára v mysli dieťaťa osobitnú formu reflexie reálnej reality, ktorá sa nazýva vnímanie (pocit).

2. Odstránime objekty (objekty), ktoré predstavujú každú súpravu a ponúkame deti, aby zistili, či je niečo spoločné charakterizujúce každú sadu. V vedomie detí by sa mal zachytiť počet položiek v každom množstve, skutočnosť, že všade boli "tri". Ak áno, potom v mysliach detí bol vytvorený nový formulár - myšlienka čísla "tri".

3. V ďalšom štádiu, na základe mentálneho experimentu, by deti mali vidieť, že majetok vyjadrený v Slovom "Tri" charakterizuje akýkoľvek súbor rôznych prvkov formulára (A; B; C). Tam bude významný všeobecná vlastnosť Takéto sady - "Majú tri prvky." Teraz môžeme povedať, že v mysliach detí koncepcia čísla 3.

Koncepcia - Toto je osobitná forma myslenia, ktorá odráža základné (rozlišovacie) vlastnosti objektov alebo predmetov štúdia.

Jazyková forma koncepcie je slovo alebo skupina slov. Napríklad, "trojuholník", "číslo tri", "bod", "rovný", "aoseleový trojuholník", "rastlina", "ihličnatý strom", "rieka Yenisei", "Tabuľka" atď.

Matematické koncepty majú množstvo funkcií. Hlavnou vecou je, že matematické objekty, ktoré musia byť koncept neexistujú v skutočnosti. Matematické objekty sú vytvorené mysľou osoby. Toto sú ideálne objekty odrážajúce skutočné objekty alebo javy. Napríklad, v geometrii študovať tvar a veľkosť objektov, bez toho, aby sa zohľadnili ostatné vlastnosti: farba, hmotnosť, tvrdosť atď. Zo všetkého je rozptyľované, abstrakty. Preto v geometrii namiesto slova "predmet" hovoria "geometrické číslo". Výsledkom abstrakcie je matematické koncepty ako "číslo" a "hodnota".

Základné charakteristiky ktokoľvek koncepty sú Ďalšie: 1) objem; 2) obsah; 3) vzťah medzi koncepciami.

Keď hovoria o matematickom koncepte, zvyčajne znamenajú celú sadu (Set) objektov označených jedným termínom (slovo alebo skupina slov). Takže, hovoriť o námestí, znamenajú všetky geometrické tvary, ktoré sú štvorcami. Predpokladá sa, že sada všetkých štvorcov je rozsah konceptu "námestia".

Rozsah konceptu Existuje mnoho objektov alebo položiek, na ktoré sa vzťahuje tento koncept.

Napríklad, 1) Rozsah koncepcie "paralelníkov" je množina takýchto štvorkoliek, ako skutočný paralelník, kosoštvorca, obdĺžniky a štvorce; 2) Rozsah koncepcie "jednoznačného prirodzeného čísla" bude set - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Akýkoľvek matematický objekt má určité vlastnosti. Napríklad, námestie má štyri strany, štyri rovné rohy rovnajúce sa diagonálnemu, uhlopriečku priesečníka je rozdelená do polovice. Môžete tiež zadať ďalšie vlastnosti, ale medzi vlastnosťami objektu rozlišovať významné (výrazné) a nevýznamný.

Nehnuteľnosť sa volá základný (rozlišovacia) pre predmet, ak je v tomto objekte neoddeliteľný a bez nej nemôže existovať; Nehnuteľnosť sa volá irelevantný Pre objekt, ak to môže existovať bez neho.

Napríklad pre štvorcové sú všetky vyššie uvedené vlastnosti nevyhnutné. "Ad Horizontálna strana" bude nevýznamná pre námestie AVD (obr. 1). Ak otočíte tento námestie, potom bude reklama zvislá.

Zvážte príklad pre predškolákov pomocou vizuálneho materiálu (obr. 2):

Popíšte obrázok.

Malý čierny trojuholník. Obr. 2.

Veľký biely trojuholník.

Aké sú obrázky?

Aké sú čísla odlišné?

Farba, veľkosť.

Aký je trojuholník?

3 strany, 3 rohy.

Takže deti zisťujú základné a nevýznamné vlastnosti konceptu "trojuholníka". Základné vlastnosti - "majú tri strany a tri uhol", nevýznamné vlastnosti - farba a veľkosti.

Kombinácia všetkých základných (rozlišovacích) vlastností objektu alebo subjektu, ktorý sa odráža v tomto koncepcii koncepčný obsah .

Napríklad, pre koncepciu "paralelníky", súboru vlastností: má štyri strany, má štyri strany, má štyri uhol, sú rovnobežné, opačné strany sú rovnaké, opačné uhly sú rovnaké, protiľahlé uhly sú rovnaké ako diagonálne v priesečníku sú rozdelené polovica.

Existuje spojenie medzi rozsahom koncepcie a jej obsahu: ak sa zvyšuje rozsah koncepcie, jeho obsah sa znižuje a naopak. Tak napríklad rozsah koncepcie "zvýšeného trojuholníka" je súčasťou koncepcie koncepcie "trojuholníka" a v obsahu konceptu "rovný trojuholník" zahŕňa viac vlastností ako koncepcia konceptu "trojuholníka", pretože Rovnako predsedajúci trojuholník má nielen všetky vlastnosti trojuholníka, ale aj iné, prirodzené v rovnomerne realizovateľných trojuholníkov ("dve strany sú rovnaké", "dve rohy sú rovnaké," dve mediány sú rovnaké, atď.).

Objemové, koncepty sú rozdelené do single, Commona Kategórie.

Koncepcia, ktorej množstvo je 1, nazvaná jediný koncept .

Napríklad koncepty: "River Yenisei", "Tuva", "mesto Moskva".

Koncepty, ktorých objem je väčší ako 1 spoločný .

Napríklad koncepty: "mesto", "rieka", "kvadrilaterálne", "číslo", "polygón", "rovnica".

V procese štúdia nadácií akejkoľvek vedy u detí sú vytvorené najmä všeobecné koncepty. Napríklad v primárnych triedach sa študenti oboznámili s takýmito koncepciami ako "obrázok", "číslo", "jednoznačné čísla", "dvojciferné čísla", "viacúčelové čísla", "frakcia", "Share", " Pridanie "," spoločnosť "," množstvo "," odčítanie "," odpočítané "," zmenšené "," rozdiel "," multiplikácie "," multiplikátor "," práca "," Divízia "," DIVISIBLE "," DIVIDERNER " , "Súkromné", "Ball», "valec", "kužeľ", "CUBE", "ParaligalePiped", "pyramída", "roh", "TRIANGLE", "QUADRANGLE", "Square", "obdĺžnik", " Polygón "," kruh "," kruh "," krivka "," lochen "," strih "," dĺžka rezu "," svetlo "," priame "," bod "," dĺžka "," šírka "," výška " "," Obvod "," obrázok námestie "," zväzok "," čas "," rýchlosť "," hmotnosť "," cena "," náklady "a mnoho ďalších. Všetky tieto koncepty sú bežné koncepty.

Veda, veľkosť učenia, kvantitatívne vzťahy a priestorové formuláre

Prvé písmeno "M"

Druhé písmeno "A"

Tretie písmeno "t"

Posledný bukový list "A"

Odpoveď na otázku "Veda, štúdium hodnôt, kvantitatívne vzťahy a priestorové formuláre", 10 písmen:
matematika

Alternatívne otázky v krížovkách pre matematiku

Zástupca tejto vedy si kúpil Nobelovu nevestou, a preto pre úspech v nobelovej cene nedávajú

"Veža" v polytechnickom programe

Presná veda, veľkosť učenia, kvantitatívne vzťahy a priestorové formuláre

Veda hodnôt, kvantitatívne vzťahy, priestorové formuláre

To bolo tento predmet, ktorý som učil v škole "Drahý Elena Sergeevna", ktorú vykonáva Marina Nelaova

Stanovenie slovnej matematiky v slovníkoch

Vysvetliteľný slovník živých ruských, dal vladimir Význam slova v slovníku vysvetľujúci slovník živých veľkých ruština, dal vladimir
g. Veda hodnôt a množstiev; Všetko, čo možno vyjadriť digitálne patrí do matematiky. - čistý, zaoberajúci sa hodnotami abstraktu; - aplikované, prvá obchoduje s predmetom. Matematika je rozdelená na aritmetiku a geometriu, prvý má ...

Wikipédia Význam slova v slovníku Wikipedia
Matematika (

Veľká sovietska encyklopédia Význam slova v slovníku Big Soviet Encyklopédia
I. Stanovenie predmetu matematiky, spojenie s inými vedami a technológiou. Matematika (Grécka. MathemaTike, z Máthema ≈ vedomostí, vedy), vedy kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem platného sveta. "Čistá matematika má svoj vlastný objekt ...

Nový slovník pre inteligentný slovník ruského jazyka, T. F. Efremova. Význam slova v slovníku je nový inteligentný slovník-formačný slovník ruského jazyka, T. F. Efremova.
g. Vedecká disciplína o priestorových formách a kvantitatívnych vzťahoch skutočného sveta. Návod teoretický základ Táto vedecká disciplína. . Učebnica, ktorá stanovuje obsah tohto vzdelávacieho predmetu. . . Presné, ...

Príklady používania slova matematiky v literatúre.

Po prvé, Trediakovsky chránený Vasily Adadurov - matematik, študent Veľkého Jacob Bernoulli, a pre túto obozretnosť, básnik vedec vo francúzštine.

Obvyklý matematik Adadurov, mechanik LadyZhensky, architekt Ivan prázdny, klasizoval na svetle prívesov v rôznych doskách, lekárov a záhradkárov, dôstojníkov armády a flotily.

Za dlhým lešteným stolom orechov sedeli v stoličkách dva: Axel Brigs a matematik Brodsky, Koho som sa naučil na mocnom Soctatánskom Lysine.

Pontriryagin, ktorého sa vytvorila nová časť matematika - Topologická algebra, - štúdium rôznych algebraických štruktúr obdaných topológiou.

Všimli sme tiež pri prechode, že epocha, opísal nás, svedkom o rozvoji algebry, relatívne abstraktné oddelenie matematikaProstredníctvom spojenia menej abstraktných oddelení, geometrie a aritmetiky, je fakt, ktorý dokázal najstarší z prejavov algebry, pol algebraických, polovičných geometrických.

Idealizované vlastnosti predmetov pod štúdiou sú buď formulované vo forme axiómov, alebo sú uvedené v definícii príslušných matematických objektov. Potom sa z týchto vlastností zobrazujú prísne pravdivé vlastnosti (teoremy) iné pravdivé vlastnosti (teoremy). Táto teória v agregáte tvorí matematický model študijného objektu. Pôvodne založené na priestorových a kvantitatívnych vzťahoch, matematika dostáva viac abstraktné pomery, ktorého štúdia je tiež predmetom modernej matematiky.

Tradične je matematika rozdelená na teoretickú, ktorá vykonáva hĺbkovú analýzu intramathamatických štruktúr a aplikuje svoje modely iným vedám a inžinierske disciplíny a niektoré z nich zaberajú hranicu s matematikou. Formálna logika možno považovať za časť filozofické vedya ako súčasť matematických vied; Mechanika - fyzika a matematika; Počítačová veda, počítačové technológie a algoritmus sú inžinierske a matematické vedy, atď. V literatúre bolo navrhnutých mnoho rôznych definícií matematiky.

Etymológia

Slovo "matematika" sa vyskytla od Dr. Grécka. άάθημα, čo znamená študovať, znalosť, vedaa iné gréčie. μαθηματικός, pôvodne význam náchylné, úspešné Neskôr zacielenýNásledne matematický. Najmä, \\ t μαθηματικὴ τέχνη , Latinčina ars matematica.prostriedok umenie matematiky. Termín Dr.-Greek. ᾰᾰθημᾰτικά B. moderný význam Toto slovo "matematika" sa už nachádza v spisoch Aristotle (IV Century Bc. ER). Podľa Fasmere v ruskom jazyku sa slovo prišlo buď poľsky. Matematyka, buď cez lat. Matematica.

Definície

Jedna z prvých definícií predmetu matematiky dal descartes:

Oblasť matematiky zahŕňa iba tie vedy, v ktorých sa uvažuje o objednávke alebo miere, a nebudú úplne významné, či tieto čísla, čísla, hviezdy, zvuky alebo niečo iné nájde toto opatrenie. Musí existovať určitá celková veda, vysvetliť všetky súvisiace s postupom a najmenej, bez vstupu do štúdie o všetkých súkromných predmetoch, a táto veda by sa mala volať cudzí, ale starý, ktorý už zaradil do používania univerzálnej matematiky.

Essence matematiky ... Zdá sa, že teraz ako doktrína vzťahov medzi objektmi, ktoré nie sú známe, okrem toho, že ich opisujú niektoré vlastnosti, sú presne tí, ktorí sú ako Axiom v základni teórie ... Matematika je súbor abstraktných foriem - matematických štruktúr.

Časť matematiky

1. Matematika ako akademická disciplína

Označenie

Keďže matematika pracuje s extrémne rôznorodými a pomerne zložitými štruktúrami, systém označení v IT je tiež veľmi zložitý. Moderný systém nahrávacích vzorcov bol vytvorený na základe európskej algebraickej tradície, ako aj potreby neskorších častí matematiky - matematická analýza, matematická logika, teória sady atď. Geometria storočia, použitý vizuál ( geometrické) reprezentácia. V modernej matematike sú tiež bežné komplexné grafické záznamy o záznamových systémoch (napríklad spínacie grafy), indikácie na základe grafov sa tiež používajú.

Krátky príbeh

Filozofia matematiky

Ciele a metódy

Priestoru R N (Displaystyle MathBB (R) ^ (n))P. N\u003e 3 (Displaystyle N\u003e 3) Je to matematická fikcia. Avšak, veľmi brilantná fikcia, ktorá pomáha matematicky pochopiť komplexné javy».

Základ

Intuícia

Konštruktívna matematika

objasniť

Hlavné témy

číslo

Hlavná časť vzhľadom na abstrakciu počtu algebry. Koncepcia "čísla" pôvodne pochádzala z aritmetických reprezentácií a súvisí s prírodnými číslami. V budúcnosti sa s pomocou algebry postupne distribuovalo celé číslo, racionálne, platné, komplexné a iné čísla.

1, - 1, 1 2, 2, 3, 0, 12, ... (Displaystyle 1, - 1, "Frac (1) (2)), (\\ frac (2) (3)), 0 (,) 12, \\ _ \\ t Racionálne čísla 1, - 1, 1 2, 0, 12, π, 2, ... (Displaystyle 1, - 1, \\ t (\\ _ (1) (2)), \\ t \\; pi, (2)), \\ fortots) Reálne čísla - 1, 1, 1 2, 0, 12, π, 3 I + 2, EI π / 3, ... (Displaystyle -1, (frac (1) (2)), \\ _ (,) 12, \\ t PI, 3i + 2, e ^ (i pi / 3), \\ _ \\ t 1, I, J, K, π J - 1 2 K, ... (Displaystyle 1, I, J, J, K, "PI J - (\\ frac (1) (2) ) k, dots) Komplexné čísla Kvartérne

Konverzia

Fenomény transformácií a zmien vo všeobecnej forme považuje analýzu.

Štruktúry

Priestorové vzťahy

Základy priestorových vzťahov považuje geometriu. Trigonometria považuje vlastnosti trigonometrických funkcií. Štúdia geometrických objektov prostredníctvom matematickej analýzy sa zaoberá diferenciálnou geometriou. Vlastnosti priestorov zostávajúcich nezmenených s kontinuálnymi deformáciami a samotným fenoménom kontinuity sa študujú topológiu.

Diskrétna matematika

∀ x (p (x) ⇒ p (x ')) (Displaystyle Forall X (P (X) RightROW P (X ")))

Matematika na dlhú dobu vznikla. Muž zhromaždený ovocie, kopanie ovocia, chytil ryby a dosiahol to všetko na zimu. Pochopiť, koľko potravín je muž vynájdený účet. Tak sa začali objavovať matematiku.

Potom sa muž začal angažovať do poľnohospodárstva. Bolo potrebné merať pozemky, vybudovať bývanie, čas merania.

To znamená, že osoba bola potrebná na použitie kvantitatívneho vzťahu reálneho sveta. Určite, koľko zmontovaných zberu, aké sú veľkosti staveniska alebo ako veľká časť oblohy, na ktorej určitý počet svetlých hviezd.

Okrem toho, osoba začala definovať formuláre: Slnko kolo, box je štvorcový, jazero oválne, a ako sa tieto položky nachádzajú v priestore. To znamená, že osoba sa zaujíma o priestorové formy reálneho sveta.

Koncept teda matematika Môžete definovať ako vedu o kvantitatívnych vzťahoch a priestorových formách reálneho sveta.

V súčasnosti nie je jediná profesia, kde by bolo možné robiť bez matematiky. Slávny nemecký matematik Karl Friedrich Gauss, ktorý sa nazýval "kráľ matematiky" nejako povedal:

"Matematika - kráľovná vedy, aritmetika - kráľovná matematiky."

Slovo "aritmetika" pochádza z gréckeho slova "Arithmos" - "číslo".

Touto cestou, aritmetika Toto je časť matematiky učenia čísel a akcií na nich.

V základnej škole, predovšetkým učiť aritmetiku.

Ako rozvíjať túto vedu, preskúmme túto otázku.

Obdobia vzniku matematiky

Hlavným obdobím akumulácie matematických poznatkov je čas do cieľa v storočí našej éry.

Prvý, kto začal dokázať matematické ustanovenia - staroveký gréckym mysliteľom, ktorý žil v BC VII Century, je pravdepodobne 625 - 545. Tento filozof cestoval cez krajiny východu. Tradície hovoria, že študoval z egyptských kňazov a babylonských chaldeys.

Falez Miletsky priniesol z Egypta do Grécka prvých konceptov základnej geometrie: Aký priemer je to, čo je trojuholník určený a tak ďalej. Predpovedal Solárne zatmenie, inžinierske konštrukcie navrhnuté.

Počas tohto obdobia sa aritmetika postupne zloží, astronómia sa vyvíja, geometria. Algebra a trigonometria sa objavujú.

Obdobie základnej matematiky

Toto obdobie začína VI do našej éry. Teraz vystáva matematika ako veda s teóriami a dôkazmi. Zdá sa, že teória čísel, doktríny, o ich rozmere.

Najslávnejší matematik tohto času je euclide. Žil v BC III. Tento muž je autorom prvej z teoretickejšieho zaobchádzania v matematike, ktorá prišla k nám.

V dielach EUCLIDEA sú nadácie uvedené, tzv. Euklidovská geometria sú axiómy, spočívajúc na základných pojmoch, ako je.

Počas základnej matematiky sa narodí teória čísiel, ako aj doktrína hodnôt a merania. Negatívne a iracionálne čísla sa objavujú prvýkrát.

Na konci tohto obdobia sa pozoruje vytváranie algebry ako abecedný kalkul. Veda "Algebra" sa objavuje v Araboch, ako veda o riešení rovníc. Slovo "Algebra" preložená z arabských prostriedkov znamená "zotavenie", to znamená, že prevod záporných hodnôt do inej časti rovnice.

Obdobie premenných matematiky

Zakladateľ tohto obdobia sa považuje za reľový descartes, ktorý žil v XVII storočia našej éry. Vo svojich spisoch, dekorácie najprv predstavuje koncepciu variabilnej hodnoty.

Vzhľadom k tomu vedci prenesú zo štúdie o konštantných hodnotách štúdiu závislostí medzi premennými a na matematický popis Pohyb.

Toto obdobie bolo charakterizované Frederick Engels, napísal vo svojich spisoch:

"Otočné miesto v matematike bolo dekartovanou premennou. Vďaka tomu matematika vstúpila do matematiky, a tým aj dialektikum a kvôli tomu, že sa stal nevyhnutným pre diferenciálny a integrálny počet, ktorý okamžite vzniká, a ktorý bol všeobecne dokončený, a nebol vynájdený spoločnosťou Newton a Leibnian. "

Obdobie modernej matematiky

Za 20 rokov storočia XIX sa Nikolai Ivanovich Lobachevsky stáva zakladateľom, tzv. Non-detská geometria.

Od tej chvíle začína rozvoj najdôležitejších častí modernej matematiky. Teória pravdepodobnosti, teórie sady, matematické štatistiky, a tak ďalej.

Všetky tieto objavy a výskum nájdu rozsiahle použitie v rôznych oblastiach vedy.

A v súčasnosti, vedecká matematika rýchlo rastie, predmet matematiky, vrátane nových foriem a vzťahov, sú preukázané novými temami, hlavnými konceptmi sa prehĺbejú.

Idealizované vlastnosti predmetov pod štúdiou sú buď formulované vo forme axiómov, alebo sú uvedené v definícii príslušných matematických objektov. Potom sa z týchto vlastností zobrazujú prísne pravdivé vlastnosti (teoremy) iné pravdivé vlastnosti (teoremy). Táto teória v agregáte tvorí matematický model študijného objektu. Spočiatku, na základe priestorových a kvantitatívnych vzťahov, matematika dostáva viac abstraktné pomery, ktorej štúdia je tiež predmetom modernej matematiky.

Tradične je matematika rozdelená na teoretickú, ktorá vykonáva hĺbkovú analýzu intramathamatických štruktúr a aplikuje svoje modely iným vedám a inžinierske disciplíny a niektoré z nich zaberajú hranicu s matematikou. Formálna logika môže byť tiež považovaná za súčasť filozofických vedy, a ako súčasť matematických vied; Mechanika - fyzika a matematika; Informatika, počítačové technológie a algoritmus súvisia s inžinierskymi a matematickými vedami atď. V literatúre bolo navrhnutých mnoho rôznych definícií matematiky (pozri).

Etymológia

Slovo "matematika" sa vyskytla od Dr. Grécka. άάάθημα ( máthēma.), čo znamená študovať, znalosť, vedaa iné gréčie. μαθηματικός ( mathēmatikós.), pôvodne význam náchylné, úspešné Neskôr zacielenýNásledne matematický. Najmä, \\ t μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē.), v latinčine ars matematica.prostriedok umenie matematiky.

Definície

Oblasť matematiky zahŕňa iba tie vedy, v ktorých buď poriadok alebo meranie a absolútne nie v podstate, budú tieto čísla, postavy, hviezdy, zvuky, alebo niečo iné, čo sa nachádza toto opatrenie. Musí existovať určitá celková veda, vysvetliť všetky súvisiace s postupom a najmenej, bez vstupu do štúdie o všetkých súkromných predmetoch, a táto veda by sa mala volať cudzí, ale starý, ktorý už zaradil do používania univerzálnej matematiky.

V sovietskych časoch sa definícia BSE považovala za klasicky, A. N. Kolmogorov:

Matematika ... Veda kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem platného sveta.

Essence matematiky ... Zdá sa, že teraz ako doktrína vzťahov medzi objektmi, ktoré nie sú známe, okrem toho, že ich opisujú niektoré vlastnosti, sú presne tí, ktorí sú ako Axiom v základni teórie ... Matematika je súbor abstraktných foriem - matematických štruktúr.

Dávame niekoľko moderných definícií.

Moderná teoretická ("net") matematika je veda matematických štruktúr, matematických invariantov rôznych systémov a procesov.

Matematika - veda, ktorá poskytuje schopnosť vypočítať modely uvedené na štandardnú (kanonickú) myseľ. Veda o hľadaní riešení analytických modelov (analýza) pomocou formálnych transformácií.

Časť matematiky

1. Matematika ako akademická disciplína Je rozdelená do Ruskej federácie na základnú matematiku študovanú na strednej škole a tvorili disciplíny:

• základná geometria: planimetria a stereometria
• teória elementárnych funkcií a analytických prvkov

4. Americká matematická spoločnosť (AMS) vyvinula svoj štandard pre klasifikáciu matematických sekcií. Nazýva sa klasifikácia s matematikou. Tento štandard je pravidelne aktualizovaný. Aktuálna verzia je MSC 2010. Predchádzajúca verzia - MSC 2000.

Označenie

Vzhľadom k tomu, že matematika funguje s extrémne rôznorodými a pomerne zložitými štruktúrami, systém označenia je tiež veľmi zložitý. Moderný systém nahrávania vzorca bol vytvorený na základe európskej algebraickej tradície, ako aj matematickej analýzy (koncepcia funkcie, derivát atď.). Geometry Vplyv storočia si užil vizuálne (geometrické) reprezentáciu. V modernej matematike sú tiež bežné komplexné grafické záznamy o záznamových systémoch (napríklad spínacie grafy), indikácie na základe grafov sa tiež používajú.

Krátky príbeh

Vývoj matematiky je založený na písaní a schopnosti nahrávať čísla. Pravdepodobne starí ľudia najprv vyjadrili sumu kreslením obilnín na Zemi alebo ich poškriabali na drevo. Staroveké incs, ktoré majú iný systém písania, reprezentovaný a udržiaval numerické údaje pomocou komplexného systému lanových uzlov, tzv. KIP. Tam bolo veľa rôznych číselných systémov. Prvé známe záznamy o číslach boli nájdené v Akhmes Papyrus vytvorených Egypťanmi Stredného kráľovstva. India Civilizácia sa vyvinula moderná desatinný systém Číslo vrátane nulovej koncepcie.

Historicky sa základné matematické disciplíny objavili pod vplyvom potreby vykonávať výpočty v obchodnej sfére pri meraní pôdy a na predpovedanie astronomických javov a neskôr vyriešiť nové fyzické problémy. Každá z týchto oblastí zohráva veľkú úlohu v širokom rozvoji matematiky, ktorá spočíva v štúdiu štruktúr, medzier a zmien.

Filozofia matematiky

Ciele a metódy

Matematické štúdie imaginárne, ideálne objekty a pomery medzi nimi pomocou formálneho jazyka. Všeobecne platí, že matematické koncepty a teoremy nemusia nevyhnutne spĺňať nič vo fyzickom svete. Hlavnou úlohou aplikovanej časti matematiky je vytvoriť matematický model, pomerne primeraný na skutočný predmet podľa štúdia. Úloha matematiky-temity - poskytnúť dostatočný súbor pohodlných prostriedkov na dosiahnutie tohto cieľa.

Obsah matematiky možno definovať ako systém matematických modelov a nástrojov pre ich stvorenie. Model objektu berie do úvahy nie všetky jeho vlastnosti, ale len na účely štúdia (idealizované). Napríklad, študovať fyzikálne vlastnosti oranžovej, môžeme abstraktné z jeho farby a chuť a prezentovať (aj keď nie dokonale určite) loptu. Ak potrebujeme pochopiť, koľko pomarančov sa ukáže, ak by sme sa spojili dvaja a tri, potom si môžete abstraktné a z formy, takže model len jednu charakteristiku - suma. Abstrakcia a zriadenie väzieb medzi objektmi v najširšej forme je jedným z hlavných smerov matematickej tvorivosti.

Ďalším smerom spolu s abstrakciou - zovšeobecnenie. Napríklad, sumarizujúce koncepciu "priestoru" do miesta N-merania. " Space, s matematickou fikciou. Avšak, veľmi brilantná fikcia, ktorá pomáha matematicky pochopiť komplexné javy».

Štúdium intramatematických objektov, spravidla vyskytuje pomocou axiomatickej metódy: Po prvé, zoznam základných konceptov a axiómov sú formulované pre predmety pod štúdiu, a potom sa teoremy obsahujú z axiom výstupných pravidiel, v agregáte tvoriaci matematický model.

Základ

Otázka podstaty a dôvodov matematiky sa diskutovalo z času PLATO. Od 20. storočia existuje komparatívna dohoda o tejto záležitosti, ktorá by sa mala považovať za prísny matematický dôkaz, ale neexistuje žiadny súhlas s pochopením, že v matematike je pôvodne pravda. Odtiaľ vznikajú nezhody v otázkach axiómov a vzťahu priemyselných odvetví matematiky a pri výbere logických systémov, ktoré by sa mali používať v dôkazoch.

Okrem skeptických sú známe tieto prístupy k tomuto problému.

Viacnásobný prístup

Navrhuje sa zvážiť všetky matematické objekty v rámci teórie sady, najčastejšie s axiomatickou cermelo - Frankel (aj keď existuje mnoho ďalších ekvivalentných). Tento prístup sa posudzuje od polovice 20. storočia prevládajúcim, ale v skutočnosti väčšina matematických prác nestanovujú úlohy, aby preložili svoje vyhlásenia striktne do jazyka teórie súborov, ale pôsobia s koncepciami a faktami stanovenými v niektorých oblastiach matematiky. Ak sa teda zistí rozpor v teórii súborov, neovplyvní to znehodnotenie väčšiny výsledkov.

Logikizmus

Tento prístup znamená prísne písanie matematických objektov. Mnohé paradoxy vyhýbajú sa v teórii súborov len špeciálnymi trikmi sú v zásade nemožné.

Formalizmus

Tento prístup zahŕňa štúdium formálnych systémov založených na klasickej logike.

Intuícia

Intuitionizmus naznačuje intuicionistickú logiku na základni matematiky, obmedzenejšia, dôkazy (ale, ako sa považuje za spoľahlivejšie). Intuícia odmieta dôkaz o opaku, mnohé nekonštruktívne dôkazy sa stáva nemožným, a mnohé problémy teórie sady sú bezvýznamné (informalizačné).

Konštruktívna matematika

Konštruktívna matematika - v blízkosti intuícia v matematike, študuje štruktúrne konštrukcie [ objasniť]. Podľa kritéria konštruktivity - " existujú - to znamená byť postavený" Konštrukčné kritériá - silnejší dopyt ako kritérium konzistentnosti.

Hlavné témy

Čísla

Pojem "číslo" bol pôvodne spojený s prírodnými číslami. V budúcnosti sa postupne distribuovalo na celé číslo, racionálne, reálne, zložité a iné čísla.

Celé čísla Racionálne čísla Reálne čísla Komplexné čísla Kvartérne

Číselné systémy
Účtovníctvo Nasadiť sa	Prírodné čísla () celé () racionálne () algebraické () periódy vypočtovateľný aritmetický
Reálne čísla A ich rozšírenie	Skutočné () komplexné () kvartérne () CALI ČÍSLA (OCTAVES, OCTONIONS) () Sedenia () KONTROLA CALI - Dixon Dual HyperComplexné superreálne hyperálne surrealistické číslo () angličtina)
Iní Číselné systémy	Kartinálne čísla Obnovité čísla (transfinit, ordinal) p-adic nadprirodzené čísla
pozri tiež	Dvojité čísla Iracionálne čísla Transcendentálny numerický lúč bikwaternion

Konverzia

Diskrétna matematika

Kódy v systémoch klasifikácie vedomostí

Online služby

Existuje veľký počet stránok poskytujúcich služby pre matematické výpočty. Väčšina z nich je anglicky hovoria. Z rusovho rozprávania si môžete všimnúť službu matematických dotazov vyhľadávacieho nástroja NIGMA.

pozri tiež

Popularizers of Science

Poznámky

1. Encyklopédia Britannica.
2. Webster je online slovník
3. Kapitola 2. Matematika ako jazyk vedy. Sibírsky otvorená univerzita. Archivovaný z pôvodného zdroja 2. februára 2012. Skontroloval 5. október 2010.
4. Veľký staroveký grécky slovník (αω)
5. Slovník ruského jazyka XI-XVII stáročia. Vydanie 9 / CH. ed. F. P. Filín. - M.: Veda, 1982. - P. 41.
6. Descartes r. Pravidlá pre vedenie mysle. M.-L.: SOCHEKGISIS, 1936.
7. Pozri: Matematika BSE
8. Marx K., Engels F. Tvorba. 2. ed. T. 20. P. 37.
9. Burbaki N. Architektúra matematiky. Eseje o histórii matematiky / prekladu I. G. BASHMAKOVA ED. K. A. RYBNIKOVA. M.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Kaziev V. M. Úvod do matematiky
11. Mukhin O. I. Výcvikový manuál modelovania systému. Perm: RZI PSTU.
12. Herman // Klein M. . - m.: MiR, 1984. - Strojár.
13. Štát vzdelávací štandard Vyššie odborné vzdelávanie. Špeciálna 01.01.00. "Matematika". Kvalifikácia - matematik. Moskva, 2000 (zostavená pod vedením O. B. LUPANOVA)
14. Nomenklatúra špecialít vedcov, schválených uznesením ministerstva školstva a vedy Ruska z 25. februára 2009 č. 59
15. UDC 51 Matematika
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie. M.: Nauka, 1988. P. 44.
17. N. I. KONDAKOV. Logický slovník-adresár. M.: Science, 1975. P. 259.
18. G. I. RUZAVIN. O prírode matematické znalosti. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Napríklad: http://mathworld.wolfram.com.

Literatúra

Encyklopédia

• // encyklopédový slovník Brockhaus a Efron: v 86 zväzkoch (82 ton a 4 extra). - St. Petersburg. , 1890-1907.
• Matematická encyklopédia (v 5 zväzkoch), 1980. // Všeobecné a špeciálne referenčné knihy v matematike na EQWORLD
• KONDAKOV N. I. Logický slovník-adresár. M.: Veda, 1975.
• Encyklopédia matematických vied a ich aplikácií (IT) 1899-1934. (Najväčšia prehľad literatúry XIX storočia)

Adresárov

• Korn, T. Corn. Matematika Referencia pre vedcov a inžinierov M., 1973

Knihy

• Klein M. Matematiky. Strata istoty. - m.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematiky. Hľadať pravdu. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Základná matematika z hľadiska najvyššej.

• Tom I. Aritmetika. Algebra. Analýza M.: Veda, 1987. 432 p.
• Objem II. Geometria M.: Veda, 1987. 416 p.

• Kuralt R., G. Robbins. Čo je matematika? 3-e ed., ACT. a pridať. - m.: 2001. 568 p.
• Pisarevsky B. M., Kharin V. T. O matematike, matematikoch a nielen. - M.: Binom. Laboratórium vedomostí, 2012. - 302 p.
• POINGARE A. Veda a metóda (RUS) (Fr.)

Matematika je jedným z najstarších vedy. Dať rýchla definícia Matematika nie je vôbec, jeho obsah sa bude veľmi líšiť v závislosti od úrovne ľudského matematického vzdelávania. Školák primárne triedyZačíname študovať aritmetiku, hovorí, že matematika študuje pravidlá počítania položiek. A bude správny, pretože je to s tým, že sa splní najprv. Staršie školákov Pridať do toho, čo bolo povedané, že koncepcia matematiky zahŕňa algebru a štúdium geometrických objektov: riadky, ich križovatky, ploché postavy, geometrické telesá, rôzne transformácie. Absolventi tej istej strednej školy budú zahrnuté do definície matematiky, aby stále študovali funkcie a činnosť prechodu na limit, ako aj koncepcie derivátu a integrálu s ním spojeným. Absolventi vyšších technických vzdelávacie inštitúcie Alebo prírodné vedecké zariadenia univerzít a pedagogických inštitúcií už nebudú uspokojiť školské definície, pretože vedia, že zloženie matematiky zahŕňa iné disciplíny: teória pravdepodobnosti, matematické štatistiky, diferenciálne počítadlácie, programovanie, výpočtové metódy, ako aj aplikácie týchto disciplín Modelovanie výrobných procesov, spracovanie skúsených údajov, prenosu a spracovania informácií. Skutočnosť, že je uvedená, obsah matematiky nie je vyčerpaná. Teória sady, matematickú logiku, optimálnu kontrolu, teóriu náhodných procesov a oveľa viac zahrnutá do jeho zloženia.

Pokusy o identifikáciu matematiky prevodom komponentov svojich pobočiek bude viesť k nám, pretože neposkytujú myšlienky, že matematika študujú a aký je jej postoj k svetu okolo nás. Ak takáto otázka bola nastavená na fyziku, biológ alebo astronóm, potom by každý z nich poskytol veľmi krátku odpoveď, ktorá neobsahuje zoznam častí, z ktorých veda študovala. Takáto odpoveď by obsahovala označenie javov prírody, ktoré skúma. Napríklad biológ by povedal, že biológia študuje rôzne prejavy života. Nech je táto odpoveď úplne dokončená, pretože nehovorí, že takýto život a životné javy sú, ale však takáto definícia by dala pomerne úplný obraz o obsahu vedy biológie a o rôznych úrovniach tejto vedy. A táto definícia by sa nezmenila s rozšírením našich vedomostí biológie.

Neexistujú žiadne takéto javy prírody, technických alebo sociálnych procesov, ktoré by boli predmetom štúdia matematiky, ale netýkali sa na javy fyzickej, biologickej, chemickej, inžinierskej alebo sociálnej. Každá prírodná vedecká disciplína: biológia a fyzika, chémia a psychológia - je určená materiálnou vlastnosťou jeho predmetu, špecifické vlastnosti regiónu reálneho sveta, ktorý štúdie. Objekt alebo fenomén je možné študovať rôznymi metódami, vrátane matematických, ale, meniace sa metódy, stále zostávame v rámci limitov tejto disciplíny, pretože obsah tejto vedy je skutočným objektom, a nie metódou výskumu. Pre matematiku, materiál predmet výskumu nemá rozhodujúcu hodnotu, použitý spôsob je dôležitý. Napríklad, trigonometrické funkcie Môžete tiež použiť na štúdium oscilátora a určiť výšku neprístupnej položky. A aké javy v reálnom svete možno preskúmať pomocou matematickej metódy? Tieto javy nie sú určené ich materiálnym charakterom, ale výlučne formálnymi štruktúrnymi vlastnosťami a predovšetkýmmi kvantitatívnymi vzťahmi a priestorovými formami, v ktorých existujú.

Takže, matematické štúdie nie sú materiálne objekty, ale výskumné metódy a štrukturálne vlastnosti predmetu štúdie, ktoré vám umožňujú aplikovať niektoré operácie k nemu (sumácia, diferenciácia atď.). Avšak významná časť matematických problémov, konceptov a teórií má skutočné javy a procesy s jeho primárnym zdrojom. Napríklad aritmetika a teória čísel boli sprostredkované z primárnej praktickej úlohy - počítanie objektov. Základná geometria mala svoje zdroje problémy spojené s porovnaním vzdialeností, výpočet oblastí plochých figúr alebo priestorových telies. Toto všetko bolo potrebné nájsť, pretože bolo potrebné prerozdeliť pôda Medzi užívateľmi, vypočítajte veľkosť granárov alebo objem zemných prác počas výstavby obranných štruktúr.

Matematický výsledok má majetok, že sa nemôže použiť len pri štúdiu jediného konkrétneho fenoménu alebo procesu, ale aj použitie na štúdium iných javov, ktorých fyzická povaha je v podstate odlišná od predtým zváženia. Takže pravidlá aritmetiky platné v úlohách hospodárstva a v technických otázkach a pri riešení problémov poľnohospodárstvoa vo vedeckom výskume. Aritmetické pravidlá boli vyvinuté Miléniovým chrbtom, ale zachovali si aplikovanú hodnotu pre večné časy. Aritmetika je neoddeliteľnou súčasťou matematiky, jej tradičná časť už nie je predmetom tvorivého vývoja v rámci matematiky, ale nájde a bude naďalej nájsť mnohé nové aplikácie. Tieto žiadosti môžu mať veľký význam pre ľudstvo, ale samotný príspevok v matematike nebude vykonaný.

Matematika, ako kreatívna sila, je určená na rozvoj všeobecné pravidláktoré by sa mali používať v mnohých špeciálnych prípadoch. Ten, kto vytvára tieto pravidlá, vytvára nový, vytvára. Ten, kto aplikuje hotové pravidlá, už nie je vytváranie v samotnom matematike, ale je celkom možné, vytvára nové hodnoty s pomocou matematických pravidiel v iných oblastiach poznatkov. Napríklad, dnes, tieto údaje o dešifrovaní kampane, ako aj informácie o zložení a veku rockových, geochemických a geofyzikálnych anomálií sa spracovávajú pomocou počítačov. Niet pochýb o tom, že použitie počítača v geologických štúdiách ponecháva tieto štúdie geologickým. Zásady práce počítačov a ich matematická podpora boli navrhnuté bez zohľadnenia možnosti ich používania v záujme geologickej vedy. Táto vlastnosť sa určuje skutočnosťou, že štrukturálne vlastnosti geologických údajov sú v súlade s logikou určitých programov počítača.

Dve definície matematiky boli široko distribuované. Prvá z nich bola daná F. Engels v práci "Anti-Dühring", ďalšia - skupina francúzskych matematikov známych ako Nicola Burbaki, v článku "Architektúra matematiky" (1948).

"Čistá matematika má svoje vlastné objekt priestorové formy a kvantitatívne vzťahy reálneho sveta." Táto definícia nie je opísať nielen predmet štúdia matematiky, ale tiež označuje jeho pôvod - skutočný svet. Táto definícia F. Engels však významne odráža stav matematiky v druhej polovici XIX storočia. A neberie do úvahy tie svoje nové oblasti, ktoré priamo nesúvisia so žiadnymi kvantitatívnymi vzťahmi alebo geometrickými formami. To je najskôr matematická logika a disciplíny spojené s programovaním. Preto táto definícia potrebuje určité objasnenie. Možno by malo byť povedané, že matematika má svoj vlastný predmet študovať priestorové formy, kvantitatívne vzťahy a logické štruktúry.

Bombaki argumentuje, že "Jediné matematické objekty sa v skutočnosti stanú matematických štruktúr." Inými slovami, matematika by mala byť definovaná ako veda o matematických štruktúrach. Táto definícia je v podstate tautológia, pretože schvaľuje len jednu vec: matematika sa zaoberá týmito objektmi, ktoré štúdie. Ďalšou chybou tejto definície je, že nezistí vzťahu matematiky na svet okolo nás. Okrem toho Bombaki zdôrazňuje, že matematické štruktúry sú vytvorené bez ohľadu na skutočný svet a jeho javy. To je dôvod, prečo Bombaki bol nútený uviesť, že "Hlavný problém je vo vzťahu medzi svetom experimentálneho a svetového matematického. Skutočnosť, že existuje úzke spojenie medzi experimentálnymi javmi a matematickými štruktúrami - zdá sa, že objavy je celkom nečakane potvrdené. moderná fyzika, ale my sme úplne neznámy hlboké dôvody pre tento ... a možno ich nikdy nepoznáme. "

Z definície F. Engels, takýto neuspokojivý výstup nemôže nastať, pretože už poskytuje vyhlásenie, že matematické koncepty sú abstrakcie z niektorých vzťahov a foriem reálneho sveta. Tieto koncepty sú prevzaté z reálneho sveta a sú s ním spojené. V podstate je to práve preto, že pozoruhodná použiteľnosť matematiky vedie k fenoménom sveta okolo nás, a zároveň úspech procesu matematizácie vedomostí.

Matematika nie je výnimkou zo všetkých oblastí vedomostí - koncepcie vyplývajúce z praktických situácií a následných abstragmentov sa vytvárajú aj v ňom; Umožňuje vám tiež študovať realitu. Treba však mať na pamäti, že matematika štúdie nie sú skutočné svetové veci, ale abstraktné pojmy a že logické závery sú absolútne prísne a presné. Jeho prístup nie je vnútorný charakter, ale je spojený s prípravou matematického modelu fenoménu. Poznamenávame tiež, že pravidlá matematiky nemajú absolútnu uplatniteľnosť, pre nich existuje obmedzená oblasť aplikácie, kde dominujú, je to nerozdelené. Objasnime príklad vyjadreného príkladu: Ukazuje sa, že dvaja a dvaja nie sú vždy rovné štyroch. Je známe, že pri zmiešaní 2 litre alkoholu a 2 1 vody sa získa menej ako 4 litre zmesí. V tejto zmesi sú molekuly usporiadané kompaktné a objem zmesi je menší ako súčet zložiek objemu. Pravidlo aritmetiky je zlomené. Stále môžete uviesť príklady, v ktorých sú narušené ďalšie pravdy aritmetiky, napríklad pri pridávaní niektorých objektov, ukázalo sa, že suma závisí od poradia sumácie.

Mnoho matematikov považujú matematické koncepty, ktoré nie sú ako vytvorenie čistej mysle, ale ako abstrakcie z vlastne existujúce veci, javy, procesy alebo abstrakcie z už zavedených abstrakcií (abstrakcie vyšších zákaziek). V "Dialekátika prírody" F. Engels napísal, že "všetky takzvané čistej matematiky sa zaoberá abstrakmi ... Všetky jeho hodnoty, prísne povedané, imaginárne hodnoty ..." Tieto slová jasne odrážajú názor jedného Zo zakladateľov marxistickej filozofie o úlohe abstrakcií v matematike. Potrebujeme dodať, že všetky tieto "imaginárne hodnoty" sú prevzaté z reálnej reality a nie sú navrhnuté ľubovoľne, voľný let myslenia. To je, ako bol koncept čísla zahrnutý do univerzálneho používania. Najprv tieto boli čísla v jednotkách a navyše len celé kladné čísla. Potom skúsenosti z rozširovania arzenálu čísel až do desiatok a stovky. Myšlienka neobmedzenej oblasti celých čísel sa narodila už v historicky blízko k nám: archimedes v knihe "psamith" ("výpočet zŕn") ukázali, ako navrhnúť čísla ešte viac ako tie špecifikované. Zároveň sa z praktických potrieb narodil koncept frakčných čísel. Výpočty spojené s najjednoduchšími geometrickými údajmi viedli ľudskosť na nové čísla - iracionálne. Takže postupne bola vytvorená myšlienka množiny všetkých platných čísel.

Rovnaká cesta môže byť sledovaná pre akékoľvek iné koncepty matematiky. Všetky z nich vznikli praktické potreby a postupne sa vytvorili v abstraktných konceptoch. Môžete opäť zapamätať si slová F. Engels: "... čistá matematika je dôležitá, nezávislá od špeciálnej skúsenosti z každej jednotlivej osobnosti ... ale je to úplne nesprávne, že v čistej matematike mysle sa zaoberali len výrobkami Kreativita a predstavivosť. Koncepcie čísel a číslic nie sú odobraté niekde, ale len zo skutočného sveta. Desať prstov, v ktorých sa ľudia naučili počítať, to znamená, že prináša prvú aritmetickú operáciu, predstavujú čokoľvek, nie je to produkt slobodnej tvorivosti mysle. Ak chcete zvážiť, je potrebné mať nielen položky, ktoré majú byť neplatné, ale majú schopnosť byť rozptyľovaní pri zvažovaní týchto položiek zo všetkých ostatných vlastností, iných ako je číslo, a táto schopnosť je výsledkom dlhodobého historického vývoja na základe skúseností . Ako koncepcia čísla a koncepcia postavy si požičiava výlučne z vonkajšieho sveta a neobjavil sa v čele čistého myslenia. Mali by byť veci, ktoré majú určitý tvar, a tieto formy mali byť porovnané skôr, ako bolo možné prísť k konceptu obrázku. "

Zvážte, či existujú koncepcie vo vede, ktoré sú vytvorené bez komunikácie s minulým pokrokom vedy a súčasného pokroku praxe. Dokonale vieme, že vedecká matematická kreativita predchádza štúdia mnohých predmetov v škole, univerzite, čítanie kníh, článkov, konverzácií s odborníkmi vo vlastnej oblasti av iných oblastiach poznatkov. Matematika žije v spoločnosti, a z kníh, v rádiu, z iných zdrojov, sa učí o problémoch vznikajúcich vo vede, inžinierstve, verejnom živote. Okrem toho je myslenie výskumníka pod vplyvom celého predchádzajúceho vývoja vedeckej myšlienky. Preto sa ukáže, že sa pripravuje. Riešenie určitých problémov potrebných pre pokrok v oblasti vedy. To je dôvod, prečo vedec nemôže predložiť problémy arbitrážne, rozmarom, a mali by vytvoriť matematické koncepty a teórie, ktoré by boli cenné pre vedu, pre ostatných výskumných pracovníkov, pre ľudstvo. Matematické teórie však si zachovávajú svoj význam v podmienkach rôznych verejných formácií a historické epochy. Okrem toho často vznikajú rovnaké myšlienky od vedcov, ktorí nie sú prepojené. Toto je dodatočný argument proti tým, ktorí dodržiavajú koncepciu voľnej tvorivosti matematických konceptov.

Povedali sme tak, čo vstúpi do konceptu "matematiky". Existuje však aj taký koncept ako aplikovaná matematika. Pod ním chápe kombináciu všetkých matematických metód a disciplín, ktoré sú aplikáciami mimo matematiky. V staroveku, geometrii a aritmetike predstavovali všetky matematiky a, pretože druhý našli početné aplikácie počas obchodných výmen, meracie oblasti a zväzky, v otázkach navigácie, všetka matematika bola nielen teoretická, ale aj aplikovaná. Neskôr, B. Staroveké Grécko, oddelenie matematiky a matematiky aplikovaných. Avšak, všetky vynikajúce matematikov boli zapojení do aplikácií a nie len čisto teoretické štúdie.

Ďalší rozvoj matematiky bol nepretržite spojený s pokrokom prírodných vedy, technológií, s vznikom nových sociálnych potrieb. Do konca XVIII storočia. Tam bol potreba (v prvom rade v súvislosti s problémami navigácie a delostrelectva) vytvorenie matematickej teórie pohybu. Toto bolo vykonané vo svojich dielach G. V. Leibnitz a I. Newton. Aplikovaná matematika dopĺňaná novým veľmi silným štúdiovým metódou - matematická analýza. Takmer, potreby demografie, poistenie viedli k formácii, začala teória pravdepodobnosti (pozri teóriu pravdepodobnosti). XVIII a XIX storočia. Obsah aplikovanej matematiky bol rozšírený pridaním teórie diferenciálnych rovníc obyčajných a súkromných derivátov, rovníc matematickej fyziky, prvkov matematických štatistík, diferenciálnej geometrie. XX storočia Priniesli nové metódy matematického výskumu praktické úlohy: teória náhodných procesov, teória grafov, funkčná analýza, optimálne riadenie, lineárne a nelineárne programovanie. Okrem toho sa ukázalo, že teória čísel a abstraktnej algebry našla neočakávané aplikácie na úlohy fyziky. Výsledkom je, že presvedčenie sa začalo uistiť, že aplikovaná matematika ako samostatná disciplína neexistuje a všetky matematiky možno považovať za aplikované. Možno nie je potrebné povedať, že matematika sa aplikuje a teoretické, ale že matematika sú rozdelené na schvaľovače a teoretikov. Pre niektorú matematiku je spôsob vedomostí o okolitom svete a vyskytujúci sa v IT javo, je to na tento účel, že vedec vyvíja a rozširuje matematické vedomosti. Pre iných je matematika sám osebe celým svetom, hodným štúdiom a vývojom. Pre pokrok vedy sú vedci potrební a druhý plán.

Matematika, pred štúdiom so svojimi metódami, niektorí fenomén vytvára svoj matematický model, t.j. Uvádza zoznam všetkých funkcií fenoménu, ktorý sa bude brať do úvahy. Model núti výskumníka, aby si vybral tú matematiku, ktorá umožní pomerne primerane previesť zvláštnosti študovaného fenoménu a jeho evolúcie. Ako príklad, vziať model planetárneho systému: Slnko a planéty sa považujú za materiálové body so zodpovedajúcimi hmotnosťami. Interakcia každých dvoch bodov je určená silou príťažlivosti medzi nimi.

kde m 1 a m2 sú hmotnosť interakčných bodov, R je vzdialenosť medzi nimi a F je konštantná. Napriek všetkej jednoduchosti tohto modelu je už tristo rokov s veľkou presnosťou, vlastnosťami pohybu slnečnej systémovej planéty.

Samozrejme, každý model Coats Reality, a úloha výskumníka pozostáva predovšetkým pri navrhovaní modelu vysielajúceho, na jednej strane najviac skutočnú stranu prípadu (ako je zvyčajné hovoriť, jeho fyzické vlastnosti) a ďalej Ostatné - dáva významnú aproximáciu reality. Samozrejme, pre ten istý fenomén môžete ponúknuť niekoľko matematických modelov. Všetci majú právo existovať až do neexistujúceho rozdielu medzi modelom a realitou.

Matematika je veda kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem platného sveta. V neoddeliteľnom spojení s požiadavkami vedy a techniky, rozpätie kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem študovaných matematikou sa neustále rozširuje, takže vyššie uvedená definícia musí byť chápaná vo všeobecnom zmysle.

Účelom štúdie matematiky je zvýšiť celkový výhľad, kultúru myslenia, tvorbu vedeckého svetonázoru.

Pochopenie nezávislej polohy matematiky, keďže špeciálna veda bola možná po akumulácii dostatočne veľkého skutočného materiálu a vznikla prvýkrát v starovekom Grécku v storočiach VI-V voči našej ére. Bol to začiatok obdobia základnej matematiky.

Počas tohto obdobia sa matematické štúdie zaoberá len pomerne obmedzeným rezervou základných pojmov, ktoré vznikli s najjednoduchšími požiadavkami ekonomického života. Kvalitatívne zlepšenie matematiky, ako sa už vyskytne kvalitatívne zlepšenie matematiky ako vedy.

Moderná matematika sa často porovnávajú s veľkým mestom. Toto je vynikajúce porovnanie, pretože v matematike, rovnako ako vo veľkom meste, existuje nepretržitý proces rastu a zlepšovania. Nové oblasti vznikajú v matematike, pôvabné a hlboké nové teórie sú postavené, podobné výstavbe nových štvrtí a budov. Priebeh matematiky sa však neznižuje len na zmenu tváre mesta v dôsledku výstavby nového. Musíte zmeniť starý. Staré teórie sú zahrnuté v nových, všeobecnejšie; Je potrebné posilniť základy starých budov. Je potrebné položiť nové ulice na vytvorenie väzieb medzi vzdialenými štvrťrokmi matematického mesta. To však nestačí - architektonický dizajn si vyžaduje značné úsilie, pretože rozdiel v rôznych regiónoch matematiky nielenže kazí celkový dojem vedy, ale tiež zasahuje do chápania vedy všeobecne, vytvorenie spojení medzi jeho rôznymi časťami.

Často sa používa ďalšie porovnanie: Matematika sú ako veľký vetviaci strom, ktorý systematicky dáva nové výhonky. Každá vetva stromu je jedna alebo iná oblasť matematiky. Počet pobočiek nezostáva nezmenený, pretože nové pobočky rastú, rastú najprv vyrastali, niektoré z pobočiek vyschli, bez nutričných šťavov. Oba porovnania sú úspešné a veľmi dobre prenášajú skutočnú situáciu.

Niet pochýb o tom, že požiadavka krásy zohráva veľkú úlohu pri budovaní matematických teórií. Je samozrejmé, že pocit krásy je veľmi subjektívny a často je dosť ošklivých myšlienok na to. A napriek tomu je potrebné prekvapiť jednomyseľnosť, ktorú investuje matematikov na koncepciu "krásy": výsledok je považovaný za krásny, ak z malého počtu podmienok je možné získať všeobecný záver týkajúci sa širokého rozsahu objektov. Matematický záver je považovaný za krásny, ak je v ňom jednoduché a krátke odôvodnenie, aby preukázali významnú matematickú skutočnosť. Staršia matematika, jeho talent sa uhádne, ako vyvinutý má zmysel pre krásu. Esteticky dokončené a matematicky dokonalé výsledky sú ľahšie pochopiť, pamätať a používať; Je ľahšie identifikovať ich vzťah s inými oblasťami vedomostí.

Matematika v našom čase sa zmenila na vedeckú disciplínu s rôznymi smermi výskumu, obrovským množstvom výsledkov a metód. Matematika je teraz taká veľká, že nie je možné, aby jedna osoba na to, aby ho pokryla vo všetkých jeho častiach, neexistuje žiadna možnosť byť v ňom univerzálny špecialista. Strata väzieb medzi jeho jednotlivými smermi je určite negatívnym účinkom rýchleho rozvoja tejto vedy. Rozvoj všetkých priemyselných odvetví matematiky je však spoločný - pôvod vývoja, koreňov stromu matematiky.

Euklidovská geometria ako prvá teória prírody

• V BC III storočia sa kniha EUCLIDEUS objavila v Alexandrii s rovnakým názvom, v ruskom preklade "začal". Z latinského mena sa vyskytol termín "elementárna geometria". Napriek tomu, že kompozície predchodcov Euclide nás nedosiahli, môžeme urobiť určitý názor na tieto eseje na "Začiatok" Euclidea. V "začiatku" sú časti, logicky veľmi málo priradených k ostatným sekciám. Ich vzhľad je vysvetlený len tým, že sa vyrábajú tradíciou a skopírujú "začiatok" predchodcov euklidu.

  "Začiatok" EUCLID sa skladá z 13 kníh. 1 - 6 Knihy sú venované planimetria, 7 - 10 kníh - o aritmetických a nespokojných hodnotách, ktoré môžu byť postavené pomocou obehu a pravítka. Knihy z 11 do 13 boli venované stereometrie.

  "Začiatok" Začnite s výpisom z 23 definícií a 10 axiómov. Prvými päť axiómami sú "spoločné koncepty", zvyšok sa nazýva "postuláty". Prvé dve postuláty určujú akcie s pomocou ideálneho riadku, tretím - s pomocou ideálneho obehu. Po štvrté, "všetky rovné rohy sú vzájomne rovné," je zbytočné, pretože môže byť odstránený z iných axiómov. Ten, piaty postulát čítať: "Ak priame klesá na dve rovné čiary a tvorí vnútorné jednostranné uhly v množstve menšom ako dve priame, potom s neobmedzeným pokračovaním týchto dvoch rovných čiar, budú prejsť z druhej strany, kde Rohy sú menej ako dve priame. "

  Päť " spoločné koncepty"EUCLIDEA je princípy merania dĺžok, rohov, oblastí, objemov:" rovné rovnaké sú rovnaké ako ostatné "," ak sa rovná rovnakej úrovni, sú sums medzi sebou "," ak sa rovná rovnocennému, " Zostatky sú rovnaké ako ostatné "," comComodded navzájom sú rovnaké ako ostatné "," celá časť ".

  Ďalej začal kritiku euklidskej geometrie. Euklidy boli kritizované z troch dôvodov: zváženie len takýchto geometrických hodnôt, ktoré môžu byť vytvorené pomocou obehu a pravítka; Pre skutočnosť, že prasknutú geometriu a aritmetiku a aritoval pre celé čísla, čo sa už dokázalo geometrické hodnoty a nakoniec pre axiómy EUCLIDEA. Piaty postulát je najviac kritizovaný, najťažší EUCLID POST. Mnohí ho považovali za nadbytočné a že to môže byť a mali by byť odstránené z iných axiómov. Iní verili, že by sa mal nahradiť jednoduchším a vizuálnym, ekvivalentným nemu: "Po bode mimo rovného, \u200b\u200bmôžete stráviť v ich rovine nie viac ako jednu priamu, ktorá nekrýva to rovno."

  Kritika medzery medzi geometriou a aritmetikou viedla k rozširovaniu koncepcie čísla na skutočné číslo. Spory o piate postuláte viedli k tomu, že skoré XIX. N.I.I.LOBACHEVSKY, I. BAYYYAI a K.F.GAUSS Postavili novú geometriu, v ktorej boli vykonané všetky axiómy euklidskej geometrie, s výnimkou piateho postulátu. Bol nahradený opačným vyhlásením: "V lietadle cez bod mimo rovného, \u200b\u200bmôžete stráviť viac ako jednu priamu, nie je to pretínanie." Táto geometria bola rovnako konzistentná ako geometria EUCLID.

  Model Lobachevského planimetria na euklidovskej rovine bol postavený francúzsky matematik Henri Poincaré v roku 1882.

  V euklidovskej rovine kreslíme horizontálnu priamku. Táto priama sa nazýva absolútna (x). Body Euklidovskej roviny, ktoré sú základom vyššie uvedených absolútnych, sú bodmi Lobachevského lietadla. Liečba Lobachevsky je otvorená polovica roviny, ktorá je nad absolútnu. Nevlidovy segmenty v modeli Poincaré sú oblúky kruhov s centrom na absolútne alebo segmenty priameho, kolmého absolútneho (AB, CD). Obrázok na rovine Lobachevsky - postava otvorenej polohy, ktorá je základom vyššie uvedených absolútnych (F). NEEVKLIDOVO Pohyb je zloženie konečného počtu inverzií s centrom na absolútnych a axiálnych symetrie, ktorých osi sú kolmé na absolútne. Dva non-detské segmenty sú rovnaké, ak jeden z nich je non-detský pohyb môže byť preložený do iného. Ide o základné pojmy axiómov planáčky Lobachevského.

  Všetky axiómy planimetrie Lobachevsky sa skladajú. "Nevklidova je priama - to je poloprostosť s koncami na absolútnom alebo lúčke so začiatkom absolútneho a kolmého absolútneho absolútneho." Tvrdenie paralelizmu Lobachevského sa teda vykonáva nielen pre niektoré priame A a bod A, čo na tom nie je leží priamo, ale aj pre priamy A a ktokoľvek, kto na ňom neklamní. A.

  Ostatné konzistentné geometrie vznikli pre Lobachevsky geometriu: projektívna geometria oddelená od Euclidovho, sa objavila multidimenzionálna euklidská geometria, sa objavila Riemanian Geometria (celková teória priestorov s ľubovoľným zákonom o meraní práva) a ďalších. Z vedy o postaveniach v jednom trojrozmernom EucliDean Space Geometria 40 - 50 rokov sa stala zbierkou rôznych teórií, len v niečom podobnom s jeho predkovi - Euclidovská geometria.

  Hlavné štádiá tvorby modernej matematiky. Štruktúra modernej matematiky

• Akademik A.n. Kolmogorov pridelí štyri obdobia rozvoja matematiky KOLMOGOROV A.N. - matematika, matematické encyklopedický slovník, Moskva, sovietska encyklopédia, 1988: Pôvod matematiky, základnej matematiky, matematiky variabilných hodnôt, moderná matematika.

  Počas vývoja základnej matematiky z aritmetiky, teória čísel postupne rastie. Algebra je vytvorený ako listový kalkul. A vytvorený starobylými Grécimi, systém prezentácie základnej geometrie - Euklidovskej geometrie - pre dva tisícročia pred nami bola vzorka deduktívnej výstavby matematickej teórie.

  Vo XVII storočí viedli požiadavky prírodných vedy a techniky k vytvoreniu metód, ktoré umožňujú matematicky študovať pohyb, zmeny zmien hodnoty, transformácie geometrické čísla. S použitím premenných v analytickej geometrii a vytvorenie diferenciálneho a integrálneho výpočtu začína doba matematiky premenných. Veľké objavy XVII storočia je koncepcia nekonečne malej veľkosti zavedenej spoločnosťou Newton a Leibniz, vytvorenie základov analýzy nekonečne malých hodnôt (matematická analýza).

  Koncepcia funkcie je predložená. Funkcia sa stáva hlavným predmetom štúdia. Štúdia funkcie vedie k základným pojmom matematickej analýzy: limit, derivát, diferenciál, integrál.

  Do tejto doby vzhľad brilantných myšlienok R. Dekart o metóde koordinovať. Vytvorí sa analytická geometria, ktorá vám umožní študovať geometrické objekty pomocou algebry a analytických metód. Na druhej strane, metóda koordinácie objavila možnosť geometrického výkladu algebraických a analytických faktov.

  Ďalší rozvoj matematiky viedol na začiatku XIX storočia na formuláciu problému študovania možných typov kvantitatívnych vzťahov a priestorových formulárov s dostatočne všeobecným názorom.

  Spojenie matematiky a prírodných vedy sa stáva čoraz viac komplexné formy. Nové teórie vznikajú a vznikajú nielen v dôsledku žiadostí o prírodné vedy a techniky, ale aj v dôsledku vnútornej potreby matematiky. Nádherný príklad takejto teórie je imaginárna geometria N.I.LOBACHEVSKY. Vývoj matematiky v XIX a XX storočí umožňuje, aby sa pripisoval obdobiu modernej matematiky. Vývoj samotnej matematiky, matematizácia rôznych vedeckých oblastí, prenikanie matematických metód v mnohých oblastiach praktickej činnosti, priebeh výpočtovej technológie viedol k vzniku nových matematických disciplín, napríklad štúdiu operácií, hry Teória, matematická ekonomika a ďalšie.

  Hlavné metódy matematických štúdií sú matematické dôkazy - prísne logické uvažovanie. Matematické myslenie sa neznižuje len na logické uvažovanie. Pre riadnu formuláciu problému je potrebná matematická intuícia na posúdenie výberu spôsobu jeho riešenia.

  Matematické modely objektov sa študujú v matematike. Rovnaký matematický model môže opísať vlastnosti reálnych javov od seba. Tak, to isté diferenciálnej rovnice Môže opísať procesy rastu populácie a rozpadu rádioaktívnej látky. Pre matematiku je dôležitá povaha posudzovaných predmetov, ale vzťah medzi nimi.

  V matematike používajte dva typy záverov: odpočet a indukcia.

  Indukcia - metóda výskumu, v ktorej všeobecný záver Na základe súkromných parciel.

  Odpočet je spôsob odôvodnenia, prostredníctvom ktorého je súkromný záver nasledovať zo spoločných balíkov.

  Matematika hrá dôležitú úlohu v prirodzených vedeckých, inžinierskych a humanitárnych štúdiách. Dôvodom pre penetráciu matematiky v rôznych odvetviach poznatkov je, že ponúka veľmi jasné modely na štúdium okolitej reality, na rozdiel od menej všeobecných a nejasných modelov ponúkaných inými vedami. Bez modernej matematiky s vyvinuté logické a výpočtové zariadenia by pokrok nemohol v rôznych oblastiach ľudskej činnosti.

  Matematika nie je len silnými prostriedkami riešenia aplikovaných úloh a univerzálnych vedeckých jazykov, ale aj prvok spoločnej kultúry.

  Hlavné vlastnosti matematického myslenia

• Podľa tohto problému je charakteristika matematického myslenia osobitný záujem, vzhľadom na A.Y. Khinchin, alebo skôr, jej konkrétnu historickú formu - štýl matematického myslenia. Odhaliť podstatu štýlu matematického myslenia, to zdôrazňuje štyri spoločné funkcie pre všetky ERAS, výrazne rozlišovať tento štýl od štýlov myslenia v iných vedách.

  Po prvé, pre matematiku sa vyznačuje dominanciou logickej schémy uvažovania. Matematik, ktorý sa stratil, aspoň dočasne, mimo dohľadu, tento systém je všeobecne zbavený príležitosti vedecky myslieť. Tento zvláštny štýl matematického myslenia má veľa cenných. Je zrejmé, že vám umožní sledovať správnosť toku myšlienky a záruk z chýb; Na druhej strane, núti myslenie pri analýze mať pred jeho očami celý súbor dostupných príležitostí a zaväzuje ho vziať do úvahy každý z nich, nechýbe nikoho (tento druh prechodov je celkom možné a sú v skutočnosti často pozorované Ostatné štýly myslenia).

  Po druhé, laconizmus, t.j. Vedúca túžba vždy nájsť najkratšiu vedúcu k tomuto cieľu logickej cesty, nemilosrdné vyradenie všetkého, čo je absolútne nevyhnutné pre dokonalú plnosťou argumentu. Matematická esej z dobrého štýlu, netoleruje žiadnu "vodu", žiadne zdobenie, oslabenie logického napätia rantingu, rozptyľuje na boku; Maximálna tuhosť, drsná závažnosť myšlienky a jeho prezentácia predstavujú integrálnu trakciu matematického myslenia. Táto funkcia má väčšiu hodnotu nielen pre matematické, ale aj pre akékoľvek iné vážne odôvodnenie. Lakonis, túžba zabrániť tomu, aby niečo zbytočné, pomáha a veľmi myslenie, a jeho čitateľ alebo poslucháč sa plne zamerala na tento priebeh myšlienok, bez toho, aby boli rozptyľovaní vedľajšími myšlienkami a bez straty priameho kontaktu s hlavnou líniou úvah.

  Coliferations of Science, spravidla si myslia a sú stručne realizované vo všetkých oblastiach poznatkov, aj keď myšlienka ich vytvára a stanovuje zásadne nové nápady. Aký majestátny dojem produkuje napríklad ušľachtilý nešťastie myslenia a prejavu najväčších tvorcov fyziky: Newton, Einstein, Nielsa Bor! Môže byť ťažké nájsť jasnejší príklad toho, ako hlboký vplyv môže mať štýl myslenia svojich tvorcov na rozvoj vedy.

  Pre matematiku je laconid myšlienok pokračovanie, kanonizované storočia podľa zákona. Akýkoľvek pokus o zaťaženie prezentácie nie je nevyhnutne potrebné (aj keď aj príjemné a fascinujúce pre poslucháčov) s maľbami, rozptýlenia, ranting vopred na legálne podozrenie a automaticky spôsobuje kritickú pozornosť.

  Tretia, jasné rozpadnutie pokroku. Ak napríklad v prípade dôkazu o akejkoľvek vete musíme zvážiť štyri možné prípady, z ktorých každý môže byť rozdelený do radu subHearders, potom v každom okamihu odôvodnenia matematik by mal jasne pamätať, v takom prípade sublita Jeho myšlienka je teraz nadobudnutá a aké prípady a Subhaard ho stále zostáva zvážiť. S akomkoľvek druhu rozvetvených transferov musí matematik kedykoľvek zaplatiť správu v akom koncepte, ktorý uvádza komponenty svojich druhov konceptov. V bežnom, nie vedeckom myslení, sme často pozorovali v takýchto prípadoch miešania a skokov, čo vedie k nejasnostiam a chybám v odôvodnení. Často sa stáva, že osoba začala uvádzať typy jedného druhu druhu, a potom nepostrehnuteľne pre študentov (a často pre seba), pomocou nedostatočnej logickej diskriminácie uvažovania, preskupených do iného rodu a ukončí vyhlásenie, že oba druhy sú teraz klasifikované; A poslucháči alebo čitatelia nevedia, kde hraničká medzi druhom prvého a druhého druhu.

  Aby bolo možné takéto miešanie a skoky nemožné, matematika už dlho používajú jednoduché externé brať čísla číslovania konceptov a rozsudkov, niekedy (ale oveľa menej) platné v iných vedách. Tieto možné prípady alebo tie všeobecné koncepty, ktoré by sa mali zvážiť v tomto odôvodnení, sú vopred remenmers; Vo vnútri každého takého prípadu tie, ktoré podliehajú subhardu, ktorý obsahuje, sa tiež prečíslujú (niekedy, aby sa rozlišovali s akýmkoľvek iným číslovacím systémom). Pred každým odsekom, ak začína posúdenie novej subli posilnenia, je uvedené do tohto rozširujúceho sa označenie (napríklad: II 3 - to znamená, že tretí prípad tretieho prípadu sa uvažuje, alebo opis tretieho typu druhého Ak ide o klasifikáciu). A čitateľ vie, že do tej doby, pokiaľ nebude prekonať na novú numerickú hlavičku, všetky načrtnuté platí len na túto príležitosť a suberral. Samozrejme, samozrejme, že takéto číslovanie slúži len externým príjemom, veľmi užitočným, ale nie je povinná, a že podstatou prípadu nie je v ňom, ale na odlišnom rozpade argumentu alebo klasifikácie stimuluje a označuje.

  Štvrtá, dôkladná presnosť symbolov, vzorcov, rovníc. To znamená, "každý matematický symbol má striktne definovanú hodnotu: Spätná montáž iným symbolom alebo permutáciou iným miestom, spravidla so sebou prináša skreslenie a niekedy úplné zničenie významu tohto vyhlásenia."

  Zvýrazniť hlavné črty matematického štýlu myslenia, a.ya.hinchin poznamenáva, že matematika (najmä matematika variabilných hodnôt) má svojou povahou dialektickú povahu, a preto prispieva k rozvoju dialektického myslenia. V skutočnosti v procese matematického myslenia interakcie vizuálneho (betónu) a koncepčného (abstraktu). "Nemôžeme myslieť na trate," napísal cant, "bez toho, aby sme jej mentálne trávime, nemôžeme myslieť na tri dimenzie, bez výdavkov, z jedného bodu troch kolmých na seba."

  Interakcia betónu a abstraktu "LED" matematické myslenie na rozvoj nových a nových koncepcií a filozofických kategórií. V starožitnej matematike (matematika konštantných hodnôt) boli "číslo" a "priestor", ktoré boli pôvodne odrazené v aritmetickej a euklidskej geometrii a neskôr v algebre a rôznych geometrických systémoch. Matematika premenných "založená na konceptoch, v ktorých sa pohyb hmoty odrazil -" finále "," nekonečné "," kontinuita "," diskrétne "," nekonečne malé "," derivát "atď.

  Ak hovoríme o modernej historickej fáze vývoja matematických poznatkov, ide v súlade s ďalším rozvojom filozofických kategórií: teória pravdepodobností "Masters" kategórie možných a náhodných; topológia - kategórie vzťahov a kontinuity; Teória katastrof - kategória skoku; Teória skupín - kategórie symetrie a harmónie atď.

  V matematickom myslení sú vyjadrené hlavné vzory konštrukcie podobné vo forme logických pripojení. Svojou pomocou, prechodom z jedného (povedzme, z určitých matematických metód - axiomatických, algoritmických, konštruktívnych, teoretických a iných) na špeciálne a všeobecné, na všeobecné deduktívne budovy. Jednota metód a objektov matematiky určuje špecifiká matematického myslenia, umožňuje hovoriť o špeciálnom matematickom jazyku, v ktorom sa nielen realita odráža, ale aj syntetizované, zhrnuté, predpokladané vedecké poznatky. Sila a krása matematickej myšlienky - v limitnej zrozumiteľnosti svojej logiky, milosti konštrukcií, kvalifikovaných stavebných abstrakcií.

  V zásade nové možnosti duševnej aktivity otvorených vynálezom počítača, pričom vytvorí stroj matematiky. V jazyku matematiky boli významné zmeny. Ak sa jazyk klasickej výpočtovej matematiky skladala zo vzorcov algebry, geometrie a analýzy, zameranej na opis nepretržitých procesov prírody študovaný, primárne v mechanike, astronómii, fyzike, jeho moderným jazykom je jazykom algoritmov a programov vrátane staré jazykové vzorce ako súkromný prípad.

  Jazyk modernej výpočtovej matematiky sa stáva čoraz všestrannejším, schopným popisovať komplexné (multi-parametrické) systémy. Zároveň chcem zdôrazniť, že niečo ideálne je matematický jazyk, rozšírený elektronickým výpočtovým vybavením, neukladá spojenia s rôznym "nažive", prirodzeným jazykom. Okrem toho je konverzačným jazykom umelou jazykovou základňou. V tejto súvislosti je zaujímavé pre nedávny objav vedcov. To je skutočnosť, že staroveký jazyk Indov AiMara, ktorý hovorí o 2,5 milióna ľudí v Bolívii a Peru, bol mimoriadne pohodlný pre počítačové vybavenie. Už v roku 1610, taliansky misionársky jezuit Louis Burtoni, ktorý bol prvým slovníkom AIMAR, poznamenal génia svojich tvorcov, ktorí dosiahli vysokú logickú čistotu. Napríklad v Aire nie sú žiadne zlé slovesá a žiadne výnimky z niekoľkých jasných gramatických pravidiel. Tieto vlastnosti jazyka ARMAR umožnili bolivskú matematiku vytvoriť systém synchrónneho počítačového prekladu z ktorejkoľvek z piatich európskych jazykov uvedených v programe, "Bridge" medzi ktorým je AIRAR. EMM "AIMARA", vytvorený bolívijským vedcom, dostal vysoké posúdenie špecialistov. Zhrnutie tejto časti otázky podstaty matematického štýlu myslenia je potrebné poznamenať, že jeho hlavný obsah je pochopenie prírody.

  Axiomatická metóda

• Axiomatics je hlavným spôsobom, ako budovať teóriu, so starovekom a dodnes potvrdil svoju všestrannosť a všetku použiteľnosť.

  Základom výstavby matematickej teórie je axiomatická metóda. Základom vedeckej teórie je niektoré počiatočné ustanovenia s názvom Axiómy a všetky ostatné ustanovenia teórie sa získavajú ako logické dôsledky axiómov.

  Axiomatická metóda sa objavila v starovekom Grécku a v tomto čase sa vzťahuje na takmer všetky teoretické vedy, a predovšetkým v matematike.

  Porovnanie troch, v určitom ohľade, dopĺňajúce si navzájom geometriu: euklidovský (parabolický), Lobachevsky (hyperbolický) a Riemannov (Eliptical), Treba poznamenať, že spolu s niektorými podobnosťami existuje veľký rozdiel medzi guľovou geometriou, na jednej strane a euklidovské geometrie a lobachevsky - na druhej strane.

  Dôvodný rozdiel modernej geometrie je, že teraz pokrýva "geometriu" nekonečného množstva rôznych imaginárnych priestorov. Treba však poznamenať, že všetky tieto geometrie sú interpretáciou euklidskej geometrie a sú založené na axiomatickej metóde prvýkrát použitým euklidom.

  Na základe výskumu bola vyvinutá a rozšírená axiómová metóda. Ako špeciálny prípad použitia tejto metódy sa použije metóda stôp v stereometrie na riešenie problémov na výstavbe častí v Polyhedróze a niektorých ďalších pozičných úloh.

  Axiomatická metóda vyvinutá na začiatku geometrie sa teraz stala dôležitým nástrojom štúdia av iných častiach matematiky, fyziky a mechaniky. V súčasnosti pracuje na zlepšenie a hlbšej štúdiu axiomatickej metódy pre budovanie teórie.

  Axiomatický spôsob konštrukcie vedeckej teórie je prideliť hlavné koncepty, formuláciu axiómov teórií a všetky ostatné vyhlásenia sú odvodené logickým spôsobom, na základe nich. Je známe, že jedna koncepcia by mala byť vysvetlená s pomocou iných, ktoré sa zase určujú aj použitím niektorých známych konceptov. Prichádzame teda na základné koncepty, ktoré nemožno určiť prostredníctvom iných. Tieto koncepty sa nazývajú základné.

  Keď dokazujeme schválenie, veta, potom sa spoliehajú na predpoklady, ktoré sú považované za už dokázané. Ukázali sa však aj tieto predpoklady, ktoré museli ospravedlniť. Nakoniec sme dospeli k nepreukázaným vyhláseniam a ich prijali bez dôkazu. Tieto vyhlásenia sa nazývajú Axiom. Set Axiom by mal byť taký, že sa na to spolieha, že by sa dalo preukázať ďalšie obvinenia.

  Zvýraznite základné pojmy a formulačné axiómy, potom sme odvodzovali teoremy a iné koncepty s logickým spôsobom. Toto je logická štruktúra geometrie. Axiómy a základné pojmy predstavujú základ planimetrie.

  Keďže nie je možné udeliť jednotnú definíciu základných pojmov pre všetky geometrie, základné pojmy geometrie by mali byť definované ako objekty akejkoľvek povahy, ktoré spĺňajú axiómy tejto geometrie. Tak, v axiomatickej konštrukcii geometrického systému, postupujeme z nejakého systému Axiom alebo Axiomatics. Tieto axiómy opisujú vlastnosti základných pojmov geometrického systému a môžeme prezentovať základné pojmy vo forme predmetov akejkoľvek povahy, ktoré majú vlastnosti uvedené v axiómoch.

  Po znení a dôkazoch prvého geometrického vyhlásenia je možné preukázať niektoré obvinenia (teoremy) s pomocou iných. Dôkaz mnohých terém sa pripisuje Pythagoru a Democritovi.

  Hippocrata Chiosky sa pripisuje príprave prvého systematického priebehu geometrie na základe definícií a axiómov. Tento kurz a jeho následné spracovanie sa nazývali "prvky".

  Axiomatická metóda pre výstavbu vedeckej teórie

• Tvorba deduktívneho alebo axiomatickej metódy budovania vedy je jedným z najväčších úspechov matematickej myšlienky. Požadoval prácu mnohých generácií vedcov.

  Nádhernou črtou deduktívneho systému prezentácie je jednoduchosť tejto stavby, ktorá jej umožňuje opísať v niekoľkých slovách.

  Deduktívny systém prezentácie sa znižuje:

  1) K zoznamu základných pojmov, \\ t

  2) k vyhláseniu o definíciách

  3) K pôsobeniu axiómov, \\ t

  4) Prezentovať teórie

  5) k dôkazu týchto veta.

  Axioma - schválenie prijaté bez dôkazov.

  Veta je vyhlásenie vyplývajúce z Axiomu.

  Dôkazom je neoddeliteľnou súčasťou deduktívneho systému, je to odôvodnenie, čo ukazuje, že pravda o vyhlásení logicky vyplýva z pravdy predchádzajúcich terén alebo axiómov.

  Vo vnútri deduktívneho systému sa nemusia riešiť dve otázky: 1) o význame základných pojmov, 2) na pravdu Axiomu. To však neznamená, že tieto otázky sú všeobecne nerozpustné.

  História prírodných vedy ukazuje, že možnosť axiómickej výstavby jednej alebo inej vedy sa zdá byť len na pomerne vysokej úrovni rozvoja tejto vedy, na základe veľkého aktuálneho materiálu, umožňuje jasne identifikovať hlavné spojenia a vzťahy, ktoré existujú medzi predmety študované touto vede.

  Vzorka axiomatickej výstavby matematickej vedy je základná geometria. Systém axiómu geometrie bol nastavený euklidom (asi 300 g. Bc) v \u200b\u200bneprekonanej práci "začala". Tento systém v hlavných funkciách bol zachovaný dodnes.

  Základné koncepty: bod, rovné, rovné základné obrázky; Medzi, patriacim, pohybom.

  Elementary Geometria má 13 aximov, ktoré sú rozdelené do piatich skupín. V piatej skupine, jeden axióm na paralelnom (V je euclid post): Prostredníctvom bodu v rovine môžete stráviť len jednu priamu, čo neprechádza toto priame. Toto je jediná axióma, ktorá spôsobila potrebu dôkazov. Pokusy o preukázanie piatych postulátov obsadili matematikov viac ako 2 tisíc rokov, až do prvej polovice 19. storočia, t.j. DOKOĽVEK NIKOLAI IVANOVICH LOBACHEVSKY sa ukázal v jeho spisoch úplnú beznádejnosť týchto pokusov. V súčasnosti je neodmietateľnosť piateho postulátu striktne preukázaná matematická skutočnosť.

  Axioma o paralelnom n.I. Lobachevsky nahradil Axiómu: Nech v tejto rovine je rovný a ležiaci mimo priameho bodu. Po tomto bode môžete stráviť na danej priame, aspoň dve rovnobežne.

  Z nový systém AKSIOM N.I. Lobachevsky s nedokončeným logickým rigorom priniesol štíhly systém teoremy, ktoré tvoria údržbu non-dieťa geometrie. Geometrie euklidovských a lobachevských, ako logické systémy sú rovnaké.

  Tri veľká matematika v 19. storočí takmer v rovnakom čase, nezávisle od seba prišlo k jedným výsledkom nerentabnosti piateho postulátu a na vytvorenie nekladnej geometrie.

  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)

  Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Boyai (1802-1860)

  Matematický dôkaz

• Hlavná metóda matematických štúdií sú matematické dôkazy - prísne logické uvažovanie. Kvôli objektívnej nutnosti zodpovedajúceho člena kolesá RAN L.D. KUDRYAVTSEV KUDRYAVTSEV L.D. - Moderná matematika a jej vyučovanie, Moskva, veda, 1985., Logické argumenty (ktoré podľa prírody, ak majú pravdu, sú obaja prísne) predstavujú metódu matematiky, bez nich, matematika sú nemysliteľné. Treba poznamenať, že matematické myslenie sa neznižuje len na logické uvažovanie. Ak chcete správne uviesť úlohu, na vyhodnotenie svojich údajov, aby sa prideliť základnú intuíciu, je potrebné zabrániť jeho riešeniu jeho riešenia, ktoré vám umožní predvídať požadovaný výsledok predtým, ako sa získa, načrtnite študijnú dráhu pomocou hodnoverných odôvodnení . Platnosť zvažovaného skutkového pomeru sa však nepovažuje za kontrolu na niekoľkých príkladoch, nie niekoľko experimentov (čo sám o sebe zohráva veľkú úlohu v matematických štúdiách), ale čisto logická cesta, podľa zákonov formálneho logika.

  Predpokladá sa, že matematický dôkaz je pravda v poslednom prípade. Riešenie, ktoré je založené na čistej logike jednoducho nemôže byť nesprávne. Ale s rozvojom vedy a úloh pred matematikou sú čoraz zložitejšie.

  "Vstúpili sme do éry, keď sa matematické zariadenie stalo tak komplikovaným a ťažkopádnym, že na prvý pohľad nemohol byť povedané - pravdivý alebo nie je splnený úlohu," Kate Devlin verí zo Stenfordskej univerzity v Kalifornii, USA. To vedie k príkladu "klasifikácie jednoduchých konečných skupín", ktorá bola formulovaná späť v roku 1980 a úplne presne priťahovala. S najväčšou pravdepodobnosťou je veta verná, ale nie je možné o tom hovoriť.

  Počítačové riešenie je tiež nemožné nazvať presné, pre takéto výpočty majú vždy chybu. V roku 1998, Hales navrhol riešenie pre teorem Kepler pomocou počítača formulovaného späť v roku 1611. Táto veta opisuje najviac hustého balenia guľôčok vo vesmíre. Dôkaz bol prezentovaný na 300 strán a obsahoval 40000 riadkov strojového kódu. 12 recenzentov testovali rozhodnutie v priebehu roka, ale nikdy nedosiahli sto percent dôvery v správnosť dôkazov a štúdia bola zaslaná na vylepšenie. V dôsledku toho bolo zverejnené len štyri roky a bez úplného certifikácie recenzentov.

  Všetky posledné výpočty pre použité úlohy sú vyrobené na počítači, ale vedci sa domnievajú, že pre väčšiu spoľahlivosť musia byť matematické výpočty zastúpené bez chýb.

  Teória dôkazu bola vyvinutá v logike a zahŕňa tri štrukturálne zložky: diplomová práca (čo sa má preukázať), argumenty (súbor skutočností, všeobecne uznávaných koncepcií, zákonov atď. Relevantná veda) a demonštrácia (postup na nasadenie dôkazov ; konzistentný reťazec záverov, keď sa záver n-hluk stane jedným z parcelov n + prvý záver). Pravidlá dôkazov sú pridelené, možné logické chyby.

  Matematický dôkaz má veľa spoločného s týmito princípmi, ktoré sú stanovené formálnou logikou. Okrem toho, matematické pravidlá odôvodnenia a operácie samozrejme slúžili ako jedna z základov vo vývoji dôkazového postupu v logike. Najmä výskumníci o rozvoji formálnej logiky veria, že naraz, keď AristoTle zaviazal prvé kroky na vytvorenie zákonov a predpisov logiky, obrátil sa na matematické a na prax právnej činnosti. V týchto zdrojoch našiel materiál pre logické konštrukcie zamýšľanej teórie.

  Počas 20. storočia stratila koncepcia dôkazov prísny význam, ktorý sa stalo v dôsledku detekcie logických paradoxov, ktoré sa uskutočnili v teórii súborov a najmä v súvislosti s výsledkami, ktoré priniesli Theódy K. GEDEL Nekompletná formalizácia.

  V prvom rade sa dotkla samotnej matematiky, v súvislosti s ktorou bola viera vyjadrená tým, že termín "dôkaz" nemá presnú definíciu. Ale ak by takýto posudok (koná aj dnes) má vplyv na matematiku sám, potom dospel k záveru, podľa ktorého dôkazy by sa mali prijať nie je logické a matematické, ale v psychologickom zmysle slova. S tým, tento pohľad sa nachádza v samom Aristotela, ktorý mal za to, že by bolo dokázať, aby vykonala vyvodzovať, že by sa nám presvedčiť do tej miery, že ju používať, ale my presvedčiť ostatných, aby sa čokoľvek. Určitý odtieň psychologického prístupu nájdených A.E.I.Senin-Volpin. On prudko nesúhlasí s prijatím pravdy bez dôkazu, ktorý ho spája so aktom viery, a potom píše: "Vyvolám dôkaz o úsudku, nazývam čestný príjem, ktorý z neho robí nesporný úsudok." Yesenin-Volpin dáva správu, že jeho definícia potrebuje aj v objasnení. V rovnakej dobe, charakteristika dôkazu ako "čestného recepcie" odvolanie morálneho a psychického posúdenia?

  Zároveň zisťovanie viacerých paradoxných teoretických a vzhľadu teoretických teoret Gedel prispel k rozvoju teórie matematických dôkazov, ktoré vykonávali intuícia, najmä konštruktivistickým smerom a d.gilbert.

  Niekedy sa predpokladá, že matematický dôkaz je univerzálny a predstavuje ideálnu verziu vedeckých dôkazov. Nie je to však jediná metóda, existujú aj iné spôsoby dôkazných postupov a operácií. Je pravda, že matematický dôkaz, má veľa podobné formálne-logické, realizovateľné v prírodných vied, a že matematický dôkaz má určitú špecifickosť, rovnako ako sadu prijímanie operácie. Na to budeme zastaviť, vynechať tento generál, že sa ho týka iných foriem dôkazov, to znamená, že bez nasadenia vo všetkých krokoch (dokonca aj hlavné) algoritmus, pravidlá, chyby atď. Procesný dôkaz.

  Matematický dôkaz predstavuje odôvodnenie, s cieľom zdôvodniť pravdu (samozrejme, v matematickom, to znamená ako odvodivosť, zmysel) akéhokoľvek schválenia.

  Súbor pravidiel uplatňovaných v dôkazov bola vytvorená spolu s príchodom axiomatických stavby matematickej teórie. Najjasnejšie a plne implementované v geometrii euklidu. Jeho "začiatok" sa stal druh vzorového štandardu axiomatickej organizácie matematických poznatkov a na dlhú dobu zostala ako taká pre matematikov.

  Vyhlásenia predložené vo forme osobitného sekvencie by mali zaručiť záver, že s výhradou pravidiel logického pôsobenia a považuje sa za preukázané. Treba zdôrazniť, že určité odôvodnenie je dôkaz len s ohľadom na nejaký axiomatický systém.

  Pri charakterizácii matematických dôkazov sa prideľujú dve hlavné znaky. Po prvé, skutočnosť, že matematické dôkazy vylučujú akékoľvek odkazy na EMPIRIUS. Celý postup odôvodnenia pravdy výstupu sa vykonáva v rámci zrýchlených axiómov. Akademik A.D. Alksandrov, v súvislosti s tým, zdôrazňuje. Môžete merať rohy trojuholníka tisíckrát a uistite sa, že sú rovné 2D. Ale matematika nič nepreukáže. Dokáže sa, ak prinesiete zarovnané tvrdenie z Axiomu. Opakovať. Tu matematika a úzke metódy scholastiky, ktoré tiež zásadne odmieta argument, zažívajú tieto skutočnosti.

  Napríklad, keď bola objavená prikladanie segmentov, s dôkazom tejto vety, bolo vylúčené odvolanie na fyzický experiment, pretože po prvé, samotná koncepcia "non-elementárnosti" je zbavená fyzického významu, a po druhé, Matematika a nemohla, zaoberajúca sa abstrakciou, priťahovať pomoc reálne špecifické dĺžky, merané sensentom vizuálnym príjmom. Najmä neúplnosť, najmä zmluvné strany a diagonály námestia, založené na majetku celých čísel so zapojením Pythagorean teorem na rovnosť námestia hyptotenuse (resp. Diagonálne) súčtu štvorcov Cattes (dve strany pravouhlého trojuholníka). Alebo keď Lobachevsky hľadal potvrdenie o jeho geometriu, s odkazom na výsledky astronomických pozorovaní, toto potvrdenie ich vykonalo prostredníctvom čisto špekulatívnej povahy. V interpretáciách Geometrie Nehvklide vykonávali Cali - Klein a Beltra, sa objavili aj typické matematické a nie fyzické objekty.

  Druhou vlastnosťou matematických dôkazov je jeho najvyššia abstrakcia, ktorú sa líši od dôkazov v ostatných vedách. A opäť, ako v prípade konceptu matematického objektu nie sme len o stupeň abstrakcie, ale o jeho povahe. Faktom je, že vysoká úroveň abstrakcie bremeno dosiahne aj v rade ďalších vied, napríklad vo fyzike, kozmológii a samozrejme, vo filozofii, pretože predmetom druhej stáva limitná problémy bytia a myslenia. Matematika sa vyznačuje skutočnosťou, že existujú premenné, ktorých význam je v rozptýlení z akýchkoľvek špecifických vlastností. Pripomeňme, že podľa definície premenných - známky toho, že samy o sebe nemajú hodnotu a získajú poslednú len v prípade, náhradou názvy niektorých objektov (jednotlivé premenné), alebo pri určovaní špecifických vlastností a vzťahov (prívlastkové premenné), alebo konečne Cases výmeny variabilným zmysluplným vyhlásením (výroková premenná).

  Oznámila funkciu a je vzhľadom na povahu týchto extrémnych skratiek používaných v matematickom dôkaze znamenie, rovnako ako vyhlásenie, že vďaka zahrnutie premenných v ich štruktúre, sú transformované do funkcie vyhlásení.

  Dôkazom postup sama, určí v logike ako demonštrácia, prebieha na základe pravidiel výstupe, spoliehať sa na ktorého prechod z niekoľkých osvedčených vyhlásenie k druhému, tvoria výrobné reťazec záverov. Najčastejšie pravidlá (substitúcie a závery) a dedukciu teorem sú najbežnejšie.

  Pravidlo substitúcie. V matematike je substitúcia definovaná ako nahradenie každého prvku a danej stanovenej akýmkoľvek iným prvkom F (A) z tej istej sady. V matematickej logike je pravidlo substitúcie formulované takto. Ak skutočný vzorec M vo vyhlásení Calculus obsahuje písmeno, povedzme, a potom, nahradenie všade, kde sa vyskytne, ľubovoľný list D, dostaneme vzorec, tiež true ako originál. To je možné a prípustné, pretože to je to, že pri výpočte vyhlásenia sú rozptyľovaní zmysle vyhlásenia (vzorcov) ... iba hodnoty "pravda" alebo "lož", sú brané do úvahy. Napríklad vo vzorci M: A -\u003e (BuA) Zaviesť a nahrádzame výraz (AUB), v dôsledku toho získame nový vzorec (AUB) -\u003e [(BU (AUB)].

  Záverečné pravidlo výstupu zodpovedá štruktúre podmienečne kategorického slitogizmu Modusu Ponens (Modes schvaľuje) vo formálnej logike. Má nasledujúci formulár:

  a. .

  Vyhlásenie je uvedené (A-\u003e B) a je stále daná a. Z toho vyplýva.

  Napríklad: ak prší, potom most mokrý, dážď je (A), preto most mokrý (B). V matematickej logike je tento sylogizmus napísaný týmto spôsobom (A-\u003e B) A-\u003e B.

  Záver je definovaný spravidla, kancelárie na implikáciu. Ak sú uvedené dôsledky (A-\u003e B) a jeho predsudok (A), potom sme oprávnení pripojiť k odôvodneniu (dôkazy) aj následným implicitnem (B). Sillogizmus je povinný, takže arzenál deduktívnych prostriedkov dôkazov, to znamená, že absolútne zodpovedá požiadavkám matematického úvahy.

  Veľkú úlohu v matematickom dôkazu hrá veta o dedukcii - všeobecný názov pre niekoľko viet, postup, ktorý zaisťuje schopnosť vytvoriť dôkaz o implux: A-\u003e B, keď je logický výstup vzorca B je zrejmé vo vzorci A. v najbežnejším možnosť pre výkazy (v klasickom, intuitionist a ďalších typov matematiky) Odpočet Veta schvaľuje nasledujúce. Ak je zásielka systému vzhľadom k tomu, a zásielka A, z ktorej, v súlade s pravidlami, odvodený bg, AB (- znamenie výstupu), to znamená, že iba z pozemkov G, je možné získať ponúknuť - \u003e B.

  Pozreli sme sa na typ, ktorý je priamy dôkaz. Zároveň logika využíva takzvaný nepriamy, nie sú priame dôkazy, ktoré sú nasadené podľa nasledujúcej schémy. Bez toho, aby sa z viacerých dôvodov (neprístupnosť predmetu štúdie, strata reality jeho existencie atď.) Je možnosťou priamych dôkazov o pravde akéhokoľvek schválenia, diplomovej práce, budovanie antitézy. Sú presvedčení, že antitéza vedie k rozporom, a to sa stalo falošným. Potom, od flaunt of antitézy, robia na základe zákona vylúčeného tretieho (A V) - záver o pravdejovej práci.

  V matematike je jedna z foriem nepriamych dôkazov široko používaná - dôkaz o škaredom. Je to obzvlášť cenné av skutočnosti je nevyhnutné pri prijímaní základných koncepcií a ustanovení matematiky, napríklad pojem relevantných nekonečno, čo nie je možné iným spôsobom.

  Prevádzka dôkazov z opaku je prezentovaná v matematickej logike nasledovne. Poskytuje sa sekvencia vzorcov g a denial A (g, a). Ak z tejto B a jeho popretie (G, AB, non-b), potom môžeme konštatovať, že pravda je odvodený zo sekvencie všeobecného vzorca G. Inými slovami, pravda práce vyplýva z falše z antimsis.

  Referencie:

• 1. N.SH.KREMER, B.A. PUTKO, I.M.TRISHIN, M.N.FRIDMAN, vyššia matematika pre ekonómov, učebnica, Moskva, 2002;

  2. L.D. Cudryavtsev, moderná matematika a jej vyučovanie, Moskva, veda, 1985;

  3. O.I. LARCHEV, objektívne modely a subjektívne riešenia, Moskva, veda, 1987;

  4. A.YA. Khalamizer, "matematika? - Funny! ", Uverejnenie autora, 1989;

  5. P.K....Rashevsky, RIEMANOVA Geometria a Tensorová analýza, Moskva, 3 vydanie, 1967;

  6. V.E.GMURMAN, teória pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, Moskva, stredná škola, 1977;

  7. Svetová entriantná sieť.

Matematika 1. Odkiaľ pochádza slovná matematika? Kto prišiel s matematikou? 3. Základné témy. 4. Definícia 5. etymológia na poslednom prezentácii.

Odkiaľ pochádzalo slovo (choďte na predchádzajúcu snímku) Matemaa Tika z gréckeho štúdia, vedy) - Veda o štruktúrach, objednávke a vzťahu, ktoré sa historicky vyvíjali na základe výpočtu, merania a opisu formy objektov. Matematické objekty sú vytvorené idealizáciou vlastností reálnych alebo iných matematických objektov a zaznamenávajú tieto vlastnosti vo formálnom jazyku.

Kto prišiel s matematikou (prejdú do menu) prvý matematik je vyrábaný na zavolať Falez Miletsky, ktorý žil v VI. storočí. Bc e. , jeden z tzv. Sedem múdrych mužov Grécka. Buďte to, že by to mohlo, ale to bol ten, kto bol prvý, kto štruktúroval celú vedomostnú základňu pre tieto náklady, ktoré sa už dlho tvorilo v rámci sveta, ktorý mu bolo známe. Autor prvého pojednania v matematike nám však dosiahol EUCLIDE (III storočia. Bc). Otec tejto vedy si tiež môže zaslúždiť.

Hlavné témy (prejdite do menu) do regiónu matematiky zahŕňajú len tie vedy, v ktorých buď poriadok, alebo merať, a absolútne nie v podstate, budú tieto čísla, čísla, hviezdy, zvuky, alebo niečo iné, čo toto opatrenie nájde . Musí existovať určitá celková veda, vysvetliť všetky súvisiace s postupom a najmenej, bez vstupu do štúdie o všetkých súkromných predmetoch, a táto veda by sa mala volať cudzí, ale starý, ktorý už zaradil do používania univerzálnej matematiky.

Definícia (prejdite do menu) na klasickej matematickej analýze je založená na modernej analýze, ktorá sa považuje za jeden z troch hlavných smerov matematiky (spolu s algebrou a geometriou). Zároveň sa používa výraz "matematická analýza" v klasickom porozumení sa používa hlavne v učebných osnovách a materiáloch. V anglo-americkej tradícii, klasická matematická analýza zodpovedá programu kurzov s názvom "Calculus"

Etymológia (prejdite do menu) Slovo "matematika" sa vyskytla od iných. Čo sa učí učenie, znalosť, veda a ďalšie. -Grech, čo najskôr znamená náchylný, postupný, neskôr súvisiaci s štúdiou, následne súvisiaci s matematikou. Najmä v latinčine znamená umenie matematiky. Termín Dr. -Grech. V modernom význame tohto slova "matematika" sa už nachádza v spisoch Aristotele (IV Century Bc) v \u200b\u200btextoch v ruštine, slovo "matematika" alebo "Matematika" sa nachádza, aspoň z XVII storočia, napríklad Nicholas Kúpele v "Kniha zvolených v krátkom čase o deviatich mušákoch a SEDMI High Free Arts" (1672)