Kurs predavanja. Povećavaju se privatne i vanjske funkcije

1. argument zbílshennya i funkcija zbílshennya.

Neka je funkcija data. Uzmimo dva značenja za argument: počatkovo tu promjenu, kako je prihvaćeno da se označava
, de - vrijednost kako promijeniti argument za prijelaz s prve vrijednosti na drugu, zove se zbílshennyam argument.

Vrijednosti argumenta koje odgovaraju prvim vrijednostima funkcije: to se promenilo
, vrijednost , kako se vrijednost funkcije mijenja kada se argument promijeni za vrijednost , se poziva više funkcija.

2. Razumijevanje između funkcija u jednom trenutku.

Broj zove se granična funkcija
kada, šta pragne da yakscho za bilo koji broj
pronađite takav broj
, šta za sve
koji zadovoljava nervozu
,
.

Druga oznaka: Broj se naziva granicom funkcije kada, što je pragne za, što se tiče toga da li postoji broj, postoji takva tačka oko tačke, koja za to da li postoji krug okolo. biti imenovan
.

3. beskonačno velike i beskonačno male funkcije tačke. Funkcija tačke je beskonačno mala - funkcija, između njih, da nije moguće da tačka bude jednaka nuli. Beskonačno velika funkcija u tački - funkcija granice, ako postoji razlika, do točke veće nedosljednosti.

4. glavne teoreme između njih i njihove implikacije (bez dokaza).

posljedica: konstantni množitelj se može okriviti za granični znak:

Kao sekvenca konvergiraju i intersekvencija vídmínna víd nula, onda

sljedeće: za granični znak može se okriviti množitelj stupa.

11. Kako razumjeti između funkcija
і
i između funkcija vídmínna víd nula,

tada je također potrebno uspostaviti granicu između dvije funkcije, jednaku granici između funkcija i:

.

12. yakscho
, onda
, je pošteno i zlobno.

13. teorema o posrednom nizu. Kao sekvenca
slično, tj
і
onda

5. između funkcija o nedosljednosti.

Broj a se naziva granicom funkcije na nekonzistentnosti, (sa x pragne do nedosljednosti) u pogledu toga da li postoji niz, koji je pragne do nedosljednosti
pokazati redoslijed značenja, na šta treba preći a.

6. redels numeričkog niza.

Broj a naziva se granica numeričkog niza, kao i za bilo koji pozitivan broj postoji prirodan broj N, pa šta za sve n> N nerívníst
.

Simbolično, to stoji ovako:
fer.

Činjenica da je broj aê granični niz, označen narednim rangom:

.

7. broj "e". prirodni logaritmi.

Broj "e" nalaze se između numeričkih nizova, n- th član
, onda.

.

Prirodni logaritam - logaritam sa bazom tobto. naznačeni su prirodni logaritmi
bez zakazivanja.

Broj
omogućava vam prelazak sa desetog logaritma na prirodni i nazad.

, Yogo se naziva modulom prijelaza iz prirodnih logaritama u desetice.

8. čuda između
,

.

Prva granica čuda:

na takav način

iza teoreme o posrednom nizu

druga čudesna granica:

.

Dokazati osnovu granice
vikoristovuyut lema: za be-tako vatreni broj
і
neravnina je pravedna
(2) (kada
ili
nervoza prelazi u ljubomoru.)

Niz (1) se može napisati na sljedeći način:

.

Pogledajmo sada sljedeću sekvencu iz zglobnog člana
perekonaêmosya, da se ona mijenja i obrubljuje odozdo:
yakscho
, tada se redoslijed mijenja. Yakscho
sekvenca je obrubljena na dnu. da pokažemo:

na osnovu smirenosti (2)

tobto.
ili
. Odnosno, redosled se menja i tako dalje. tada je niz oivičen odozdo. Kao da se sekvenca mijenja i graniči odozdo, može postojati između. Todi

može biti između tog niza (1), tj. do.

і
.

L. Euler imenuje granicu .

9. jednostrane granice, proširenje funkcija.

broj A livu između, o tome da li je niz pobjednički ili ne ovako: .

broj A desno između, što se tiče toga da li je sekvenca vikonuetsya ovako: .

Šta je sledeće a leže u području dodijeljene funkcije, ili njen između, prekidaju mentalni kontinuitet funkcije, tačka a naziva se tačka širenja ili razvoj funkcije. yakscho u pravoj tački

12. zbir članova nedovršene recesivne geometrijske progresije. Geometrijska progresija je niz, u kom slučaju između nadolazećih, prednji članovi ostaju trajni, a ova promjena se naziva znakom napretka. Zbroj prvog nčlanovi geometrijske progresije izraženi su formulom
tsyu formula ručno vykoristovuvatime recesivnu geometrijsku progresiju - progresiju u kojoj je apsolutna vrijednost standarda manja od nule. - Prvi član; - znak napretka; - Broj preuzetog člana niza. Zbir neograničene recesivne progresije je broj koji nije ograničen zbirom prvih članova recesivne progresije uz neograničeno povećanje broja.
onda. Zbir članova neumoljivo spore geometrijske progresije je skuplji .

iz medicinske i biološke fizike

Predavanje №1

VIROBNICH I DIFERENCIJALNA FUNKCIJA.

PRIVATE VIROBNICHI.

1. Ponyatya pokhídnoí̈, í̈í̈ mekhaníchny i ​​geometrijski zmíst.

a ) Povećanje argumenta te funkcije.

Neka je data funkcija y = f (x), gdje je x vrijednost argumenta iz područja dodijeljene funkcije. Ako odaberete dvije vrijednosti argumenta x o í x íz prvog intervala područja funkcije, tada se razlika između dvije vrijednosti argumenta naziva veći argument: x - x o =∆x.

Vrijednost argumenta x može se dodijeliti u smislu x 0 i istog povećanja: x \u003d x pro + ∆x.

Razlika između vrijednosti dvije funkcije naziva se veća funkcija: ∆y = ∆f = f(x pro + ∆x) - f(x o).

Povećanje argumenta i funkcije može se prikazati grafički (slika 1). Povećanje argumenta i povećanje funkcije može biti i pozitivno i negativno. Kao što je prikazano na slici 1, geometrijsko povećanje argumenta ∆h prikazano je kao povećanje apscise, a povećanje funkcije ∆y - povećanjem ordinate. Proračun povećanja sljedećih funkcija vrši se u ofanzivnom redoslijedu:

dajemo argumentu povećanje ∆x i uzimamo vrijednost - x + Δx;

2) poznata vrednost funkcije vrednosti argumenta (h+∆h) – f(h+∆h);

3) značajno povećanje funkcije ∆f=f(h + ∆h) - f(h).

zadnjica: Promijenite funkciju y=h 2, mijenjajući tako argument sa x pro =1 na x=3. Za tačku x oko vrijednosti funkcije f(x o) = x²; za tačku (xo + ∆x) vrijednost funkcije f (xo + ∆x) = (xo + ∆x) 2 = x² o +2x o ∆x + ∆x 2, zvijezde ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) = (x o + ∆x) 2 -x² o = x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o = 2x oko ∆x + ∆x 2; ∆f = 2h oko ∆h+∆h 2; ∆h = 3-1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Zavdannya, scho za proizvodnju da se shvati ružno. Vznachennya pokhídnoi, í̈í̈ physíchny zmíst.

Razumijevanje argumenta i funkcije neophodno je za uvođenje razumijevanja siromašnih, budući da je to povijesno zbog potrebe da se označi sigurnost tihih i drugih procesa.

Pogledajmo kako se može vidjeti brzina pravolinijskog kretanja. Neka tijelo kolabira pravo van zakona: ∆S=  ∆t. Za jednaku cirkulaciju: = ∆S/∆t.

Za promjenjivu brzinu, vrijednosti ∆Ẑ/∆t je dodijeljena vrijednost  porívn. , zatim  porívn. =∆S/∆t. Međutim, prosječna švedskost ne daje mogućnost zamisliti posebnost kretanja tijela i datum objave pravog švedskosti u vrijeme t. Sa promjenom sata, tj. pri ∆t→0, prosječna glatkoća je tačno do svoje sredine - mittevskoy oštrine:

 inst. =
 porívn. =
∆S/∆t.

Ovako se manifestuje hemijska reakcija i mitteva:

 inst. =
 porívn. =
∆h/∆t,

de x - količina govora koja je nastala tokom hemijske reakcije za sat vremena t. Slični zadaci za označavanje fleksibilnosti različitih procesa dovedeni su do uvođenja u matematiku razumijevanja slučajnih funkcija.

Neka je funkcija f(h) data bez prekida, dodijeljena na intervalu ]a,b[íê inkrement ∆f=f(x+∆x)–f(x).
ê funkcija ∆x koja okreće prosječnu brzinu promjene funkcije.

Mezha vídnosyn , ako je ∆h→0, razmislite o tome šta je između, naziva se slučajna funkcija :

y" x =

.

Pokhídna se označava:
- (grčki potez na ix); " (x) - (ef potez na ix) ; y" - (crta za graviranje); dy / dh – (de igreek to de iks); - (Igrek sa tačkom).

Odlazeći od sudbine pokhídnoi, možemo reći da mitteva shvidkíst príkílíyníy ruhu êê khídny vídnoj shlyakhu do sata:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Na ovaj način možete kreirati nevtišnu vysnovku, koja je slična funkciji iza argumenta x ê mitteva, promijenite funkciju f(x):

y" x = f " (x) =  inst.

Kome Poljaci imaju fizički osjećaj slično. Proces poznavanja razlike naziva se diferencijacija, kojoj je izraz “razlikovati funkciju” ekvivalentan izrazu “znati razliku funkcije”.

v)Geometrijski smisao je sličan.

P
derivacija funkcije y = f (x) može biti jednostavno geometrijsko značenje, vezano za koncepte dotichí̈ za krivu liniju u tački deyakíy M. Na taj način, dotichno, tobto. ravna linija se analitički rotira y gledajući y = kx = tg x, de? – Kut loše dotičan (ravno) na os X. Vidljivo bezperervnu krivu kao funkciju y = f (x), uzmite na krivu tačku M_ blizu nje, tačku M 1 i povucite kroz njih s_chnu. Njen koeficijent rezanja do sec =tg β = .Da bi se tačka M 1 približila M, onda povećanje argumenta ∆h će se pomeriti na nulu, a podudaranje na β = α će zauzeti poziciju tačke. Sa slike 2 vidimo: tgα =
tgβ =
=y" x .

to = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Također, gornji koeficijent, koji vrijedi grafik funkcije u ovoj tački, starija vrijednost je slična u tački okretanja. Za koje je poligaê geometrijski smisao sličan.

G)Zagalne pravilo znakhodzhennya pokhídnoi.

Od određenog vremena, proces razlikovanja funkcije može biti uvredljiv rang:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

znati više funkcija: ∆f= f(h + ∆h) - f(h);

zbroji povećanje funkcije s povećanjem argumenta:

;

zadnjica: f(x)=x 2; f " (x) =?.

Međutim, kao što možete vidjeti iz ove jednostavne zadnjice, zastosuvannya zastosuvannoí̈ zastosuvannoí̈ sledovností píd pokhídnyh pokhídnyh - proces trudomístkiy i preklapanje. Stoga se za različite funkcije uvode opće formule diferencijacije, kao što je prikazano u tabeli "Osnovne formule za diferencijaciju funkcija".

Ne dozvolite da nam život kaže tačno značenje bilo koje količine. Ponekad morate znati o promjeni vrijednosti autobusa, na primjer, prosječna brzina autobusa, promjena veličine kretanja prije intervala itd. Da biste uravnotežili vrijednost funkcije u trenutnoj tački sa vrijednostima funkcije u drugim točkama, ručno osvojite razumijevanje, kao što su "prirast funkcije" i "prirast argumenta".

Koncept "povećanje funkcije" i "povećanje argumenta"

Moguće je da je x dovoljno dobra tačka da leži blizu tačke x0. Povećanje argumenta u tački x0 naziva se razlika x-x0. Povećanje je prikazano na sljedeći način: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Drugim riječima, vrijednost se također naziva povećanjem nezavisne promjene u tački x0. Tri formule su održive: x = x0 + ∆x. U takvim situacijama izgleda da je prosječna vrijednost nezavisne promjene x0 oduzela prirast od ∆x.

Ako promijenimo argument, tada će se promijeniti i vrijednost funkcije.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆h) – f(x0).

Veće funkcije f u tački x0, razlika f(x0 + ∆h) - f(x0) naziva se razlika u rastu ∆h. Prirast funkcije je označen napredujućim rangom ∆f. U ovom rangu uzimamo ga za imenovanje:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Drugim riječima, ∆f se također naziva povećanjem ugare i u svrhu razumijevanja vikorista ∆y, kao funkcija bule, na primjer, y = f (x).

Geometrijska senzacija

Pogledajte nadolazeće mališane.

Poput bahita, povećanje pokazuje promjenu ordinate i apscise tačke. A proširenje povećanja funkcije na povećanje argumenta je određeno da je neuredno, da prolazi kroz razdvojene i krajnje pozicije tačke.

Pogledajmo veću funkciju i argument

primjer 1. Pronađite povećanje argumenta ∆x i povećanje funkcije ∆f u tački x0, pa je f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Ubrzavanje sa formulama, pokazujući više:

a) ∆x = x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

guza 2. Izračunajte povećanje ∆f za funkciju f(x) = 1/x u tački x0, kao povećanje argumenta ∆x.

Pa, znam, ubrzavam sa formulama, uzimam više.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Zakazivanje 1

Ako se skin bet $(x,y)$ vrijednost dvije nezavisne varijable s u području stavi kao razlika između jednake vrijednosti $z$, onda izgleda da je $z$ funkcija dvije varijable $(x) ,y)$. Značajno: $ z = f (x, y) $.

Kolika je cijena funkcije $z=f(x,y)$ jasno je razumjeti ukupni (ponovljeni) i dio priraštaja funkcije.

Dajemo funkciju $ z = f (x, y) $ od dvije nezavisne promjene $ (x, y) $.

Napomena 1

Dijelovi promjene $(x,y)$ su nezavisni, jedan od njih se može promijeniti, inače će zadržati trajnu vrijednost.

Promijenimo $x$ uštede za $\Delta x$, dok vrijednost promjene $y$ sačuvamo nepromijenjenu.

Ista funkcija $z=f(x,y)$ oduzima povećanje, kao da bi se to nazvalo privatnim povećanjem funkcije $z=f(x,y)$ za promjenu $x$. Oznaka:

Slično, vrijednost promjene $ y $ se čuva $ \ Delta y $, dok je čuvanje vrijednosti promjene $ x $ nepromijenjeno.

Ista funkcija $z=f(x,y)$ oduzima povećanje, kao da se naziva privatnim povećanjem funkcije $z=f(x,y)$ za promjenu $y$. Oznaka:

Ako je argumentu $x$ dato povećanje od $\Delta x$, a argumentu $y$ povećanje za $\Delta y$, onda je izlaz izvan povećanja date funkcije $z=f(x ,y)$. Oznaka:

Ovim redom, možda:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - privatno proširenje $z=f(x,y)$ preko $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - privatno proširenje $z=f(x,y)$ preko $y$;

$ \Delta z = f (x + \Delta x, y + \Delta y) - f (x, y) $ - maksimalna funkcija $ z = f (x, y) $.

guza 1

Rješenje:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - privatno proširenje $z=f(x,y)$ preko $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - privatno proširenje funkcije $z=f(x,y)$ u $y$.

$ \Delta z = x + \Delta x + y + \Delta y $ - ukupna ekstenzija funkcije $ z = f (x, y) $.

guza 2

Nabrojite privatne dodatne funkcije $z=xy$ u tački $(1;2)$ za $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Rješenje:

U svrhu privatnog bogatstva znamo:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - privatno proširenje za $z=f(x,y)$ preko $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - privatno proširenje za $z=f(x,y)$ preko $y$;

U svrhu potpunog oporavka znamo:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - ukupna ekstenzija funkcije $z=f(x,y)$.

otzhe,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Napomena 2

Dodatni porast date funkcije $ z = f (x, y) $ nije zdrav zbir njenih privatnih prirasta $ \ Delta _ (x) z $ i $ \ Delta _ (y) z $. Matematička notacija: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

guza 3

Revidirati odobreno poštovanje funkcije

Rješenje:

$\Delta_(x)z=x+\Deltax+y$; $\Delta_(y)z=x+y+\Deltay$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (izbrisano u aplikaciji 1)

Javite nam zbir privatnih vrijednosti date funkcije $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Zakazivanje 2

Što se tiče skin trostrukog $(x,y,z)$, vrijednost tri nezavisne varijable vrijednosti $w$ je postavljena na vrijednost $w$, onda se čini da je $w$ funkcija od tri varijabla $(x,y,z)$ vrijednosti galije.

Potpis: $ w = f (x, y, z) $.

Zakazivanje 3

Što se tiče skin agregata $(x,y,z,...,t)$, vrijednost nezavisne varijable vrijednosti $w$ se uzima kao vrijednost $w$, onda se čini da je $w$ je funkcija varijable $(x,y, z,...,t)$

Potpis: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Za funkciju tri i više promjena, slično kao i funkcija dvije promjene, za kožu promjena su naznačeni privatni prirasti:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - funkcija privatne ekstenzije $w=f(x,y,z,...,t) ) $ po $ z $;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - ekstenzija privatne funkcije $w=f (x, y, z, ..., t) $ po $ t $.

guza 4

Snimite privatne i dodatne funkcije

Rješenje:

U svrhu privatnog bogatstva znamo:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - privatno proširenje $w=f(x,y,z)$ preko $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - funkcija privatne ekstenzije $w=f(x,y,z)$ u $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - privatno proširenje za $w=f(x,y,z)$ u $z$;

U svrhu potpunog oporavka znamo:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - ukupna ekstenzija funkcije $w=f(x,y,z)$.

guza 5

Nabrojite privatne vanjske funkcije $w=xyz$ u tački $(1;2;1)$ za $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta z = $0.1.

Rješenje:

U svrhu privatnog bogatstva znamo:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - privatno proširenje $w=f(x,y,z)$ preko $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - privatno proširenje za $w=f(x,y,z)$ u $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - privatno proširenje za $w=f(x,y,z)$ u $z$;

U svrhu potpunog oporavka znamo:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - ukupna ekstenzija funkcije $w=f(x,y,z)$.

otzhe,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Od geometrijskih tačaka jaza oko povećanja funkcije $z=f(x,y)$ (u zavisnosti od $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) će povećati rast funkcija grafičke primenljivosti $z=f(x,y)$ pri prelasku iz tačke $M(x,y)$ do tačke $M_(1) (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (slika 1).

Mala 1.