Як віднімаються дроби з однаковими знаменниками. Складання дробів з цілими числами та різними знаменниками

Ваша дитина принесла домашнє завдання зі школи, і ви не знаєте як її вирішити? Тоді цей міні-урок для вас!

Як складати десяткові дроби

Десяткові дроби зручніше складати у стовпчик. Щоб виконати додавання десяткових дробів, треба дотримуватися одного простого правила:

• Розряд повинен знаходитися під розрядом, кома під комою.

Як ви бачите на прикладі, цілі одиниці знаходяться один під одним, розряд десятих і сотих знаходиться один під одним. Тепер складаємо числа, не звертаючи уваги на кому. Що ж робити з комою? Кома переноситься на те місце, де стояла в розряді цілих.

Додавання дробів з рівними знаменниками

Щоб виконати складання із загальним знаменником, треба зберегти знаменник без зміни, знайти суму чисельників і отримаємо дріб, який буде загальною сумою.

Додавання дробів з різними знаменниками методом знаходження загального кратного

Перше, на що треба звернути увагу – це знаменники. Знаменники різні, чи не діляться одне на інше, чи простими числами. Для початку треба привести до одного спільного знаменника, для цього існує кілька способів:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, для розв'язання цього прикладу треба знайти найменше загальне кратне число (НОК), яке ділитися на 2 знаменника. Для позначення найменшого кратного чисел a та b – НОК (а; b). У цьому прикладі НОК (3;4)=12. Перевіряємо: 12: 3 = 4; 12: 4 = 3.
• Перемножуємо множники та виконуємо складання отриманих чисел, отримуємо 13/12 – неправильний дріб.

• Для того щоб перевести неправильний дріб у правильний, розділимо чисельник на знаменник, отримаємо ціле число 1, залишок 1 – чисельник та 12 – знаменник.

Додавання дробів методом множення хрест на хрест

Для складання дробів із різними знаменниками існує ще один спосіб за формулою “хрест на хрест”. Це гарантований спосіб вирівняти знаменники, для цього вам треба чисельники перемножити зі знаменником одного дробу і назад. Якщо ви тільки на початковому етапі вивчення дробів, то цей спосіб найпростіший і найточніший, як отримати правильний результат при складанні дробів з різними знаменниками.

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої ​​звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

1. Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
2. Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
3. Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

1. Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
2. Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
3. Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
4. Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.

Змішані дроби також, як і прості дроби можна віднімати. Щоб відібрати змішані числа дробів потрібно знати кілька правил віднімання. Вивчимо ці правила на прикладах.

Віднімання змішаних дробів із однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад з умовою, що ціле, що зменшується, і дробова частина більше відповідно віднімається цілої і дробової частини. За таких умов віднімання відбувається окремо. Цілу частину віднімаємо з цілої частини, а дробову частину з дробової .

Розглянемо приклад:

Виконайте віднімання змішаних дробів \(5\frac(3)(7)\) і \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Правильність віднімання перевіряється додаванням. Зробимо перевірку віднімання:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Розглянемо приклад з умовою, коли дробова частина меншого, що зменшується, відповідно відповідно дробової частини віднімається. У такому разі ми займаємо одиницю у цілого в зменшуваному.

Розглянемо приклад:

Виконайте віднімання змішаних дробів \(6\frac(1)(4)\) і \(3\frac(3)(4)\).

У зменшуваного \(6\frac(1)(4)\) дробова частина менше ніж у дробової частини віднімається \(3\frac(3)(4)\). Тобто \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\end(align)\)

Наступний приклад:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Віднімання змішаного дробу від цілого числа.

Приклад: \(3-1\frac(2)(5)\)

Зменшуване 3 не має дробової частини, тому відразу відібрати ми не зможемо. Займемо у цілої частини у 3 одиницю, а потім виконаємо віднімання. Одиницю ми запишемо як \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Віднімання змішаних дробів із різними знаменниками.

Розглянемо приклад із умовою, якщо дробові частини зменшуваного і віднімається з різними знаменниками. Потрібно привести до спільного знаменника, а потім виконати віднімання.

Виконайте віднімання двох змішаних дробів з різними знаменниками \(2\frac(2)(3)\) і \(1\frac(1)(4)\).

Спільним знаменником буде число 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Питання на тему:
Як віднімати змішані дроби? Як вирішувати змішані дроби?
Відповідь: потрібно визначитися до якого типу ставитися вираз і типу виразу застосовувати алгоритм рішення. З цілої частини віднімаємо ціле, у дробової частини віднімаємо дробову частину.

Як від цілого числа відняти дріб? Як від цілого числа відібрати дріб?
Відповідь: у цілого числа потрібно зайняти одиницю та записати цю одиницю у вигляді дробу

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

а потім ціле відібрати від цілого, дробову частину відібрати від дробової частини. Приклад:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Приклад №1:
Виконайте віднімання правильного дробу з одиниці: а) \(1-\frac(8)(33)\) б) \(1-\frac(6)(7)\)

Рішення:
а) Подаємо одиницю як дріб із знаменником 33. Отримаємо \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

б) Представимо одиницю як дріб із знаменником 7. Отримаємо \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Приклад №2:
Виконайте віднімання змішаного дробу з цілого числа: а) \(21-10\frac(4)(5)\) б) \(2-1\frac(1)(3)\)

Рішення:
а) Займемо у цілого числа 21 одиницю і розпишемо так (21 = 20 + 1 = 20 + frac(5)(5) = 20 frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\)

б) Займемо у цілого числа 2 одиницю і розпишемо так (2 = 1 + 1 = 1 + frac(3)(3) = 1 frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\)

Приклад №3:
Виконайте віднімання цілого числа із змішаного дробу: а) \(15\frac(6)(17)-4\) б) \(23\frac(1)(2)-12\)

а) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

б) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Приклад № 4:
Виконайте віднімання правильного дробу із змішаного дробу: а) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\)

Приклад №5:
Обчисліть \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\&= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\ \end(align)\)

Наступна дія, яку можна виконувати зі звичайними дробами, - віднімання. У рамках цього матеріалу ми розглянемо, як правильно обчислити різницю дробів з однаковими та різними знаменниками, як відняти дріб з натурального числа і навпаки. Усі приклади будуть проілюстровані завданнями. Заздалегідь уточнимо, що ми розбиратимемо лише випадки, коли різниця дробів дає в результаті позитивне число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Як знайти різницю дробів з однаковими знаменниками

Почнемо відразу з наочного прикладу: припустимо, ми маємо яблуко, яке розділили на вісім частин. Залишимо п'ять частин на тарілці та заберемо дві з них. Цю дію можна записати так:

У результаті у нас залишилося 3 восьми частки, оскільки 5 − 2 = 3 . Виходить, що 58 - 28 = 38.

Завдяки цьому простому прикладу ми побачили, як працює правило віднімання для дробів, знаменники яких однакові. Сформулюємо його.

Визначення 1

Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, потрібно від числа одного відняти чисельник іншого, а знаменник залишити колишнім. Це правило можна записати у вигляді a b - c b = a - c b.

Таку формулу ми будемо використовувати і надалі.

Візьмемо конкретні приклади.

Приклад 1

Відніміть з дробу 24 15 звичайний дріб 17 15 .

Рішення

Ми, що ці дроби мають однакові знаменники. Тому все, що нам потрібно зробити, – це відняти 17 із 24 . Ми отримуємо 7 і дописуємо до неї знаменник, отримуємо 7 15 .

Наші підрахунки можна записати так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Якщо необхідно, можна скоротити складний дріб або виділити цілу частину з неправильної, щоб вважати зручніше.

Приклад 2

Знайдіть різницю 37 12 - 15 12 .

Рішення

Скористаємося описаною вище формулою та підрахуємо: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Легко помітити, що чисельник і знаменник можна поділити на 2 (про це ми вже говорили раніше, коли розбирали ознаки ділимості). Скоротивши відповідь, отримаємо 11 6 . Це неправильний дріб, з якого ми виділимо цілу частину: 11 6 = 1 5 6 .

Як знайти різницю дробів з різними знаменниками

Таку математичну дію можна звести до того, що ми вже описували вище. Для цього просто наведемо потрібні дроби до одного знаменника. Сформулюємо визначення:

Визначення 2

Щоб знайти різницю дробів, які мають різні знаменники, необхідно привести їх до одного знаменника і знайти різницю чисельників.

Розглянемо з прикладу, як це робиться.

Приклад 3

Відніміть із 2 9 дріб 1 15 .

Рішення

Знаменники різні, і слід привести їх до найменшого загального значення. У цьому випадку НОК дорівнює 45 . Для першого дробу необхідний додатковий множник 5, а для другого – 3 .

Підрахуємо: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас вийшло два дроби з однаковим знаменником, і тепер ми легко можемо знайти їх різницю за описаним раніше алгоритмом: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Короткий запис рішення має такий вигляд: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .

Не варто нехтувати скороченням результату або виділенням із нього цілої частини, якщо це необхідно. У цьому прикладі нам цього не потрібно робити.

Приклад 4

Знайдіть різницю 19 9 - 7 36 .

Рішення

Наведемо зазначені в умові дробу до найменшого спільного знаменника 36 і отримаємо відповідно 769 і 736 .

Вважаємо відповідь: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Результат можна скоротити на 3 і отримати 23 12 . Чисельник більший за знаменник, а значить, ми можемо виділити цілу частину. Підсумкова відповідь - 1 11 12 .

Короткий запис всього рішення - 19 9 - 7 36 = 11112.

Як відняти від звичайного дробу натуральне число

Така дія також легко звести до простого віднімання звичайних дробів. Це можна зробити, представивши натуральну кількість у вигляді дробу. Покажемо з прикладу.

Приклад 5

Знайдіть різницю 83 21 – 3 .

Рішення

3 - те саме, що і 3 1 . Тоді можна підрахувати так: 83 21 – 3 = 20 21 .

Якщо необхідно вирахувати ціле число з неправильного дробу, зручніше спочатку виділити з нього ціле, записавши його у вигляді змішаного числа. Тоді попередній приклад можна вирішити інакше.

З дробу 8321 при виділенні цілої частини вийде 8321 = 32021.

Тепер просто віднімемо 3 з нього: 3 20 21 – 3 = 20 21 .

Як відняти звичайний дріб з натурального числа

Ця дія робиться аналогічно до попереднього: ми переписуємо натуральне число у вигляді дробу, наводимо обидві до єдиного знаменника і знаходимо різницю. Проілюструємо це прикладом.

Приклад 6

Знайдіть різницю: 7 - 5 3 .

Рішення

Зробимо 7 дробом 7 1 . Робимо віднімання та перетворимо кінцевий результат, виділяючи з нього цілу частину: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Є й інший спосіб зробити розрахунки. Він має деякі переваги, якими можна скористатися в тих випадках, якщо чисельники та знаменники дробів у завданні – великі числа.

Визначення 3

Якщо той дріб, який потрібно відняти, є правильним, то натуральне число, з якого ми віднімаємо, потрібно подати у вигляді суми двох чисел, одне з яких дорівнює 1 . Після цього потрібно відняти потрібний дріб з одиниці та отримати відповідь.

Приклад 7

Обчисліть різницю 1065 - 13 62 .

Рішення

Дроб, який потрібно відняти – правильний, адже його чисельник менший за знаменник. Тому нам потрібно відібрати одиницю від 1065 і відняти від неї потрібний дріб: 1065 – 13 62 = (1064 + 1) – 13 62

Тепер нам потрібно знайти відповідь. Використовуючи властивості віднімання, отриманий вираз можна записати як 1064 + 1 - 13 62 . Підрахуємо різницю в дужках. Для цього одиницю представимо як дріб 1 1 .

Виходить, що 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .

Тепер згадаємо про 1064 та сформулюємо відповідь: 1064 49 62 .

Використовуємо старий спосіб довести, що він менш зручний. Ось такі обчислення вийшли б у нас:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 106

Відповідь та сама, але підрахунки, очевидно, більш громіздкі.

Ми розглянули випадок, коли потрібно відняти правильний дріб. Якщо вона неправильна, ми замінюємо її змішаним числом і робимо віднімання за знайомими правилами.

Приклад 8

Обчисліть різницю 644 - 73 5 .

Рішення

Другий дріб – неправильний, і від нього треба відокремити цілу частину.

Тепер обчислюємо аналогічно попередньому прикладу: 630 – 3 5 = (629 + 1) – 3 5 = 629 + 1 – 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Властивості віднімання при роботі з дробами

Ті властивості, якими має віднімання натуральних чисел, поширюються і на випадки віднімання звичайних дробів. Розглянемо, як використовувати їх під час вирішення прикладів.

Приклад 9

Знайдіть різницю 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Рішення

Подібні приклади ми вже вирішували, коли розбирали віднімання суми з-поміж числа, тому діємо за вже відомим алгоритмом. Спочатку підрахуємо різницю 25 4 - 3 2 , а потім віднімемо від неї останній дріб:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Перетворимо відповідь, виділивши з неї цілу частину. Підсумок - 3 11 12 .

Короткий запис всього рішення:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Якщо у виразі є і дроби, і натуральні числа, то рекомендується при підрахунках згрупувати їх за типами.

Приклад 10

Знайдіть різницю 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Рішення

Знаючи основні властивості віднімання та додавання, ми можемо згрупувати числа наступним чином: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Завершимо розрахунки: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ця стаття починає вивчення дій з алгебраїчними дробами: докладно розглянемо такі дії як додавання і віднімання алгебраїчних дробів. Розберемо схему складання та віднімання алгебраїчних дробів як з однаковими знаменниками, так і з різними. Вивчимо, як скласти алгебраїчну дріб із многочленом і як зробити їх віднімання. На конкретних прикладах пояснимо кожен крок пошуку розв'язання задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Дії додавання та віднімання при однакових знаменниках

Схема складання звичайних дробів застосовна й у алгебраїчних. Ми знаємо, що при складанні або відніманні звичайних дробів з однаковими знаменниками необхідно скласти або відняти їх чисельники, а знаменник залишається вихідним.

Наприклад: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 і 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11 .

Відповідно аналогічним чином записується правило складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:

Визначення 1

Щоб здійснити додавання або віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, потрібно відповідно скласти чи відняти чисельники вихідних дробів, а знаменник записати без змін.

Дане правило дає можливість зробити висновок, що результат додавання або віднімання алгебраїчних дробів - новий алгебраїчний дріб (в окремому випадку: багаточлен, одночлен або число).

Наведемо приклад застосування сформульованого правила.

Приклад 1

Задані алгебраїчні дроби: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 та 3 - x · y x 2 · y - 2 . Необхідно здійснити їхнє складання.

Рішення

Вихідні дроби містять однакові знаменники. Відповідно до правила, виконаємо складання чисельників заданих дробів, а знаменник залишимо незмінним.

Склавши багаточлени, які є чисельниками вихідних дробів, отримаємо: x 2 + 2 · x · y − 5 + 3 − x · y = x 2 + (2 · x · y − x · y) − 5 + 3 = x 2 + x · y − 2.

Тоді шукана сума буде записана як: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

У практиці, як у багатьох випадках, рішення наводиться ланцюжком рівностей, що наочно показує всі етапи рішення:

x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2

Відповідь: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Результатом складання або віднімання може стати скоротитий дріб, у цьому випадку оптимально його скоротити.

Приклад 2

Необхідно відняти з дробу алгебри x x 2 - 4 · y 2 дріб 2 · y x 2 - 4 · y 2 .

Рішення

Знаменники вихідних дробів рівні. Зробимо дії з чисельниками, а саме: віднімемо з чисельника першого дробу чисельник другий, після чого запишемо результат, залишаючи знаменник незмінним:

x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = x - 2 · y x 2 - 4 · y 2

Ми бачимо, що отриманий дріб – скоротитий. Здійснимо її скорочення, перетворивши знаменник за допомогою формули різниці квадратів:

x - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) = 1 x + 2 · y

Відповідь: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

За таким же принципом складаються або віднімаються три і більше дробів алгебри при однакових знаменниках. Наприклад:

1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 = 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1

Дії додавання та віднімання при різних знаменниках

Знову звернемося до схеми дій зі звичайними дробами: щоб виконати додавання або віднімання звичайних дробів з різними знаменниками, необхідно привести їх до спільного знаменника, а потім скласти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Наприклад, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 або 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14 .

Так само за аналогією сформулюємо правило додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

Визначення 2

Щоб здійснити додавання або віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, необхідно:

• вихідні дроби призвести до спільного знаменника;
• виконати додавання або віднімання отриманих дробів з однаковими знаменниками.

Очевидно, що ключовим тут буде навичка приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника. Розберемо докладніше.

Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника

Щоб привести дроби алгебри до спільного знаменника, необхідно здійснити тотожне перетворення заданих дробів, в результаті якого знаменники вихідних дробів стають однаковими. Тут оптимально діяти за таким алгоритмом приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника:

• спочатку визначаємо загальний знаменник алгебраїчних дробів;
• потім знаходимо додаткові множники для кожного дробу, розділивши спільний знаменник на знаменники вихідних дробів;
• останньою дією чисельники та знаменники заданих алгебраїчних дробів множаться на відповідні додаткові множники.

Приклад 3

Задано алгебраїчні дроби: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a та a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Потрібно привести їх до спільного знаменника.

Рішення

Діємо за вказаним вище алгоритмом. Визначимо загальний знаменник вихідних дробів. З цією метою розкладемо знаменники заданих дробів на множники: 2 · a 3 − 4 · a 2 = 2 · a 2 · (a − 2) , 3 · a 2 − 6 · a = 3 · a · (a − 2) та 4 · a 5 - 16 · a 3 = 4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2). Звідси можемо записати спільний знаменник: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2).

Тепер ми маємо знайти додаткові множники. Розділимо, згідно з алгоритмом, знайдений спільний знаменник на знаменники вихідних дробів:

• для першого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2);
• для другого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• для третього дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)) = 3 .

Наступний крок - множення чисельників та знаменників заданих дробів на знайдені додаткові множники:

a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = (a + 2) · 6 · a · (a + 2) (2 · a 3 - 4 · a 2) · 6 · a · (a + 2) = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 3 3 · a 2 - 6 · a = (a + 3) · 4 · a 2 · ( a + 2) 3 · a 2 - 6 · a · 4 · a 2 · (a + 2) = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)

Відповідь: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Так ми привели вихідні дроби до спільного знаменника. У разі необхідності далі можна перетворити отриманий результат у вигляді дробів алгебри, здійснивши множення многочленів і одночленів в чисельниках і знаменниках.

Уточнимо також такий момент: знайдений спільний знаменник оптимально залишати у вигляді твору на випадок необхідності скоротити кінцевий дріб.

Ми докладно розглянули схему приведення вихідних алгебраїчних дробів до спільного знаменника, тепер можемо приступити до розбору прикладів на додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 4

Задані алгебраїчні дроби: 1 - 2 · x x 2 + x та 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 . Необхідно здійснити дію їхнього складання.

Рішення

Вихідні дроби мають різні знаменники, тому першою дією наведемо їх до спільного знаменника. Розкладаємо знаменники на множники: x 2 + x = x · (x + 1), а x 2 + 3 · x + 2 = (x + 1) · (x + 2) ,т.к. коріння квадратного тричлена x 2 + 3 · x + 2це числа: - 1 та - 2 . Визначаємо спільний знаменник: x · (x + 1) · (x + 2)тоді додаткові множники будуть: x + 2і - xдля першого та другого дробів відповідно.

Таким чином: 1 - 2 · x x 2 + x = 1 - 2 · x x · (x + 1) = (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) = x + 2 - 2 · x 2 - 4 · x x · (x + 1) · x + 2 = 2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) та 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) = 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Тепер складемо дроби, які ми привели до спільного знаменника:

2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = = 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · 2 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Отриманий дріб можна скоротити на загальний множник x + 1:

2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) = 2 x · (x + 2)

І, наостанок, отриманий результат запишемо у вигляді дробу алгебри, замінивши твір у знаменнику многочленом:

2 x · (x + 2) = 2 x 2 + 2 · x

Запишемо хід рішення коротко у вигляді ланцюжка рівностей:

1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 1 - 2 · x x · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2 ) = = 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x = 2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = = 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) = 2 x · (x + 2) = 2 x 2 + 2 · x

Відповідь: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 x 2 + 2 · x

Зверніть увагу ще на таку деталь: перед тим, як скласти або відняти алгебраїчні дроби, за наявності можливості їх бажано перетворити з метою спрощення.

Приклад 5

Необхідно здійснити віднімання дробів: 2 1 1 3 · x - 2 21 і 3 · x - 1 1 7 - 2 · x .

Рішення

Перетворюємо вихідні дроби алгебри для спрощення подальшого рішення. Винесемо за дужки числові коефіцієнти змінних у знаменнику:

2 1 1 3 · x - 2 21 = 2 4 3 · x - 2 21 = 2 4 3 · x - 1 14 і 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14

Дане перетворення однозначно дало нам користь: ми очевидно бачимо наявність спільного множника.

Позбавимося взагалі числових коефіцієнтів у знаменниках. Для цього використовуємо основну властивість алгебраїчних дробів: чисельник і знаменник першого дробу помножимо на 3 4 а другий на - 1 2 тоді отримаємо:

2 4 3 · x - 1 14 = 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 і 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 = - 1 2 · 3 · x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Зробимо дію, яка нам дозволить позбутися дробових коефіцієнтів: помножимо отримані дроби на 14:

3 2 x - 1 14 = 14 · 3 2 14 · x - 1 14 = 21 14 · x - 1 і - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 = 14 · - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Нарешті, виконаємо необхідну дію – віднімання:

2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 = 21 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Відповідь: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Додавання та віднімання алгебраїчного дробу та багаточлена

Ця дія зводиться також до складання або віднімання алгебраїчних дробів: необхідно подати вихідний многочлен як дріб із знаменником 1 .

Приклад 6

Необхідно зробити додавання многочлена x 2 − 3з алгебраїчним дробом 3 · x x + 2 .

Рішення

Запишемо багаточлен як алгебраїчну дріб із знаменником 1: x 2 - 3 1

Тепер можемо виконати додавання за правилом складання дробів з різними знаменниками:

x 2 - 3 + 3 · x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 · x x + 2 = x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Відповідь: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter