Curs de prelegeri. Creșterea funcției private și externe

1. Argumentul zbіlshennya și funcția zbіlshennya.

Să fie dată funcția. Să luăm două sensuri pentru argument: pochatkove acea schimbare, așa cum este acceptat să semnifice
, de - valoarea modului de schimbare a argumentului pentru trecerea de la prima valoare la alta, se numește argument zbіlshennyam.

Valorile argumentului care se potrivesc cu primele valori ale funcției: asta s-a schimbat
, valoare , deoarece valoarea funcției se modifică atunci când argumentul este schimbat cu valoarea , este apelat mai multe funcții.

2. Înțelegerea între funcții la un punct.

Număr numită funcţie de limită
când, ce pragne to yakscho pentru orice număr
găsiți un astfel de număr
, ce pentru toti
care satisface nervozitatea
,
.

O altă desemnare: Numărul se numește granița funcției când, care este pragne la, în ceea ce privește dacă există un număr, există un astfel de punct în jurul punctului, care pentru dacă există un cerc în jur. fi numit
.

3. infinit de mari și infinit de mici funcții ale unui punct. Funcția unui punct este infinit de mică - o funcție, între ele, că nu este posibil ca punctul să fie egal cu zero. Funcție infinit de mare în punct - funcția limitei, dacă există o diferență, până la punctul de inconsecvență mai mare.

4. teoreme principale despre între ele și implicațiile lor (fără dovezi).

consecință: multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul limită:

Ca o secvență converge și intersecvență vіdminna vіd zero, atunci

următorul: multiplicatorul de post poate fi acuzat pentru semnul limită.

11. Cum să înțelegeți între funcții
і
și între funcții vіdminna vіd zero,

atunci este de asemenea necesar să se stabilească granița dintre cele două funcții, egală granița dintre funcții și:

.

12. yakscho
, apoi
, este corect și vicios.

13. teorema despre sirul intermediar. Ca o secvență
similar, i
і
apoi

5. între funcţii pe inconsistenţă.

Numărul a se numește granița funcției pe inconsistență, (cu x pragne la inconsistență) în ceea ce privește dacă există o secvență, care este pragne la inconsistență
arătați secvența sensului, la ce să treceți dar.

6. redelele succesiunii numerice.

Număr dar numită granița șirului numeric, ca pentru orice număr pozitiv există un număr natural N, deci ce pentru toți n> N nerіvnist
.

Simbolic, arată astfel:
corect.

Faptul că numărul darє secvență limită, semnificată prin rangul care urmează:

.

7. numărul „e”. logaritmi naturali.

Număr "e" sunt între secvențe numerice, n- al-lea membru
, apoi.

.

Logaritm natural - logaritm cu bază tobto. sunt indicați logaritmii naturali
fara programare.

Număr
vă permite să treceți de la al zecelea logaritm la cel natural și înapoi.

, Yogo este numit modulul de tranziție de la logaritmii naturali la zeci.

8. minuni între
,

.

Prima graniță minune:

Într-o asemenea manieră

în spatele teoremei despre succesiunea intermediară

altă graniță miraculoasă:

.

Pentru a demonstra baza graniței
vikoristovuyut lema: pentru fi-un astfel de număr de foc
і
denivelările sunt corecte
(2) (când
sau
nervozitatea se transformă în gelozie.)

Secvența (1) poate fi scrisă după cum urmează:

.

Acum să ne uităm la următoarea secvență de la elementul articulat
perekonaєmosya, că se schimbă și se franjuri de jos:
yakscho
, apoi secvența se schimbă. Yakscho
secvența este mărginită în partea de jos. Să arătăm:

în virtutea ecuanimității (2)

tobto.
sau
. Adică, secvența se schimbă și așa mai departe. apoi secvența este mărginită de jos. Ca și cum secvența se schimbă și se mărginește de jos, poate exista între. Todi

poate fi între acea secvență (1), adică până la.

і
.

L. Euler denumind hotarul .

9. margini unilaterale, funcții de extindere.

numarul A livu intre, cat despre daca succesiunea este sau nu victorioasa astfel: .

numărul A drept între, în ceea ce privește dacă secvența este sau nu vikonuetsya astfel: .

Ce urmeaza dar se află în zona funcției atribuite, sau її între, întrerupe continuitatea mentală a funcției, punct dar numit punct de expansiune sau dezvoltare a unei funcţii. yakscho în punctul potrivit

12. suma termenilor progresiei geometrice recesive neterminate. Progresia geometrică este o succesiune, caz în care între cele care urmează, membrii înainte sunt lăsați permanent, iar această schimbare se numește semnul progresului. Suma primelor n membrii progresiei geometrice sunt exprimate prin formula
tsyu formula manual vykoristovuvatime progresie geometrică recesivă - progresie în care valoarea absolută a standardului este mai mică decât zero. - primul membru; - semn de progres; - Numărul membrului luat al secvenței. Suma progresiei recesive nerestricționate este un număr care nu este limitat de suma primilor membri ai progresiei recesive cu o creștere nerestricționată a numărului.
apoi. Suma termenilor unei progresii geometrice inexorabil de lente este mai scumpă .

din fizica medicala si biologica

Prelegerea №1

VIROBNICH I FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

PRIVAT VIROBNICHI.

1. Ponyatya pokhіdnoї, її mekhanіchny și zmіst geometric.

dar ) Creștere la argumentul acelei funcții.

Fie dată funcția y = f (x), unde x este valoarea argumentului din aria funcției alocate. Dacă alegeți două valori ale argumentului x o і x іz primul interval al ariei de funcție, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește argument mai mare: x - x o =∆x.

Valoarea argumentului x poate fi atribuită în termeni de x 0 și aceeași creștere: x \u003d x pro + ∆x.

Diferența dintre două valori ale funcției se numește funcție mai mare: ∆y = ∆f = f(x pro + ∆x) - f(x o).

Creșterea argumentului și a funcției poate fi prezentată grafic (Fig. 1). O creștere a argumentului și o creștere a funcției pot fi atât pozitive, cât și negative. După cum se arată în Fig. 1, creșterea geometrică a argumentului ∆х este reprezentată ca o creștere a abscisei, iar creșterea funcției ∆y - a creșterii în ordonată. Calculul creșterii următoarelor funcții se efectuează în ordine ofensivă:

dăm argumentului o creștere ∆x și luăm valoarea - x + Δx;

2) valoarea cunoscută a funcției valorii argumentului (х+∆х) – f(х+∆х);

3) creștere semnificativă a funcției ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

fund: Schimbați funcția y=х 2, schimbând astfel argumentul de la x pro =1 la x=3. Pentru un punct x despre valoarea funcției f(x o) = x²; pentru un punct (xo + ∆x) valoarea funcției f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, stele ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x despre ∆x + ∆x 2; ∆f = 2х aproximativ ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Zavdannya, scho să producă pentru a înțelege urâtul. Vznachennya pokhіdnoi, її physіchny zmіst.

Înțelegerea argumentului și a funcției este necesară pentru introducerea înțelegerii săracilor, deoarece din punct de vedere istoric se datorează nevoii de a desemna securitatea liniștii și a altor procese.

Să vedem cum poate fi văzută viteza unei mișcări în linie dreaptă. Lăsați corpul să se prăbușească direct din lege: ∆S=  ∆t. Pentru circulație egală: = ∆S/∆t.

Pentru o viteză variabilă, valorii ∆Ѕ/∆t i se atribuie valoarea  porіvn. , apoi  porіvn. =∆S/∆t. Cu toate acestea, sueditatea medie nu oferă posibilitatea de a imagina particularitatea mișcării corpului și data anunțării adevăratei suedeze la momentul t. Cu o schimbare de oră, adică. la ∆t→0, netezimea medie este chiar până la mijloc - claritatea mittevskoy:

 inst. =
 porіvn. =
∆S/∆t.

Iată cum se manifestă reacția chimică și mitteva:

 inst. =
 porіvn. =
∆х/∆t,

de x - cantitatea de vorbire care a fost făcută în timpul reacției chimice într-o oră t. Sarcini similare pentru desemnarea flexibilității diferitelor procese au fost aduse la introducerea în matematică a înțelegerii funcțiilor aleatorii.

Fie dată fără întrerupere funcția f(х), atribuită pe intervalul ]a,b[іє increment ∆f=f(x+∆x)–f(x).
є funcția ∆x care rotește viteza medie de schimbare a funcției.

Mezha vіdnosyn , dacă ∆х→0, gândiți-vă la ceea ce este între, se numește funcție aleatoare :

y" x =

.

Pokhіdna este semnificată:
- (Igreek stroke pe ix); " (x) - (ef stroke pe ix) ; y" - (trăsă de gravură); dy / dх – (de igreek la de iks); - (Igrec cu un punct).

Îndepărtându-ne de soarta pokhіdnoi, putem spune că mitteva shvidkіst prіkіlіynіy ruhu є є khіdny vіdnoj shlyakhu până la ora:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

În acest fel, puteți crea o nevtishny vysnovka, care este similară cu funcția din spatele argumentului x є mitteva schimba funcția f(x):

y" x = f " (x) =  inst.

Pe care polonezii au un simț fizic asemănător. Procesul de cunoaștere a diferenței se numește diferențiere, la care expresia „a diferenția o funcție” este echivalentă cu expresia „a cunoaște diferența unei funcții”.

în)Simțul geometric este similar.

P
funcția derivată y \u003d f (x) poate fi un sens geometric simplu, legându-se la concepte dotichї la o linie curbă în punctul deyakіy M. În acest fel, dotichno, tobto. o linie dreaptă este rotită analitic y caută y \u003d kx \u003d tg x, de? – Kut prost dotic (drept) la axa X. Vizibil bezperervnu curba ca o funcție y \u003d f (x), luați pe curba punctul M_ aproape de ea, punctul M 1 și trageți prin ele s_chnu. Її coeficient de tăiere până la sec =tg β = .Pentru a se apropia de punctul M 1 la M, atunci creșterea argumentului ∆х se va muta la zero, iar potrivirea la β = α va lua poziția punctului. Din fig. 2 vedem: tgα =
tgβ =
=y" x .

to = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). De asemenea, coeficientul de sus, care merită graficul funcției în acest punct, valoarea mai veche este similară în punctul de întoarcere. Pentru care sensul geometric poligaє este similar.

G)Zagalne guvernează znakhodzhennya pokhіdnoi.

Din momentul stabilit, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi un rang ofensiv:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

cunoașteți mai multe funcții: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

adunați creșterea funcției cu creșterea argumentului:

;

fund: f(x)=x 2; f " (x) =?.

Cu toate acestea, după cum puteți vedea din acest cap simplu, zastosuvannya zastosuvannoї zastosuvannoї sledovnostі pіd pokhіdnyh pokhіdnyh - proces trudomіstkiy și pliere. Prin urmare, pentru diverse funcții sunt introduse formule generale de diferențiere, așa cum sunt prezentate în tabelul „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

Nu lăsați viața să ne spună semnificația exactă a oricărei cantități. Uneori trebuie să știți despre modificarea valorii autobuzului, de exemplu, viteza medie a autobuzului, modificarea dimensiunii mișcării înainte de interval etc. Pentru a echilibra valoarea funcției în punctul curent cu valorile funcției în alte puncte, câștigați manual înțelegerea, cum ar fi „incrementare a funcției” și „incrementare a argumentului”.

Conceptul de „creștere a funcției” și „creștere a argumentului”

Este posibil ca x să fie un punct suficient de bun pentru a se afla lângă punctul x0. Creșterea argumentului în punctul x0 se numește diferența x-x0. Creșterea este indicată astfel: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Cu alte cuvinte, valoarea se mai numește și creșterea modificării independente în punctul x0. Sunt viabile trei formule: x = x0 + ∆x. În astfel de situații, se pare că valoarea medie a modificării independente x0 a luat incrementul lui ∆x.

Dacă schimbăm argumentul, atunci se va schimba și valoarea funcției.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Funcții mai mari f în punctul x0, diferența f(x0 + ∆х) - f(x0) se numește diferența de creștere ∆х. Creșterea funcției este indicată de rangul în avans ∆f. În acest rang, îl luăm pentru numire:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Cu alte cuvinte, ∆f se mai numește și o creștere a terenului de pânză și în scopul înțelegerii vicorist ∆y, în funcție de bula, de exemplu, y \u003d f (x).

Senzație geometrică

Uită-te la micuții care vin.

Ca o bachită, sporul arată schimbarea ordonatei și a abscisei punctului. Iar extinderea creșterii funcției la creșterea argumentului este determinată a fi neglijentă, să treacă prin pozițiile spat și de capăt ale punctului.

Să ne uităm la funcția și argumentul mai mare

exemplu 1. Aflați creșterea argumentului ∆x și creșterea funcției ∆f în punctul x0, deci f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Accelerând cu formule, îndreptând mai sus:

a) ∆x = x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

fundul 2. Calculați creșterea ∆f pentru funcția f(x) = 1/x în punctul x0, ca o creștere a argumentului ∆x.

Ei bine, știu, accelerarea cu formulele, scoaterea mai mult.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Numirea 1

Dacă skin bet $(x,y)$ valoarea a două variabile independente s din tărâm este pusă ca diferență între valoarea egală a $z$, atunci se pare că $z$ este o funcție a două variabile $(x ,y)$. Semnificativ: $ z = f (x, y) $.

Care este costul funcției $z=f(x,y)$ este clar pentru a înțelege totalul (repetat) și o parte din incrementele funcției.

Să dăm o funcție $ z = f (x, y) $ a două modificări independente $ (x, y) $.

nota 1

Fragmentele de schimbare $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele poate fi schimbată, altfel își va păstra o valoare permanentă.

Să modificăm economiile $x$ ale $\Delta x$, salvând în același timp valoarea $y$ în schimbare neschimbată.

Aceeași funcție $z=f(x,y)$ elimină o creștere, ca și cum ar fi numită o creștere privată a funcției $z=f(x,y)$ pentru o modificare $x$. Desemnare:

În mod similar, valoarea modificării $ y $ este salvată $ \ Delta y $, în timp ce salvarea valorii modificării $ x $ rămâne neschimbată.

Aceeași funcție $z=f(x,y)$ elimină creșterea, ca și când s-ar numi creștere privată a funcției $z=f(x,y)$ pentru modificarea $y$. Desemnare:

Dacă argumentului $x$ i se dă o creștere de $\Delta x$, iar argumentul $y$ este o creștere de $\Delta y$, atunci rezultatul este în afara creșterii funcției date $z=f(x ,y)$. Desemnare:

În această ordine, poate:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - extensie privată a $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - extensie privată a $z=f(x,y)$ peste $y$;

$ \Delta z = f (x + \Delta x, y + \Delta y) - f (x, y) $ - funcția maximă $ z = f (x, y) $.

fundul 1

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - extensie privată a $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - extensie privată a funcției $z=f(x,y)$ în $y$.

$ \Delta z = x + \Delta x + y + \Delta y $ - extensia totală a funcției $ z = f (x, y) $.

fundul 2

Enumerați funcțiile suplimentare private $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Soluţie:

În scopul averii private, știm:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - extensie privată a $z=f(x,y)$ peste $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - extensie privată a $z=f(x,y)$ peste $y$;

Știm în scopul recuperării totale:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - extensia totală a funcției $z=f(x,y)$.

Otzhe,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Nota 2

Creșterea suplimentară în funcția dată $ z = f (x, y) $ nu este o sumă sănătoasă a її incremente private $ \ Delta _ (x) z $ i $ \ Delta _ (y) z $. Notație matematică: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

fundul 3

Revizuiți respectul aprobat pentru funcție

Soluţie:

$\Delta_(x)z=x+\Deltax+y$; $\Delta_(y)z=x+y+\Deltay$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (șters în aplicația 1)

Să știm suma valorilor private ale funcției date $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Numirea 2

În ceea ce privește triplul skin $(x,y,z)$, valoarea a trei valori variabile independente ale lui $w$ este setată la valoarea $w$, atunci se pare că $w$ este o funcție a trei variabila $(x,y,z)$ valorează galere.

Semnătura: $ w = f (x, y, z) $.

Numirea 3

În ceea ce privește agregatul skin $(x,y,z,...,t)$, valoarea variabilelor independente de $w$ este luată ca valoare a $w$, atunci se pare că $w$ este o funcție a variabilei $(x,y,z,...,t)$

Semnătura: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pentru funcția a trei și mai multe modificări, în mod similar cu funcția a două modificări, incremente private sunt indicate pentru pielea modificărilor:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - funcție de extensie privată $w=f(x,y,z,...,t ) $ cu $ z $;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - extensie de funcție privată $w=f (x, y, z, ..., t) $ cu $ t $.

fundul 4

Înregistrați funcții private și suplimentare

Soluţie:

În scopul averii private, știm:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - extensie privată a $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - funcție de extensie privată $w=f(x,y,z)$ în $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - extensie privată a $w=f(x,y,z)$ în $z$;

Știm în scopul recuperării totale:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - extensia totală a funcției $w=f(x,y,z)$.

fundul 5

Enumerați funcțiile străine private $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z = $0,1.

Soluţie:

În scopul averii private, știm:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - extensie privată a $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - extensie privată a $w=f(x,y,z)$ în $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - extensie privată a $w=f(x,y,z)$ în $z$;

Știm în scopul recuperării totale:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - extensia totală a funcției $w=f(x,y,z)$.

Otzhe,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Din punctele geometrice ale decalajului din jurul creșterii funcției $z=f(x,y)$ (în funcție de $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) va crește creșterea funcțiilor de aplicabilitate grafică $z=f(x,y)$ la trecerea de la punctul $M(x,y)$ la punctul $M_(1) (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (Fig. 1).

Micuțul 1.