Поняття похідної

Нехай функція f(x) визначено на деякому проміжку X.Надамо значення аргументу в точці x 0 Х довільне прирощення Δ xтак, щоб точка x 0 + Δ xтакож належала X.Тоді відповідне збільшення функції f(x)складе Δ у = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Визначення 1. Похідної функції f(x)у точці x 0називається межа відношення збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу при Δ x 0 (якщо ця межа існує).

Для позначення похідної функції використовуються символи у" (x 0) або f"(x 0):

Якщо в деякій точці x 0межа (4.1) нескінченна:

то кажуть, що у точці x 0функція f(x) має нескінченну похідну.

Якщо функція f(x) має похідну в кожній точці множини X,то похідна f"(x)також є функцією від аргументу х,визначеною на X.

Геометричний сенс похідної

Для з'ясування геометричного сенсу похідної нам знадобиться визначення, що стосується графіку функції в даній точці.

Визначення 2. Стосуєтьсядо графіку функції у = f(x) у точці Мназивається граничне положення сіючої MN,коли точка Nпрагне точки Мпо кривій f(x).

Нехай точка Мна кривій f(x) відповідає значенню аргументу x 0, а крапка N -значення аргументу x 0 + Δ x(Рис. 4.1). З визначення дотичної слід, що з її існування у точці x 0необхідно, щоб існувала межа, яка дорівнює куту нахилу дотичної до осі Оx. З трикутника MNAвипливає, що

Якщо похідна функції f(x) у точці x 0існує, то, згідно (4.1), отримуємо

Звідси випливає наочний висновок у тому, що похідна f"(x 0) дорівнює кутовому коефіцієнту (тангенсу кута нахилу до позитивного напрямку осі Ох) щодо дографіку функції у = f(x) у точці М(x 0, f(x 0)). При цьому кут нахилу дотичної визначається з формули (4.2):

Фізичний сенс похідної

Припустимо, що функція l = f(t) описує закон руху матеріальної точки по прямій як залежність шляху lвід часу t.Тоді різниця Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -це шлях, пройдений за інтервал часу Δ t, а відношення Δ l/Δ t- середня швидкість за час Δ t. Тоді межа визначає миттєву швидкість точкиу момент часу tяк похідну шляху за часом.

У певному сенсі похідну функції у = f(x)можна також трактувати як швидкість зміни функції: чим більша величина f"(x), тим більше кут нахилу дотичної до кривої, тим крутіший графік f(x) і швидше зростає функція.

Права та ліва похідні

За аналогією з поняттями односторонніх меж функції вводяться поняття правої та лівої похідних функції у точці.

Визначення 3. Правою (лівою)похідної функції у = f(x)у точці x 0називається правий (лівий) межа відношення (4.1) при Δ x 0, якщо ця межа існує.

Для позначення односторонніх похідних використовується така символіка:

Якщо функція f(x) має в точці x 0похідну, вона має ліву і праву похідні в цій точці, які збігаються.

Наведемо приклад функції, яка має односторонні похідні в точці, не рівні одне одному. Це f(x) = |x|. Справді, у точці х = 0маємо f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (рис. 4.2) та f' +(0) ≠ f’ -(0), тобто. функція не має похідної при х = 0.

Операцію знаходження похідної функції називають її диференціюванням;функція, що має похідну в точці, називається диференційованою.

Зв'язок між диференційованістю та безперервністю функції у точці встановлює наступна теорема.

ТЕОРЕМА 1 . Якщо функція диференційована в точці x 0 то вона і безперервна в цій точці.

Зворотне твердження неправильне: функція f(x), безперервна в точці, може мати похідну у цій точці. Таким прикладом є функція у = |x|; вона безперервна у точці x= 0, але немає похідної у цій точці.

Таким чином, вимога диференційності функції є сильнішим, ніж вимога безперервності, оскільки з першого автоматично випливає друге.

Рівняння щодо графіку функції в даній точці

Як було зазначено в розділі 3.9, рівняння прямої, що проходить через точку М(x 0, у 0) з кутовим коефіцієнтом kмає вид

Нехай задана функція у = f(x). Тоді оскільки її похідна в деякій точці М(x 0, у 0) є кутовим коефіцієнтом щодо графіку цієї функції в точці М,то звідси випливає, що рівняння щодо графіка функції f(x) у цій точці має вигляд

Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці найскладніші завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної полягає в теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та всього кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає найвищою. Ця нова операція називається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції будуть розглянуті в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Вплив над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат складання. Або приватне- Результат розподілу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: визначити похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна штрихом вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається игр штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складна функція.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найважливіші для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як з цеглинок, можна сформулювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Зліва – елементарна функція, справа – її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C (постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій цієї таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найуживаніших формул, якщо тільки не найуживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви знаєте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає.

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0у цю саму похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставлять нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції в таблиці похідних близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітко. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, події зі ступенями... То цілком можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблична функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.

Знайти вираз для похідної експоненційної функції (y = (e^x)), користуючись визначенням похідної.

Рішення.

Початкові кроки є стандартними: спочатку запишемо збільшення функції \(\Delta y\), що відповідає приросту аргументу \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Похідна обчислюється як межа відношення прирощень: \[ (y"\left(x \right) ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Функція \(y = (e^x)\) у чисельнику не залежить від Δ xі його можна винести за знак межі. Тоді похідна набуває такого вигляду: \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Позначимо отриману межу через \(L\) і обчислимо її окремо. принагідно, що \((e^0) = 1\) і тому можна записати \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] тобто дана межа є значенням похідної показової функції в нулі. Отже, \ Ми отримали співвідношення, в якому похідна виражається через саму функцію \(y = (e^x)\) і її похідну в точці \(x = 0\). Доведемо, що \ Для цього пригадаємо, що число \(e\) визначається у вигляді нескінченної межі як \ а число \(e\) у ступені \(\Delta x\) буде, відповідно, дорівнює \[(e^(\) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n).\] Далі застосуємо знамениту формулу бінома Ньютона і розкладемо вираз під знаком межі в біноміальний ряд: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Тут \((C_n^k)\) позначає число поєднань з \(n\) елементів по \(k\) ). У європейських та американських підручниках число поєднань позначається як \ Повернемося до нашої межі \(L\), яку тепер можна записати в такому вигляді: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \) left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Нам зручно у біноміальному ряді виділити перші два доданки: при \(k = 0\) та \(k = 1\). В результаті отримуємо \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x)))) )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Del) ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right))^(k - 1)))))(( (n^k)))) ) \right)) \right].) \] Очевидно, що сума ряду прагне до нуля при \(\Delta x \to 0\). Тому, (L = 1). Це означає, що похідна експоненційної функції \(y = (e^x)\) дорівнює самій функції: \

Нехай в околиці точки визначена функція Похідної функції в точці називається межа, якщо вона існує,

Загальноприйняті позначення похідної функції у точці

Таблиця похідних

Геометричний сенс похідної функції у точці.

Розглянемо січну АВграфіка функції y=f(x)таку, що крапки Аі Вмають відповідно координати та , де - збільшення аргументу. Позначимо через збільшення функції. Зазначимо все на кресленні:

З прямокутного трикутника АВСмаємо. Оскільки за визначенням дотична – це граничне становище січень, то .

Згадаймо визначення похідної функції у точці: похідної функції y=f(x)у точці називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу при , позначається .

Отже, , де - Кутовий коефіцієнт дотичної.

Таким чином, існування похідної функції y=f(x)у точці еквівалентно існуванню дотичної до графіку функції y=f(x)у точці торкання , причому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної у точці, тобто .

Укладаємо: геометричний сенс похідної функції у точціполягає у існуванні дотичної до графіка функції у цій точці.

20 Диференційність функції у точці. Необхідна та достатня умова диференційності.

Прирощення диференційованої у цій точці функції можна як лінійну функцію збільшення аргументу з точністю до величин вищого порядку малости. Це означає, що з досить малих околиць цієї точки функцію можна замінити лінійної (швидкість зміни функції вважатимуться незмінною). Лінійна частина збільшення функції називається її диференціалом (у даній точці).

Необхідною, але недостатньою умовою диференційності є безперервність функції. У разі функції від однієї речовинної змінної диференційованість рівносильна існуванню похідної. У разі функції кількох речових змінних необхідною (але не достатньою) умовою диференційності є існування приватних похідних по всіх змінних. Для диференційності функції декількох змінних у точці достатньо, щоб приватні похідні існували в околиці даної точки і були безперервні в даній точці.

21 Диференційність функції у точці. Теорема про безперервність функції, що диференціюється.

Теорема.

Якщо функція у цій точці диференційована, то цій точці функція безперервна.

Доказ.

Нехай функція y=f(x)y=f(x) диференційована в точці x0x0, тоді збільшення цієї функції дорівнює Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx)⋅x.

При прагненні збільшення аргументу функції ΔxΔx до нуля збільшення функції ΔyΔyтакож прагне до нуля, а це і означає безперервність функції.

Тобто ми отримали, що функція y=f(x)y=f(x), диференційована у точці x0x0, є у цій точці і безперервною функцією. Що й потрібно було довести.

Таким чином, неприривність функції в даній точці є необхідною, але недостатньою умовою для диференційності функції.

приклад.

Функція y=|x|y=|x| у точці x0x0 є безперервною функцією, але у цій точці функція не диференційована.

Справді, збільшення функції дорівнює:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

При цьому отримуємо:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Межа limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не існує, а значить, функція y=|x|y=|x|, безперервна в точці x0x0, не диференційована в цій точці.

22 Диференціал функції. Геометричний сенс диференціалу.

Диференціалом функції у певній точці xназивається головна, лінійна частина збільшення функції.

Диференціал функції y = f(x) дорівнює твору її похідної на збільшення незалежної змінної x(Аргументу).

Це записується так:

Геометричний сенс диференціалу.Диференціал функції y = f(x) дорівнює приросту ординати дотичної S, проведеної до графіка цієї функції у точці M( x; y), при зміні x(аргументу) на величину (див. малюнок).

23 Правило диференційності суми та добутку.

Для доказу другого правила диференціювання скористаємося визначенням похідної та властивістю межі безперервної функції.

Подібним чином можна довести, що похідна сума (різниця) nфункцій дорівнює сумі (різниці) nпохідних

Доведемо правило диференціювання добутку двох функцій.

Запишемо межу відношення збільшення твору функцій до збільшення аргументу. Враховуватимемо, що і (приріст функції прагнути до нуля при прирощенні аргументу, що прагне до нуля).

Що й потрібно було довести.

24 Інваріантність форми 1 диференціала.

Інваріантність форми першого диференціалу

Якщо x- незалежна змінна, то dx = x - x 0 (фіксоване збільшення). У цьому випадку маємо

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Якщо x = φ (t) - диференційована функція, то dx = φ" (t 0)dt. Отже,

тобто перший диференціал має властивість інваріантності щодо заміни аргументу.

25 Теорема Роля.

Теорема Ролля (теорема про нуль похідної) стверджує, що

Доказ

Якщо функція на відрізку стала, то твердження очевидне, оскільки похідна функції дорівнює нулю в будь-якій точці інтервалу.

Якщо ж ні, оскільки значення функції в граничних точках сегмента рівні, то відповідно до теореми Вейєрштрасса, вона набуває свого найбільшого або найменшого значення в деякій точці інтервалу, тобто має в цій точці локальний екстремум, і за Лемме Ферма, в цій точці похідна дорівнює 0 .

Геометричний сенс

Теорема стверджує, що якщо ординати обох кінців гладкої кривої рівні, то на кривій знайдеться точка, в якій дотична до кривої паралельна осі абсцис.

26 Теорема Лагранжа та її наслідки.

Формула кінцевих прирощеньабо теорема Лагранжа про середнє значеннястверджує, що якщо функція безперервна на відрізку і диференційована в інтервалі, то знайдеться така точка, що

.

Геометричноце можна переформулювати так: на відрізку знайдеться точка, в якій дотична паралельна хорді, що проходить через точки графіка, що відповідають кінцям відрізка.

Механічне тлумачення: Нехай відстань точки в момент від початкового положення. Тоді є шлях, пройдений з моменту до моменту, відношення – середня швидкість за цей проміжок. Значить, якщо швидкість тіла визначена у будь-який момент часу , то певний момент вона дорівнюватиме своєму середньому значенню на цій ділянці.

Доказ

Для функції однієї змінної:

Введемо функцію. Для неї виконані умови теореми Роля: на кінцях відрізка її значення дорівнюють нулю. Скориставшись згаданою теоремою, отримаємо, що є точка , у якій похідна функції дорівнює нулю:

що й потрібно було довести.

Наслідки та узагальнення

Теорема Лагранжа про кінцеві прирости - одне з найважливіших, вузлова теорема у всій системі диференціального обчислення. Вона має багато додатків у обчислювальної математики, і найголовніші теореми математичного аналізу також є її наслідками.

Наслідок 1.Функція, що диференціюється на відрізку, з похідною, що дорівнює нулю, є константа.

Доказ.Для будь-яких і існує точка, така що.

Значить, при всіх і правильна рівність.

Наслідок 2 (Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа).Якщо функція диференційована раз на околиці точки, то для малих (тобто тих, для яких відрізок лежить у зазначеній околиці) справедлива формула Тейлора:

де - деяке число з інтервалу.

Наслідок 3.Якщо функція змінних двічі диференційована на околиці точки Про і всі інші змішані похідні безперервні в точці О, тоді в цій точці справедлива рівність:

Доказ для .Зафіксуємо значення та розглянемо різницеві оператори

По теоремі Лагранжа існують числа , такі що

при через безперервність других похідних функції.

Аналогічно доводиться, що .

Але оскільки , (що перевіряється безпосередньо), ці межі збігаються.

Наслідок 4 (Формула Ньютона-Лейбніца).Якщо функція диференційована на відрізку та її похідна інтегрована за Ріманом у цьому відрізку, то справедлива формула: .

Доказ.Нехай - довільне розбиття відрізка. Застосовуючи теорему Лагранжа, кожному з відрізків знайдемо точку таку, що .

Підсумовуючи ці рівності, отримаємо:

Ліворуч стоїть інтегральна сума Рімана для інтеграла та заданого зазначеного розбиття. Переходячи до межі діаметром розбиття, отримаємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Наслідок 5 (Теорема про оцінку кінцевих прирощень).Нехай відображення безперервно диференційоване у опуклій компактній області простору. Тоді.

27 Теорема Каші.

Теорема Коші про середнє значення.

Нехай дані дві функції і такі, що: 1. і визначені і безперервні на відрізку; 2. похідні та кінцеві на інтервалі; 3. похідні і не перетворюються на нуль одночасно на інтервалі 4. ; тоді існує , для якої вірно: . (Якщо прибрати умову 4, необхідно, наприклад, посилити умову 3: g"(x) не повинна звертатися в нуль ніде в інтервалі .)

Геометрично це можна переформулювати так: якщо і задають закон руху на площині (тобто визначають абсцис і ординату через параметр ), то на будь-якому відрізку такої кривої, заданому параметрами і , знайдеться дотичний вектор, колінеарний вектору переміщення від до .