Числова послідовність. Визначення числової послідовності Класифікація числових послідовностей та дії над ними

Якщо функція визначена на множині натуральних чисел N, то така функція називається нескінченною числовою послідовністю. Зазвичай числові послідовність позначають як (Xn), де n належить множині натуральних чисел N.

Числова послідовність може бути задана формулою. Наприклад, Xn=1/(2*n). Таким чином, ми ставимо у відповідність кожному натуральному числу n певний елемент послідовності (Xn).

Якщо тепер послідовно брати n рівними 1,2,3, …, ми отримаємо послідовність (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Види послідовності

Послідовність може бути обмеженою або необмеженою, зростаючою або спадною.

Послідовність (Xn) називає обмеженою,якщо існують два числа m і M такі, що для будь-якого n належить множині натуральних чисел, буде виконуватись рівність m<=Xn

Послідовність (Xn), яка не є обмеженою,називається необмеженою послідовністю.

зростаючою,якщо всім натуральних n виконується така рівність X(n+1) > Xn. Іншими словами, кожен член послідовності, починаючи з другого, повинен бути більшим за попередній член.

Послідовність (Xn) називається спадної,якщо для всіх натуральних n виконується така рівність X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Приклад послідовності

Перевіримо, чи є послідовності 1/n та (n-1)/n спадними.

Якщо послідовність спадна, то X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значить послідовність (n-1)/n зростаюча.

Числовою послідовністю називається числова функція, визначена на безлічі натуральних чисел .

Якщо функцію задати на безлічі натуральних чисел
, то безліч значень функції буде лічильним і кожному номеру
ставиться у відповідність число
. І тут кажуть, що задана числова послідовність. Числа називають елементамиабо членами послідовності, а число - загальним або -М Членом послідовності. Кожен елемент має наступний елемент
. Це пояснює вживання терміна "послідовність".

Задають послідовність зазвичай або перерахуванням її елементів , або зазначенням закону, яким обчислюється елемент з номером , тобто. вказівкою формули її ‑го члена .

приклад.Послідовність
може бути задана формулою:
.

Зазвичай послідовності позначаються так: і т.п., де в дужках вказується її формула -го члена.

приклад.Послідовність
‑це послідовність

Безліч всіх елементів послідовності
позначається
.

Нехай
і
‑ дві послідовності.

З уммойпослідовностей
і
називають послідовність
, де
, тобто.

Р азністюцих послідовностей називають послідовність
, де
, тобто.

Якщо і ‑ постійні, то послідовність
,
називають лінійною комбінацією послідовностей
і
, тобто.

Творомпослідовностей
і
називають послідовність з -м членом
, тобто.
.

Якщо
, то можна визначити приватне
.

Сума, різниця, твір та приватна послідовність
і
називаються їх алгебраїчнимикомпозиціями.

приклад.Розглянемо послідовності
і
, Де. Тоді
, тобто. послідовність
має всі елементи, що рівні нулю.

,
, тобто. всі елементи твору та приватного рівні
.

Якщо викреслити деякі елементи послідовності
так, щоб залишилося безліч елементів, то отримаємо іншу послідовність, звану підпослідовністюпослідовності
. Якщо викреслити кілька перших елементів послідовності
, то нову послідовність називають залишком.

Послідовність
обмеженазверху(знизу), якщо безліч
обмежено зверху (знизу). Послідовність називають обмеженоюякщо вона обмежена зверху і знизу. Послідовність обмежена тоді і лише тоді, коли обмежений її залишок.

Схожі послідовності

Кажуть що послідовність
сходиться, якщо існує число таке, що для будь-кого
існує таке
, що для будь-кого
, виконується нерівність:
.

Число називають межею послідовності
. При цьому записують
або
.

приклад.
.

Покажемо, що
. Задамо будь-яке число
. Нерівність
виконується для
, такого, що
, що визначення збіжності виконується для числа
. Значить,
.

Іншими словами
означає, що всі члени послідовності
з досить великими номерами мало відрізняється від числа , тобто. починаючи з деякого номера
(при) елементи послідовності знаходяться в інтервалі
, який називається -Навколо точки .

Послідовність
, межа якої дорівнює нулю (
, або
при
) називається нескінченно малої.

Щодо нескінченно малих справедливі твердження:

Сума двох нескінченно малих є нескінченно малою;

Твір нескінченно малою на обмежену величину є нескінченно малою.

Теорема .Для того щоб послідовність
мала межу, необхідно і достатньо щоб
, де - Постійна; – нескінченно мала .

Основні властивості послідовностей, що сходяться:

Властивості 3. і 4. узагальнюються на випадок будь-якого числа послідовностей, що сходяться.

Зазначимо, що при обчисленні межі дробу, чисельник і знаменник якого є лінійними комбінаціями ступенів , межа дробу дорівнює межі відносини старших членів (тобто членів, що містять найбільші ступені чисельника та знаменника).

Послідовність
називається:

Усі такі послідовності називають монотонними.

Теорема . Якщо послідовність
монотонно зростає і обмежена зверху, вона сходиться і її межа дорівнює її точної верхньої грані; якщо послідовність убуває і обмежена знизу, вона сходиться до своєї точної нижньої грані.

Лекція 8. Числові послідовності.

Визначення8.1. Якщо кожному значенню ставиться у відповідність за певним законом деяке речове числоx n , то безліч занумерованих речових чисел

– скорочений запис
, (8.1)

будемо називатичисловою послідовністю або просто послідовністю.

Окремі числа x n  елементи або члени послідовності (8.1).

Послідовність може бути задана формулою загального члена, наприклад:
або
. Послідовність може задаватися неоднозначно, наприклад, послідовність –1, 1, –1, 1, … можна задати формулою
або
. Іноді використовують рекурентний спосіб завдання послідовності: задаються перші кілька членів послідовності та формула для обчислення наступних елементів. Наприклад, послідовність, що визначається першим елементом та рекурентним співвідношенням
(арифметична прогресія). Розглянемо послідовність, яка називається поряд Фібоначчі: задаються перші два елементи x 1 =1, x 2 = 1 і рекурентне співвідношення
за будь-якого
. Отримуємо послідовність чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Для цього знайти формулу загального члена досить важко.

8.1. Арифметичні дії із послідовностями.

Розглянемо дві послідовності:

(8.1)

Визначення 8.2. Назвемотвором послідовності
на число mпослідовність
. Запишемо так:
.

Назвемо послідовність сумою послідовностей (8.1) та (8.2), запишемо так: ; аналогічно
назвемо різницею послідовностей (8.1) та (8.2);
 твором послідовностей (8.1) та (8.2);  приватним послідовностей (8.1) та (8.2) (всі елементи
).

8.2. Обмежені та необмежені послідовності.

Сукупність всіх елементів довільної послідовності
утворює певну числову множину, яка може бути обмежена зверху (знизу) і для якої справедливі визначення, аналогічні введеним для дійсних чисел.

Визначення 8.3. Послідовність
називаєтьсяобмеженою зверху , якщо; М  верхня грань.

Визначення 8.4. Послідовність
називаєтьсяобмеженою знизу , якщо;m  нижня грань.

Визначення 8.5.Послідовність
називаєтьсяобмеженою якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто якщо існують два речові числа М іm такі, що кожен елемент послідовності
задовольняє нерівностям:

, (8.3)

mіM– нижня та верхня грані
.

Нерівності (8.3) називають умовою обмеженості послідовності
.

Наприклад, послідовність
обмежена, а
необмежена.

♦ Твердження 8.1.
є обмеженою .

Доказ.Виберемо
. Відповідно до визначення 8.5 послідовність
буде обмеженою. ■

Визначення 8.6. Послідовність
називаєтьсянеобмеженою якщо для будь-якого позитивного (як завгодно великого) речовинного числа А знайдеться хоча б один елемент послідовностіx n , що задовольняє нерівності:
.

Наприклад, послідовність 1, 2, 1, 4, …, 1, 2 n, …  необмежена, т.к. обмежена лише знизу.

8.3. Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності.

Визначення 8.7. Послідовність
називаєтьсянескінченно великий , якщо для будь-якого (завгодно великого) речовинного числа А знайдеться номер
такий, що за всіх
елементиx n
.

☼ Зауваження 8.1.Якщо послідовність нескінченно велика, вона необмежена. Але не слід думати, що будь-яка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, послідовність
не обмежена, але є нескінченно великий, т.к. умова
не виконується за всіх парних n. ☼

 Приклад 8.1.
є нескінченно великий. Візьмемо будь-яке число А>0. З нерівності
отримуємо n>A. Якщо взяти
, то для всіх n>Nбуде виконуватись нерівність
, тобто згідно з визначенням 8.7, послідовність
нескінченно велика. 

Визначення 8.8. Послідовність
називаєтьсянескінченно малої , якщо для
(скільки завгодно малого ) знайдеться номер
такий, що за всіх
елементи цій послідовності задовольняють нерівності
.

 Приклад 8.2.Доведемо, що послідовність нескінченно мала.

Візьмемо будь-яке число
. З нерівності
отримуємо . Якщо взяти
, то для всіх n>Nбуде виконуватись нерівність
. 

♦ Твердження 8.2. Послідовність
є нескінченно великий при
і нескінченно малої при
.

Доказ.

1) Нехай спочатку
:
, де
. За формулою Бернуллі (приклад 6.3, п. 6.1)
. Фіксуємо довільне позитивне число Аі виберемо за ним номер Nтакий, щоб була справедлива нерівність:

,
,
,
.

Так як
, то за властивістю добутку речових чисел за всіх

.

Таким чином, для
знайдеться такий номер
, що за всіх


- нескінченно велика при
.

2) Розглянемо випадок
,
(при q=0 маємо тривіальний випадок).

Нехай
, де
, за формулою Бернуллі
або
.

Фіксуємо
,
і виберемо
такий, щоб

,
,
.

Для

. Вкажемо такий номер N, що за всіх

, тобто при
послідовність
нескінченно мала. ■

8.4. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

♦ Теорема 8.1.Сума

і

Доказ.Фіксуємо ;
– нескінченно мала

,

– нескінченно мала

. Виберемо
. Тоді при

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2. Різниця
двох нескінченно малих послідовностей
і
є нескінченно мала послідовність.

Для доказиТеореми досить використовувати нерівність. ■

Наслідок.Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

♦ Теорема 8.3.Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Доказ.
- обмежена,
- Безмежно мала послідовність. Фіксуємо ;
,
;
: при
справедливо
. Тоді
. ■

♦ Теорема 8.4.Будь-яка нескінченно мала послідовність є обмеженою.

Доказ.Фіксуємо Нехай кілька . Тоді
для всіх номерів nщо означає обмеженість послідовності. ■

Наслідок. Твір двох (і будь-якого кінцевого числа) нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

♦ Теорема 8.5.

Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності
рівні одному й тому ж числуc, то з = 0.

Доказтеореми проводиться методом від неприємного, якщо позначити
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Якщо
– нескінченно велика послідовність, то починаючи з деякого номераn, визначено приватне двох послідовностей
і
, Що являє собою нескінченно малу послідовність.

2) Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності
відмінні від нуля, то приватне двох послідовностей
і
є нескінченно великою послідовністю.

Доказ.

1) Нехай
- Безмежно велика послідовність. Фіксуємо ;
або
при
. Таким чином, за визначенням 8.8 послідовність - Безмежно мала.

2) Нехай
- Безмежно мала послідовність. Припустимо, що всі елементи
відмінні від нуля. Фіксуємо А;
або
при
. За визначенням 8.7 послідовність нескінченно велика. ■

Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n , то кажуть, що задана числова послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 називають членом послідовності з номером 1 або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2 або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n.

Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули.

Завдання послідовності за допомогою формули загального члена послідовності- Це завдання послідовності

x 1 , x 2 , … x n , …

за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n .

Приклад 1 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана за допомогою формули загального члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули.

x 1 , x 2 , … x n , …

називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n

x n + 1 >x n

3 . Послідовність натуральних чисел

1, 2, 3, … n, …

є зростаючою послідовністю.

Визначення 2. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

x n + 1 < x n

Приклад 4 . Послідовність

задана формулою

є спадною послідовністю.

Приклад 5 . Числова послідовність

1, - 1, 1, - 1, …

задана формулою

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю.

Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями.

Обмежені та необмежені послідовності

Визначення 4. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою зверху,якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 5. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою знизу,якщо існує така кількість m, кожен член цієї послідовності більшечисла m.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 6. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу.

Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

m< x n < M

Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями.

Приклад 6 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана формулою

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху.

Приклад 7 . Послідовність

.

Математика - наука, яка будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи в хід вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. Причому вона може бути лише одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу в магазин, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інша лад.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це такі значення на числовій прямій, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності є функцією натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються з цифр, причому кожен наступний член низки, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичних методах послідовність задається загальною формулою, у якій є певна змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при загальному запису послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це ряд чисел, у яких різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового низки d=4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) – перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 +4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n. Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа у послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

1. Усі межі позначаються скорочено lim.
2. Запис межі складається із скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також із самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, значить, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до складнішої теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ — квантор загальності, який замінює фрази для всіх, для всього і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, що йде за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, нехай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення «ікс» (з кожним разом збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але у знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Поділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступний вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не буде рівним 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи він підходить? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є деяка точка а, її околиця в обидві сторони на числовій прямій дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

1. Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, у якої може бути лише один кінець.
2. Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
3. Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
4. Межа приватного від розподілу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і тільки тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування якогось номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його у квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . Зрозуміло, що послідовність, що складається лише з двох цифр, циклічно повторюваних, неспроможна мати межі.

Та сама історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають у ході обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Проте слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межа послідовностей визначити допоможе повторна перевірка свого рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n+1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (неубутня послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n =1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Послідовність, що сходить, — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що збігається - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися в певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, що не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа схожої послідовності в багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різницю, добуток двох послідовностей, що сходяться, - також схожа послідовність. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для розподілу: межа приватного двох послідовностей дорівнює приватному їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

1. Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
2. Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
3. Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
4. Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
5. Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і йти до нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не така складна задача, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та усидливості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.