Курс лекцій. Open Library - відкрита бібліотека навчальної інформації Збільшення аргументу

Запам'ятати дуже легко.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: натомість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Відбувається цей термін від латинського різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, і. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функції у точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут окреме двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що у мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли знаходження її значення ми проробляємо перше дію безпосередньо з змінної, та був ще друге дію про те, що у результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що вчиняється першою - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий на заміну змінних: наприклад, функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не надумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягаємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. В якому порядку будемо робити дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дію, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Не завжди у житті нас цікавлять точні значення будь-яких величин. Іноді цікаво дізнатися про зміну цієї величини, наприклад, середня швидкість автобуса, відношення величини переміщення до проміжку часу і т.д. Для порівняння значення функції в деякій точці зі значеннями цієї функції в інших точках, зручно використовувати такі поняття, як «приріст функції» і «приріст аргументу».

Поняття "приріст функції" і "приріст аргументу"

Допустимо, х - деяка довільна точка, яка лежить у будь-якій околиці точки х0. Прирістом аргументу в точці х0 називається різницю х-х0. Позначається приріст так: ∆х.

• ∆х=х-х0.

Іноді цю величину ще називають збільшенням незалежної змінної в точці х0. З формули випливає: х = х0+∆х. У таких випадках кажуть, що початкове значення незалежної змінної х0 отримало приріст ∆х.

Якщо ми змінюємо аргумент, то значення функції теж буде змінюватися.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Збільшенням функції f у точці x0,відповідним приросту ∆х називається різницю f(x0 + ∆х) - f(x0). Приріст функції позначається наступним чином ∆f. Таким чином отримуємо, за визначенням:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Іноді, ∆f ще називають збільшенням залежної змінної і для позначення використовують ∆у, якщо функція була, наприклад, у=f(x).

Геометричний сенс збільшення

Подивіться наступний малюнок.

Як бачите, збільшення показує зміна ординати та абсциси точки. А відношення збільшення функції до збільшення аргументу визначає кут нахилу січної, що проходить через початкове і кінцеве положення точки.

Розглянемо приклади збільшення функції та аргументу

приклад 1.Знайти збільшення аргументу ∆х і збільшення функції ∆f у точці х0, якщо f(х) = х 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Скористаємося формулами, наведеними вище:

a) ∆х = х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

приклад 2.Обчислити збільшення ∆f для функції f(x) = 1/x у точці х0, якщо збільшення аргументу дорівнює ∆х.

Знову ж таки, скористаємося формулами, отриманими вище.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

з медичної та біологічної фізики

Лекція №1

ВИРОБНИЧА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.

ПРИВАТНІ ВИРОБНИЧІ.

1. Поняття похідної, її механічний та геометричний зміст.

а ) Приріст аргументу та функції.

Нехай дана функція y = f (х), де х - значення аргументу з області визначення функції. Якщо вибрати два значення аргументу х о і х із певного інтервалу області визначення функції, то різницю між двома значеннями аргументу називається збільшенням аргументу: х - х о =∆х.

Значення аргументу x можна визначити через x 0 та його збільшення: х = х про + ∆х.

Різниця між двома значеннями функції називається збільшенням функції: ∆y =∆f = f(х про +∆х) – f(х о).

Приріст аргументу і функції можна уявити графічно (рис.1). Приріст аргументу і збільшення функції може бути як позитивним, так і негативним. Як випливає з рис.1 геометрично збільшення аргументу ∆х зображується збільшенням абсциси, а збільшення функції ∆у - збільшенням ординати. Обчислення збільшення функції слід проводити в наступному порядку:

даємо аргументу збільшення ∆х і отримуємо значення – x+Δx;

2) знаходимо значення функції значення аргументу (х+∆х) – f(х+∆х);

3) знаходимо збільшення функції ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Приклад:Визначити збільшення функції y=х 2 , якщо аргумент змінився від х про =1 до х=3. Для точки х про значення функції f(х о) = х²; для точки (х о +∆х) значення функції f(х о +∆х) = (х о +∆х) 2 = х² о +2х о ∆х+∆х 2 , звідки ∆f = f(х о + ∆х)–f(х о) = (х о +∆х) 2 –х² о = х² о +2х о ∆х+∆х 2 –х² о = 2х про ∆х+∆х 2 ; ∆f = 2х про ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

б)Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної, її фізичний зміст.

Поняття збільшення аргументу та функції необхідні для введення поняття похідної, яке історично виникло виходячи з необхідності визначення швидкості тих чи інших процесів.

Розглянемо, як можна визначити швидкість прямолінійного руху. Нехай тіло рухається прямолінійно згідно із законом: ∆Ѕ= ·∆t. Для рівномірного руху:= ∆Ѕ/∆t.

Для змінного руху значення ∆Ѕ/∆t визначає значення  порівн. , тобто  порівн. =∆Ѕ/∆t. Але середня швидкість не дає можливості відобразити особливості руху тіла та дати уявлення про істинну швидкість у момент часу t. При зменшенні проміжку часу, тобто. при ∆t→0 середня швидкість прагне до своєї межі – миттєвої швидкості:

 мгн. =
 порівн. =
∆Ѕ/∆t.

Так само визначається і миттєва швидкість хімічної реакції:

 мгн. =
 порівн. =
∆х/∆t,

де х - кількість речовини, що утворилася при хімічній реакції за час t. Подібні завдання визначення швидкості різних процесів призвели до введення в математиці поняття похідної функції.

Нехай дана безперервна функція f(х), визначена на інтервалі ]а,в[іє приріст ∆f=f(х+∆х)–f(х).
є функцією ∆х та виражає середню швидкість зміни функції.

Межа відносин , коли ∆х→0,за умови, що ця межа існує, називається похідною функції :

y" x =

.

Похідна позначається:
- (Ігрек штрих по ікс); " (х) - (еф штрих по ікс) ; y" – (гравець штрих); dy/dх – (де ігрек по де ікс); - (Ігрек з точкою).

Виходячи з визначення похідної, можна сказати, що миттєва швидкість прямолінійного руху є похідною від шляху за часом:

 мгн. = S" t = f " (t).

Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що похідна функції за аргументом х є миттєва швидкість зміни функції f(х):

у" x = f " (х) =  мгн.

У цьому полягає фізичний сенс похідної. Процес знаходження похідної називається диференціюванням, тому вираз «продиференціювати функцію» рівносильно виразу «знайти похідну функції».

в)Геометричний сенс похідної.

П
роизводная функції у = f(х) має простий геометричний сенс, пов'язаний з поняттям дотичної до кривої лінії в деякій точці M. У цьому, дотичну, тобто. пряму лінію аналітично виражають у вигляді у = кх = tg х, де ? – кут нахилу дотичної (прямий) до осі Х. Уявимо безперервну криву як функцію у = f(х), візьмемо на кривій точку Mі близьку до неї точку М 1 і наведемо через них січну. Її кутовий коефіцієнт до сек =tg β = .Якщо наближати точку М 1 до M, то збільшення аргументу ∆х буде прагнути до нуля, а січка при β=α займе положення дотичної. З рис.2 випливає: tgα =
tgβ =
=у" x . Але tgα дорівнює кутовому коефіцієнту, що стосується графіка функції:

до = tgα =
=у" x = f " (х). Отже, кутовий коефіцієнт, що стосується графіка функції в даній точці, дорівнює значенню її похідної в точці торкання. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

г)Загальне правило знаходження похідної.

З визначення похідної, процес диференціювання функції можна наступним чином:

f(х+∆х) = f(х)+∆f;

знаходять збільшення функції: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

складають відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

;

Приклад: f(х)=х 2; f " (х) =?.

Однак, як видно навіть із цього простого прикладу, застосування зазначеної послідовності під час взяття похідних – процес трудомісткий та складний. Тому для різних функцій вводяться загальні формули диференціювання, які представлені як таблиці «Основних формул диференціювання функцій».

Нехай х- Аргумент (незалежна змінна); y=y(x)- Функція.

Візьмемо фіксоване значення аргументу х=х 0 та обчислимо значення функції y 0 = y (x 0 ) . Тепер довільним чином поставимо приріст (зміна) аргументу та позначимо його  х ( хможе бути будь-якого знака).

Аргумент із збільшенням – це точка х 0 +  х. Допустимо, у ній також існує значення функції y=y(x 0 +  х)(Див. малюнок).

Таким чином, при довільній зміні значення аргументу отримано зміну функції, яка називається збільшенням значення функції:

і не є довільним, а залежить від виду функції та величини
.

Прирощення аргументу та функції можуть бути кінцевими, тобто. висловлюватися постійними числами, у разі їх іноді називають кінцевими різницями.

В економіці кінцеві прирости розглядаються дуже часто. Наприклад, у таблиці наведено дані про довжину залізничної мережі деякої держави. Очевидно, збільшення довжини мережі обчислюється шляхом віднімання попереднього значення з наступного.

Розглянемо довжину залізничної мережі як функцію, аргументом якої буде час (роки).

	Довжина залізничних станцій на 31.12, тис.км.	Приріст	Середньорічний приріст

Саме собою збільшення функції (у разі довжини ж/д) мережі) погано характеризує зміна функції. У нашому прикладі з того, що 2,5>0,9 не можна зробити висновок, що мережа росла швидше в 2000-2003 роках, ніж у 2004 р., тому що приріст 2,5 відноситься до трирічного періоду, а 0,9 - Лише до одного року. Тому цілком природно, що збільшення функції призводять до одиниці зміни аргументу. Приріст аргументу тут – періоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Отримаємо те, що в економічній літературі називають середньорічним приростом.

Можна уникнути операції приведення збільшення до одиниці зміни аргументу, якщо взяти значення функції для значень аргументу, що відрізняються на одиницю, що не завжди можливо.

У математичному аналізі, зокрема, у диференціальному обчисленні, розглядають нескінченно малі (БМ) збільшення аргументу та функції.

Диференціювання функції однієї змінної (похідна та диференціал) Похідна функції

Прирощення аргументу та функції у точці х 0 можна як порівняні нескінченно малі величини (див. тему 4, порівняння БМ), тобто. БМ одного порядку.

Тоді їх відношення буде мати кінцеву межу, яка визначається як похідна функції в т х 0 .

Межа відношення збільшення функції до БМ збільшення аргументу в точці х=х 0 називається похідний функції у цій точці.

Символічне позначення похідної штрихом (а, вірніше, римською цифрою I) запроваджено Ньютоном. Можна використовувати ще нижній індекс, який показує, якою змінною обчислюється похідна, наприклад, . Широко використовується також інше позначення, запропоноване основоположником обчислення похідних, німецьким математиком Лейбніцем:
. З походженням цієї позначки ви докладніше познайомитеся у розділі Диференціал функції та диференціал аргументу.

Це число оцінює швидкістьзміни функції, що проходить через точку
.

Встановимо геометричний сенспохідної функції у точці. З цією метою побудуємо графік функції y=y(x)та відзначимо на ньому точки, що визначають зміну y(x)у проміжку

Стосовно графіка функції в точці М 0
будемо вважати граничне становище сіючої М 0 Мза умови
(крапка Мковзає за графіком функції до точки М 0 ).

Розглянемо
. Очевидно,
.

Якщо точку Мспрямувати вздовж графіка функції у напрямку до точки М 0 , то значення
буде прагнути до певної межі, яку позначимо
. При цьому.

Граничний кут  збігається з кутом нахилу дотичної, проведеної до графіку функції. М 0 тому похідна
чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної у зазначеній точці.

-

геометричний сенс похідної функції у точці.

Таким чином, можна записати рівняння дотичної та нормалі ( нормаль – це пряма, перпендикулярна до до графіку функції в деякій точці х 0 :

Щодо - .

Нормаль -
.

Цікаві випадки, коли ці прямі розташовані горизонтально або вертикально (див. тему 3, окремі випадки положення прямої на площині). Тоді,

якщо
;

якщо
.

Визначення похідної називається диференціюванням функції.

 Якщо функція в точці х 0 має кінцеву похідну, вона називається диференційованау цій точці. Функція, що диференціюється у всіх точках деякого інтервалу, називається диференційованою на цьому інтервалі.

 Теорема . Якщо функція y=y(x)диференційована у т.ч. х 0 , то вона у цій точці безперервна.

Таким чином, безперервність- Необхідна (але не достатня) умова диференційності функції.

1. збільшення аргументу та збільшення функції.

Нехай дана функція. Візьмемо два значення аргументу: початкове та змінене, яке прийнято позначати
, де - величина яку змінюється аргумент під час переходу від першого значення до другого, воно називається збільшенням аргументу.

Значення аргументу та відповідають певним значенням функції: початкове та змінене
, величину , яку змінюється значення функції при зміні аргументу на величину , називається збільшенням функції.

2. Поняття межі функції у точці.

Число називається межею функції
при, що прагне до якщо для будь-якого числа
знайдеться таке число
, що за всіх
, що задовольняють нерівності
, виконуватиметься нерівність
.

Друге визначення: Число називається межею функції при, що прагне до , якщо для будь-якого числа існує така околиця точки , що для будь-якого з цієї околиці . позначається
.

3. нескінченно великі і нескінченно малі функції у точці. Нескінченно мала функція у точці – функція, межа якої, що вона прагне цієї точці дорівнює нулю. Безкінечно велика функція в точці – функція межа якої коли вона прагне до цієї точки дорівнює нескінченності.

4. основні теореми про межі та наслідки з них (без доказу).

слідство: постійний множник можна винести за знак межі:

Якщо послідовності та сходяться і межа послідовності відмінна від нуля, то

слід: постійний множник можна винести за знак межі.

11. якщо існують межі функцій
і
і межа функції відмінна від нуля,

то існують також і межа їхнього відношення, рівну відношенню меж функцій і :

.

12. якщо
, то
, справедлива та зворотна.

13. теорема про межу проміжної послідовності. Якщо послідовності
схожі, і
і
то

5. межа функції на нескінченності.

Число а називається межею функції на нескінченності, (при х прагне до нескінченності) якщо для будь-якої послідовності, що прагне до нескінченності
відповідає послідовність значень, що прагнуть до а.

6. редели числової послідовності.

Число аназивається межею числової послідовності, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться натуральне число N, таке, що за всіх n> Nвиконується нерівність
.

Символічно це визначається так:
справедливо.

Той факт, що число ає межею послідовності, позначається наступним чином:

.

7. число "е". натуральні логарифми.

Число «е» являє собою межу числової послідовності, n- й член якої
, тобто.

.

Натуральний логарифм – логарифм із основою тобто. натуральні логарифми позначаються
без зазначення підстави.

Число
дозволяє переходити від десяткового логарифму до натурального та назад.

, Його називають модулем переходу від натуральних логарифмів до десяткових.

8. чудові межі
,

.

Перша чудова межа:

таким чином при

за теоремою про межу проміжної послідовності

друга чудова межа:

.

Для доказу існування межі
використовують лему: для будь-якої дійсної кількості
і
справедлива нерівність
(2) (при
або
нерівність звертається до рівності.)

Послідовність (1) можна записати так:

.

Тепер розглянемо допоміжну послідовність із спільним членом
переконаємося, що вона зменшується і обмежена знизу:
якщо
, То послідовність зменшується. Якщо
послідовність обмежена знизу. Покажемо це:

в силу рівності (2)

тобто.
або
. Т. е. послідовність зменшується, а т. до. то послідовність обмежена знизу. Якщо послідовність зменшується і обмежена знизу, вона має межу. Тоді

має межу та послідовність (1), т. до.

і
.

Л. Ейлер назвав цю межу .

9. односторонні межі, розрив функції.

число А ліву межу, якщо для будь-якої послідовності виконується таке: .

число А праву межу, якщо для будь-якої послідовності виконується таке: .

Якщо у точці аналежить області визначення функції або її межі, порушується умова безперервності функції, точка аназивається точкою розриву або розривом функції. якщо при прагненні точки

12. сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії. Геометрична прогресія – послідовність, у якій відношення між наступним та попереднім членами залишається незмінним, це відношення називається знаменником прогресії. Сума перших nчленів геометричної прогресії виражається формулою
цю формулу зручно використовуватиме спадної геометричної прогресії – прогресії в якої абсолютна величина її знаменника менше нуля. - Перший член; - знаменник прогресії; - Номер взятого члена послідовності. Сума нескінченної спадної прогресії – число, якого необмежено наближається сума перших членів спадної прогресії при необмеженому зростанні числа .
т. о. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює .