Курс лекцій. Приватне та повне збільшення функції Кака знайти збільшення функції на проміжку

1. збільшення аргументу та збільшення функції.

Нехай дана функція. Візьмемо два значення аргументу: початкове та змінене, яке прийнято позначати
, де - величина яку змінюється аргумент під час переходу від першого значення до другого, воно називається збільшенням аргументу.

Значення аргументу та відповідають певним значенням функції: початкове та змінене
, величину , яку змінюється значення функції при зміні аргументу на величину , називається збільшенням функції.

2. Поняття межі функції у точці.

Число називається межею функції
при, що прагне до якщо для будь-якого числа
знайдеться таке число
, що за всіх
, що задовольняють нерівності
, виконуватиметься нерівність
.

Друге визначення: Число називається межею функції при, що прагне до , якщо для будь-якого числа існує така околиця точки , що для будь-якого з цієї околиці . позначається
.

3. нескінченно великі і нескінченно малі функції у точці. Нескінченно мала функція у точці – функція, межа якої, що вона прагне цієї точці дорівнює нулю. Безкінечно велика функція в точці – функція межа якої коли вона прагне до цієї точки дорівнює нескінченності.

4. основні теореми про межі та наслідки з них (без доказу).

слідство: постійний множник можна винести за знак межі:

Якщо послідовності та сходяться і межа послідовності відмінна від нуля, то

слід: постійний множник можна винести за знак межі.

11. якщо існують межі функцій
і
і межа функції відмінна від нуля,

то існують також і межа їхнього відношення, рівну відношенню меж функцій і :

.

12. якщо
, то
, справедлива та зворотна.

13. теорема про межу проміжної послідовності. Якщо послідовності
схожі, і
і
то

5. межа функції на нескінченності.

Число а називається межею функції на нескінченності, (при х прагне до нескінченності) якщо для будь-якої послідовності, що прагне до нескінченності
відповідає послідовність значень, що прагнуть до а.

6. редели числової послідовності.

Число аназивається межею числової послідовності, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться натуральне число N, таке, що за всіх n> Nвиконується нерівність
.

Символічно це визначається так:
справедливо.

Той факт, що число ає межею послідовності, позначається наступним чином:

.

7. число "е". натуральні логарифми.

Число «е» являє собою межу числової послідовності, n- й член якої
, тобто.

.

Натуральний логарифм – логарифм із основою тобто. натуральні логарифми позначаються
без зазначення підстави.

Число
дозволяє переходити від десяткового логарифму до натурального та назад.

, Його називають модулем переходу від натуральних логарифмів до десяткових.

8. чудові межі
,

.

Перша чудова межа:

таким чином при

за теоремою про межу проміжної послідовності

друга чудова межа:

.

Для доказу існування межі
використовують лему: для будь-якої дійсної кількості
і
справедлива нерівність
(2) (при
або
нерівність звертається до рівності.)

Послідовність (1) можна записати так:

.

Тепер розглянемо допоміжну послідовність із спільним членом
переконаємося, що вона зменшується і обмежена знизу:
якщо
, То послідовність зменшується. Якщо
послідовність обмежена знизу. Покажемо це:

в силу рівності (2)

тобто.
або
. Т. е. послідовність зменшується, а т. до. то послідовність обмежена знизу. Якщо послідовність зменшується і обмежена знизу, вона має межу. Тоді

має межу та послідовність (1), т. до.

і
.

Л. Ейлер назвав цю межу .

9. односторонні межі, розрив функції.

число А ліву межу, якщо для будь-якої послідовності виконується таке: .

число А праву межу, якщо для будь-якої послідовності виконується таке: .

Якщо у точці аналежить області визначення функції або її межі, порушується умова безперервності функції, точка аназивається точкою розриву або розривом функції. якщо при прагненні точки

12. сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії. Геометрична прогресія – послідовність, у якій відношення між наступним та попереднім членами залишається незмінним, це відношення називається знаменником прогресії. Сума перших nчленів геометричної прогресії виражається формулою
цю формулу зручно використовуватиме спадної геометричної прогресії – прогресії в якої абсолютна величина її знаменника менше нуля. - Перший член; - знаменник прогресії; - Номер взятого члена послідовності. Сума нескінченної спадної прогресії – число, якого необмежено наближається сума перших членів спадної прогресії при необмеженому зростанні числа .
т. о. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює .

з медичної та біологічної фізики

Лекція №1

ВИРОБНИЧА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.

ПРИВАТНІ ВИРОБНИЧІ.

1. Поняття похідної, її механічний та геометричний зміст.

а ) Приріст аргументу та функції.

Нехай дана функція y = f (х), де х - значення аргументу з області визначення функції. Якщо вибрати два значення аргументу х о і х із певного інтервалу області визначення функції, то різницю між двома значеннями аргументу називається збільшенням аргументу: х - х о =∆х.

Значення аргументу x можна визначити через x 0 та його збільшення: х = х про + ∆х.

Різниця між двома значеннями функції називається збільшенням функції: ∆y =∆f = f(х про +∆х) – f(х о).

Приріст аргументу і функції можна уявити графічно (рис.1). Приріст аргументу і збільшення функції може бути як позитивним, так і негативним. Як випливає з рис.1 геометрично збільшення аргументу ∆х зображується збільшенням абсциси, а збільшення функції ∆у - збільшенням ординати. Обчислення збільшення функції слід проводити в наступному порядку:

даємо аргументу збільшення ∆х і отримуємо значення – x+Δx;

2) знаходимо значення функції значення аргументу (х+∆х) – f(х+∆х);

3) знаходимо збільшення функції ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Приклад:Визначити збільшення функції y=х 2 , якщо аргумент змінився від х про =1 до х=3. Для точки х про значення функції f(х о) = х²; для точки (х о +∆х) значення функції f(х о +∆х) = (х о +∆х) 2 = х² о +2х о ∆х+∆х 2 , звідки ∆f = f(х о + ∆х)–f(х о) = (х о +∆х) 2 –х² о = х² о +2х о ∆х+∆х 2 –х² о = 2х про ∆х+∆х 2 ; ∆f = 2х про ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

б)Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної, її фізичний зміст.

Поняття збільшення аргументу та функції необхідні для введення поняття похідної, яке історично виникло виходячи з необхідності визначення швидкості тих чи інших процесів.

Розглянемо, як можна визначити швидкість прямолінійного руху. Нехай тіло рухається прямолінійно згідно із законом: ∆Ѕ= ·∆t. Для рівномірного руху:= ∆Ѕ/∆t.

Для змінного руху значення ∆Ѕ/∆t визначає значення  порівн. , тобто  порівн. =∆Ѕ/∆t. Але середня швидкість не дає можливості відобразити особливості руху тіла та дати уявлення про істинну швидкість у момент часу t. При зменшенні проміжку часу, тобто. при ∆t→0 середня швидкість прагне до своєї межі – миттєвої швидкості:

 мгн. =
 порівн. =
∆Ѕ/∆t.

Так само визначається і миттєва швидкість хімічної реакції:

 мгн. =
 порівн. =
∆х/∆t,

де х - кількість речовини, що утворилася при хімічній реакції за час t. Подібні завдання визначення швидкості різних процесів призвели до введення в математиці поняття похідної функції.

Нехай дана безперервна функція f(х), визначена на інтервалі ]а,в[іє приріст ∆f=f(х+∆х)–f(х).
є функцією ∆х та виражає середню швидкість зміни функції.

Межа відносин , коли ∆х→0,за умови, що ця межа існує, називається похідною функції :

y" x =

.

Похідна позначається:
- (Ігрек штрих по ікс); " (х) - (еф штрих по ікс) ; y" – (гравець штрих); dy/dх – (де ігрек по де ікс); - (Ігрек з точкою).

Виходячи з визначення похідної, можна сказати, що миттєва швидкість прямолінійного руху є похідною від шляху за часом:

 мгн. = S" t = f " (t).

Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що похідна функції за аргументом х є миттєва швидкість зміни функції f(х):

у" x = f " (х) =  мгн.

У цьому полягає фізичний сенс похідної. Процес знаходження похідної називається диференціюванням, тому вираз «продиференціювати функцію» рівносильно виразу «знайти похідну функції».

в)Геометричний сенс похідної.

П
роизводная функції у = f(х) має простий геометричний сенс, пов'язаний з поняттям дотичної до кривої лінії в деякій точці M. У цьому, дотичну, тобто. пряму лінію аналітично виражають у вигляді у = кх = tg х, де ? – кут нахилу дотичної (прямий) до осі Х. Уявимо безперервну криву як функцію у = f (х), візьмемо на кривій точку Мі близьку до неї точку М 1 і наведемо через них січну. Її кутовий коефіцієнт до сек =tg β = .Якщо наближати точку М 1 до M, то збільшення аргументу ∆х буде прагнути до нуля, а січка при β=α займе положення дотичної. З рис.2 випливає: tgα =
tgβ =
=у" x . Але tgα дорівнює кутовому коефіцієнту, що стосується графіка функції:

до = tgα =
=у" x = f " (х). Отже, кутовий коефіцієнт, що стосується графіка функції в даній точці, дорівнює значенню її похідної в точці торкання. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

г)Загальне правило знаходження похідної.

З визначення похідної, процес диференціювання функції можна наступним чином:

f(х+∆х) = f(х)+∆f;

знаходять збільшення функції: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

складають відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

;

Приклад: f(х)=х 2; f " (х) =?.

Однак, як видно навіть із цього простого прикладу, застосування зазначеної послідовності під час взяття похідних – процес трудомісткий та складний. Тому для різних функцій вводяться загальні формули диференціювання, які представлені як таблиці «Основних формул диференціювання функцій».

Не завжди у житті нас цікавлять точні значення будь-яких величин. Іноді цікаво дізнатися про зміну цієї величини, наприклад, середня швидкість автобуса, відношення величини переміщення до проміжку часу і т.д. Для порівняння значення функції в деякій точці зі значеннями цієї функції в інших точках, зручно використовувати такі поняття, як «прирощення функції» і «приріст аргументу».

Поняття "приріст функції" і "приріст аргументу"

Допустимо, х - деяка довільна точка, яка лежить у будь-якій околиці точки х0. Прирістом аргументу в точці х0 називається різницю х-х0. Позначається приріст так: ∆х.

• ∆х=х-х0.

Іноді цю величину ще називають збільшенням незалежної змінної в точці х0. З формули випливає: х = х0+∆х. У таких випадках кажуть, що початкове значення незалежної змінної х0 отримало приріст ∆х.

Якщо ми змінюємо аргумент, то значення функції теж буде змінюватися.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Збільшенням функції f у точці x0,відповідним приросту ∆х називається різницю f(x0 + ∆х) - f(x0). Приріст функції позначається наступним чином ∆f. Таким чином отримуємо, за визначенням:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Іноді, ∆f ще називають збільшенням залежної змінної і для позначення використовують ∆у, якщо функція була, наприклад, у=f(x).

Геометричний сенс збільшення

Подивіться наступний малюнок.

Як бачите, збільшення показує зміна ординати та абсциси точки. А відношення збільшення функції до збільшення аргументу визначає кут нахилу січної, що проходить через початкове і кінцеве положення точки.

Розглянемо приклади збільшення функції та аргументу

приклад 1.Знайти збільшення аргументу ∆х і збільшення функції ∆f у точці х0, якщо f(х) = х 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Скористаємося формулами, наведеними вище:

a) ∆х = х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

приклад 2.Обчислити збільшення ∆f для функції f(x) = 1/x у точці х0, якщо збільшення аргументу дорівнює ∆х.

Знову ж таки, скористаємося формулами, отриманими вище.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Визначення 1

Якщо кожної пари $(x,y)$ значень двох незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $z$, то кажуть, що $z$ є функцією двох змінних $(x,y)$. Позначення: $ z = f (x, y) $.

Що стосується функції $z=f(x,y)$ розглянемо поняття загального (повного) і частки приростів функції.

Нехай дана функція $ z = f (x, y) $ двох незалежних змінних $ (x, y) $.

Примітка 1

Оскільки змінні $(x,y)$ є незалежними, одна з них може змінюватися, інша при цьому зберігати постійне значення.

Дамо змінній $x$ збільшення $\Delta x$, при цьому збережемо значення змінної $y$ незмінним.

Тоді функція $z=f(x,y)$ отримає збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $z=f(x,y)$ за змінною $x$. Позначення:

Аналогічно дамо змінної $ y $ збільшення $ \ Delta y $, при цьому збережемо значення змінної $ x $ незмінним.

Тоді функція $z=f(x,y)$ отримає збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $z=f(x,y)$ за змінною $y$. Позначення:

Якщо ж аргументу $x$ дати збільшення $\Delta x$, а аргументу $y$ - збільшення $\Delta y$, то виходить повне збільшення заданої функції $z=f(x,y)$. Позначення:

Таким чином, маємо:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $y$;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) - f (x, y) $ - повне збільшення функції $ z = f (x, y) $.

Приклад 1

Рішення:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $y$.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - повне збільшення функції $ z = f (x, y) $.

Приклад 2

Обчислити приватні та повне збільшення функції $z=xy$ у точці $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $y$;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - повне збільшення функції $z=f(x,y)$.

Отже,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Примітка 2

Повне збільшення заданої функції $ z = f (x, y) $ не дорівнює сумі її приватних приростів $ \ Delta _ (x) z $ і $ \ Delta _ (y) z $. Математичний запис: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Приклад 3

Перевірити затвердження зауваження для функції

Рішення:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (отримані в прикладі 1)

Знайдемо суму приватних збільшення заданої функції $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Визначення 2

Якщо для кожної трійки $(x,y,z)$ значень трьох незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $w$, то кажуть, що $w$ є функцією трьох змінних $(x,y,z)$ цій галузі.

Позначення: $ w = f (x, y, z) $.

Визначення 3

Якщо для кожної сукупності $(x,y,z,...,t)$ значень незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $w$, то кажуть, що $w$ є функцією змінних $(x,y, z,...,t)$ у цій галузі.

Позначення: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Для функції від трьох і більше змінних, аналогічно як функції двох змінних визначаються приватні прирости по кожній із змінних:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z,...,t ) $ по $ z $;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - приватне збільшення функції $w=f (x, y, z, ..., t) $ по $ t $.

Приклад 4

Записати приватні та повне збільшення функції

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $z$;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - повне збільшення функції $w=f(x,y,z)$.

Приклад 5

Обчислити приватні та повне збільшення функції $w=xyz$ у точці $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z = 0,1 $.

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ по $z$;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - повне збільшення функції $w=f(x,y,z)$.

Отже,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

З геометричної точки зору повне збільшення функції $z=f(x,y)$ (за визначенням $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) дорівнює приросту аплікати графіка функції $z=f(x,y)$ при переході від точки $M(x,y)$ до точки $M_(1) (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).

Малюнок 1.