Comprendre le Pokhіdno

Allez fonction F(X) est affecté à l'actuel intérimaire X. Nadamo la valeur de l'argument en points X 0 X incrément suffisant Δ X donc, sanglot x0 + Δ X alors couchez-vous X. Même jour augmentation de la fonction f(x) stock ∆ à = F(x0 + Δ X) - F(x0).

Rendez-vous 1. Fonctions latérales f(x)à ce point x0 est appelée la limite de l'amélioration de la fonction au point tsij à l'amélioration de l'argument à Δ X 0 (par exemple, entre les lignes).

Pour la reconnaissance d'une fonction similaire, des symboles sont dessinés à" (x0) ou F"(x0):

Yakshcho au point deyakіy x0 la frontière (4.1) n'est pas limitée :

alors il semble qu'au point x0 une fonction F(X) mai Je serai parti pour toujours.

Quelle est la fonction F(X) peut aller au multiplicateur de points de peau X, alors mauvais f"(x) fonctionnent aussi comme argument X, assigné à X.

Détection géométrique

Pour comprendre le sens géométrique, nous avons besoin d'une désignation pour fixer le graphique de la fonction en un point donné.

Rendez-vous 2. Stosuetsyaà l'horaire de la fonction y = f(X) à ce point M appelé la situation limite MN, si point N points de pragne M le long des courbes F(X).

Allez point M sur la courbe F(X) correspondent à la valeur de l'argument x0, et un point N- valeur d'argument x0 + Δ X(Figure 4.1). Z vznachennya dotichny a glissé, scho x0 il est nécessaire d'établir une frontière, comme un dorіvnyuє kutu nahil dotichї à l'axe Bœuf. 3 trikutnik député crier quoi

Quelle fonction cool F(X) à ce point x0іsnuє, puis, zgіdno (4.1), otrimuєmo

Zvіdsi siffle à l'œil de celui qui F"(x0) plus proche du coefficient de coupe (la tangente de la coupe à l'axe droit positif Ox) = F(X) à point M(x0, F(x0)). Lorsque komu kut nahil dotiquement, les formules (4.2) sont présentées :

Sens physique du temps

Supposons que la fonction l = f(t) décrivent la loi du mouvement d'un point matériel en ligne droite, comme un chemin en friche jeà l'heure t. Même prix Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - tout le trajet, passages par heure d'intervalle Δ t, et vіdnoshennia Δ je/Δ t- vitesse moyenne par heure Δ t. Même frontière signifie point mittevu shvidkist en ce moment t comme je vais quitter le chemin pendant une heure.

La sensation de chant a de mauvaises fonctions à = f(x) peut également être interprété comme la flexibilité des fonctions changeantes : plus la valeur F"(X), l'équipe a plus de coupes du point maladif au tordu, l'équipe a un horaire cool F(X) et une fonction plus grande.

Les droits et le lion sont partis

Par analogie avec les concepts d'interfonctions unilatérales, les concepts de fonctions similaires droite et gauche au point sont introduits.

Rendez-vous 3. Droite gauche) fonctions connexes à = f(x)à ce point x0 est appelée frontière droite (levi) (4.1) en Δ X 0, qui est la limite entre

Pour la reconnaissance des vainqueurs victorieux unilatéraux, un tel symbolisme est utilisé:

Quelle est la fonction F(X) peut en points x0 Je vais m'en aller, je vais partir et j'irai justement à ce point, j'ai peur.

Nous guiderons le bout de la fonction, car il peut être unilatéral similaire au point, pas égal à un seul. Tsé F(X) = |X|. Exact, au point x = 0 peut être f' +(0) = 1, F"-(0) \u003d -1 (Fig. 4.2) et f' +(0) ≠f'-(0), alors. la fonction ne peut pas être similaire lorsque X = 0.

Le fonctionnement de la fonction familière s'appelle її différenciations; fonction, qui peut être perdue en un point, est appelée différencié.

Le lien entre différenciation et non-permanence d'une fonction en un point établit un théorème offensant.

THÉORÈME 1 . Si la fonction est dérivée au point x 0, alors elle est ininterrompue au point x.

Mauvais jeu : fonction F(X), sans interruption dans les points, peut-être que ma mère ira à mon point. Un tel mégot est une fonction à = |X|; il n'y a pas d'interruption au point X= 0, mais il n'y a pas de points similaires.

Dans ce rang, la fonction la plus différenciante est la plus forte, la moins la plus ininterrompue, les éclats du premier crient automatiquement les uns aux autres.

Alignement sur le calendrier de la fonction à ce point

Comment il a été attribué dans la section 3.9, l'alignement de la ligne droite qui passe par le point M(x0, à 0) avec coefficient de coupe k peut voir

Laissez la fonction être définie à = F(X). Todi oskіlki її pokhіdna au point critique M(x0, à 0) є facteur de coupure M, alors il est évident que le graphe de la fonction est égal F(X) à ce point peut sembler

Date : 20/11/2014

Qu'est-ce qui est si cool ?

Tableau du suivant.

Pokhіdna est l'une des choses les plus importantes pour comprendre les mathématiques vishchoy. À cette leçon, nous le savons par notre compréhension. Lui-même est connu, sans formules mathématiques strictes ni preuves.

Ces connaissances permettent :

Reconnaître l'essence des tâches maladroites d'un pokhidnoy;

Compléter avec succès les tâches de l'entrepôt;

Préparez-vous pour des leçons sérieuses à l'avenir.

Au dos - surprise bienvenue.)

Suvore vyznachennya pokhіdnoї polagaє in teorії inter la première chose à faire est pliable. Tsé confus. Mais zastosuvannya pokhіdnoi plus pratique, en règle générale, ne nécessite pas de connaissances aussi vastes et approfondies!

Il suffit de savoir pour une vikonnannya réussie de tous les termes- pour comprendre la tâche, que toutes les règles- Shchob yogo virishiti. moi tout. Tsé heureux.

apprendrons-nous à nous connaître ?)

Termes et définitions.

En mathématiques élémentaires, il existe une multitude d'opérations mathématiques de toutes sortes. Addition, multiplicateur vіdnimannya, zvedennya par étapes, logarithme, etc. Si vous ajoutez une de plus à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent les plus grandes. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La désignation de cette opération zmіst tsієї sera envisagée dans les prochaines leçons.

Ici, il est important de comprendre que la différenciation est simplement une opération mathématique sur une fonction. Prenons une fonction i, selon les règles du chant, transformons-la en її. En conséquence, nous avons une nouvelle fonction. L'axe est une nouvelle fonction et s'appelle : bien.

Différenciation- Injection sur la fonction.

Pokhidna- Le résultat est ts_єї dії.

Ainsi, tout comme, par exemple, soma- Le résultat du pliage. Abo en privé- Résultat raspodіlu.

Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre la tâche.) La formule est la suivante : désigner des fonctions similaires ; prends un repas; fonction de différenciation ; calculer le coût etc. C'est tout un seul et même Zrozumіlo, buvayut et tâches pliées, de perebuvannya pokhіdnoї (différenciation) ne seront que l'une des lacunes de la tâche.

Elle est indiquée par un trait dans la main droite au-dessus de la fonction. axe comme celui-ci : y" ou f"(x) ou S"(t) et jusqu'à présent.

lire coup de jeux, coup ef vіd іks, es coup vіd te, Eh bien, vous l'avez compris ...)

Un accident vasculaire cérébral peut également signifier une fonction spécifique, par exemple : (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" et etc. Il est souvent utilisé à l'aide de différentiels, mais un tel signe n'est pas visible dans cette leçon.

Supposons que nous ayons appris à penser. J'ai tout perdu - apprenez à les virishuver.) Je suppose à nouveau: la signification du la transformation des fonctions selon les règles du chant. Tsikh a régné, étonnamment, pas très richement.

Pour connaître les fonctions délicates, il vous suffit de connaître trois mots. Trois baleines, sur lesquelles repose toute différenciation. Axe de stink qi trois baleines :

1. Tableau des similaires (formules de différenciation).

3. Fonction pliable Pokhіdna.

Commençons dans l'ordre. À qui toute la leçon est regardée la table des morts.

Tableau du suivant.

Le monde a des fonctions impersonnelles. Il existe de nombreuses fonctions au milieu, qui sont les plus importantes pour une application pratique. Les fonctions Qi reposent sur toutes les lois de la nature. À partir de ces fonctions, comme à partir de ceglinks, vous pouvez formuler tout le reste. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Les mêmes fonctions sont développées à l'école - linéaire, quadratique, hyperbole trop mince.

Différenciation des fonctions "à partir de zéro", tobto. vyhodyachi z vyznachennya pokhіdnoї cette théorie entre - une chose à faire avec un travailleur. Et les mathématiciens sont aussi des gens, tant pis!) De moi, ils ont demandé leur propre vie (je nous). La puanteur virahuvali pauvres fonctions élémentaires devant nous. La table du pokhіdnyh est apparue, elle est déjà prête.)

Axe gagné, c'est une plaque pour les fonctions les plus populaires. Le mal est une fonction élémentaire, à droite - її pokhіdna.

	Une fonction y	Autres fonctions y y"
1	C (valeur constante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n est un nombre)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	péché x	(sinx)" = cosx
	parce que x	(cos x)" = - sin x
	TG x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	une X
	e X
5	Journal une X
	en x ( un = e)

Je vous recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions et aux tableaux de celles qui y sont liées. Pokhіdna statechnі ї ї - l'une des formules les plus importantes, comme si ce n'était pas nayuzhivanіsha! Natyak zrozumіly?) Donc, la table de la noblesse pokhіdnyh bazhano à retenir. Avant la parole, ce n'est pas si important, car vous pouvez vous en sortir. Essayez virishuvati plus d'exemples, le tableau lui-même restera dans les mémoires !)

Pour connaître les valeurs tabulaires du drôle, comme vous le savez, la tâche n'est pas importante. Par conséquent, ces gestionnaires ont souvent des jetons supplémentaires. Soit pour la tâche formulaire, soit pour la fonction visuelle, comme dans les tableaux, il est nachebto et muet.

Jetons un coup d'œil au sprat d'applications :

1. Trouver une fonction aléatoire y = x 3

Il n'y a pas de telles fonctions dans les tables. Ale є pokhіdna statії ї ї ї і zagalny vyglyadі (troisième groupe). En temps n=3. L'axe i est représenté par un trio de remplacements n et le résultat est enregistré avec précision :

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Axe et tout faire.

Suggestion: y" = 3x 2

2. Trouver la valeur d'une fonction similaire y = sinx au point x = 0.

Cette tâche signifie que vous devez savoir en un coup d'œil à quoi ressemble le sinus, puis donner la valeur x = 0 J'irai moi-même à Qiu. Même ordre! Et puis, buvaє, ajoutez immédiatement zéro à la fonction de sortie ... On nous demande de connaître non pas la valeur de la fonction de sortie, mais la valeur її pokhіdnoy. Pokhіdna, je suppose - c'est déjà une nouvelle fonction.

Selon le tableau, nous connaissons le sinus et vіdpovіdnu pokhіdnu:

y" = (sinx)" = cosx

Remplacez zéro pour le reste :

y"(0) = cos 0 = 1

Tse bude povіd.

3. Différenciez la fonction :

Quoi, instiller?) Il n'y a pratiquement pas de telles fonctions dans les tableaux de fonctions similaires.

Je devine, quoi différencier une fonction - c'est juste pour connaître la fonction exacte. Oubliez la trigonométrie élémentaire, plaisantez sur notre fonction pour l'aspirer. Le tableau ne sert à rien...

Ale, s'il vous plaît dites-moi que notre fonction est cosinus, Alors tout sera nalagodzhuetsya!

Bien bien! Rappelons que la transformation des fonctions externes avant différenciation tout à fait autorisé ! I, trapleyaetsya, grande vie plus facile. Selon la formule du cosinus de l'armature kuta :

Tobto. notre fonction rusée n'est rien d'autre, comme y = barreur. Ace est une fonction tabulaire. Nous acceptons immédiatement :

Suggestion: y" = - sin x.

Un exemple pour ces diplômés et étudiants :

4. Connaître les fonctions pertinentes :

Il n'y a pas de telles fonctions dans des tables similaires, évidemment. Et pourtant, devinez les mathématiques élémentaires, étape par étape... Ensuite, vous pouvez complètement pardonner cette fonction. axe comme celui-ci :

Et l'étape x est d'un dixième - c'est déjà une fonction tabulaire ! Troisième groupe, n = 1/10. Juste derrière la formule qui est écrite :

De moi tous. Tse bude povіd.

Je suis convaincu qu'avec la première baleine de différenciation - le tableau des dernières - tout est clair. Je me suis égaré avec deux baleines, que j'ai perdues. À l'âge qui vient, nous maîtriserons les règles de différenciation.

Trouvez la virase pour une fonction exponentielle similaire (y = (e^x)), marquant la même fonction exponentielle.

Solution.

On peut écrire la fonction \(\Delta y\) pour augmenter l'argument \(\Delta x\) : \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\ gauche(x \droite) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^ x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] right) ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(( \Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac( (((( e^x)\left(((e^(\Delta x) ) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Fonction \(y = (e^x) \) le livre des nombres ne peut pas être inférieur à vіd Δ X et le yoga peut être blâmé pour le signe de frontière. Il ressemble alors à ceci : \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] , qui \((e^0) = 1\) et que peut s'écrire \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1 ))((\Delta x)) ) = (\lim \limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x )) = e"\left(0 \right),) \] alors la limite est donnée aux valeurs de la fonction d'affichage similaire à zéro. Plus tard, \ Nous avons enlevé le sp_v_dnosheniya, dans lequel il est possible d'exprimer à travers la fonction elle-même \(y = (e^x)\) et її semblable au point \(x = 0\). Sachons que \ Pour qui il est possible de deviner que le nombre \ (e \) sera affiché à la limite apparemment inépuisable yak \ et le nombre \ (e \) au pas \ (\ Delta x \) sera ) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n).\] binôme de Newton et rozlademo viraz sous le signe de la limite en série binomiale: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ) ). Dans les manuels européens et américains, le nombre est indiqué par \ Tournons-nous vers notre frontière \ (L \), maintenant nous pouvons l'écrire de cette façon : \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \ frac ((( ( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ à \infty ) \) gauche[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right ] - 1))((\Delta x)).) \] Nous pouvons facilement voir les deux premiers ajouts à la série binomiale : pour \(k = 0\) et \(k = 1\). En conséquence, \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))) ) )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1)) ( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_( \ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^ k ((\left((\frac((\Del) ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \ gauche[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right ))^(k - 1)))))(( (n^k)))) ) \right)) \right].) \] 0\). Tom, (L = 1). Tse signifie que la fonction exponentielle \(y = (e^x)\) est similaire à la fonction exponentielle : \

Soit une fonction au voisinage du point

Signe globalement accepté d'une fonction similaire en un point

Table

Sens géométrique d'une fonction similaire en un point.

Regardons le sichnu UN B graphiques de fonction y=f(x) taches de taku sho MAISі DANS trouver les bonnes coordonnées , argument de - zbіlshennya. De manière significative grâce à une fonction accrue. Tout est significatif sur le fauteuil :

3 tricots rectangulaires abc peut être. Les éclats pour les rendez-vous sont dotichnaya - le camp frontalier est maintenant, alors .

Devinons le but de la fonction suivante au point : la fonction suivante y=f(x) le point est appelé la limite entre l'augmentation de la fonction et l'augmentation de l'argument à , est indiqué .

Otzhe, , de - Coefficient de dotichny de Kutovy.

Dans ce rang, la base d'une fonction similaire y=f(x) au point équivaut au point du graphique de la fonction y=f(x) au point de tourment, d'ailleurs kutovyi, ensuite .

Raccord: sens géométrique d'une fonction similaire en un point polagaє à іsnuvannі dotіchї au calendrier des fonctions à un moment donné.

20 Différentiation de fonction en un point. Cette différenciation mentale suffisante est nécessaire.

L'incrément d'une fonction différenciée à ce point peut être comme une fonction linéaire d'une augmentation de l'argument, jusqu'à l'ordre de petitesse le plus élevé. Tse signifie que vous pouvez remplacer la fonction linéaire par de petits nombres près des points (la vitesse de modification de la fonction est considérée comme permanente). La partie linéaire de la fonction augmentée est appelée la différentielle (à ce stade).

Nécessaire, quoique manquant de différenciation mentale - fonction non permanente. Dans différentes fonctions, sous la forme d'un discours modifiable, la différenciation est également forte sur la base d'un discours similaire. Dans différentes fonctions, certains des changements de discours sont nécessaires (mais pas suffisants) avec une différenciation mentale, et la base des changements privés est similaire à tous les changements. Pour la fonction différentielle des décalcomanies changeant au point, il suffit, pour que les événements privés aient eu lieu au voisinage du point donné et aient été sans interruption au point donné.

21 Différentiation de fonction en un point. Théorème sur la continuité d'une fonction qui différencie.

Théorème.

Si la fonction à ce point est différenciée, alors la fonction à ce point est ininterrompue.

Preuve.

Soit la fonction y=f(x)y=f(x) différenciée au point x0x0, alors l'augmentation de la fonction est meilleure Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx )⋅x.

Lorsque l'argument de la fonction ∆x∆x augmente à zéro, la fonction ∆y∆y augmente également à zéro, et cela signifie que la fonction est ininterrompue.

C'est pourquoi nous avons tenu compte du fait que la fonction y=f(x)y=f(x) est dérivée au point x0x0, et qu'il s'agit d'une fonction ininterrompue au point x0x0. Qu'est-ce qu'il a fallu pour apporter.

De cette façon, l'innocence d'une fonction en ce point est nécessaire, mais pas assez mentale pour la différenciation d'une fonction.

bout.

Fonction y=|x|y=|x| le point x0x0 a une fonction ininterrompue, mais la fonction de ce point n'est pas différenciée.

En fait, l'augmentation de la fonction est plus coûteuse :

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=|Δx|.

Quand on le prend :

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

La frontière limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx n'existe pas, ce qui signifie que la fonction y=|x|y=|x|

22 Fonction différentielle. Différentiel de sens géométrique.

La fonction différentielle du point de chant X appelée la partie principale et linéaire de la fonction augmentée.

Différentiel de fonction y=f(X) au bon travail de її similaire à l'augmentation X(argument).

Il devrait être écrit comme ceci :

Différentiel de sens géométrique. Différentiel de fonction y=f(X) à l'augmentation de l'ordonnée de la dotique S, effectuée avant le graphe de la fonction au point M( X; y), lors du changement X(argument) par la valeur (div. bébés).

23 La règle de différenciation somme que dobutku.

Pour prouver une autre règle de différenciation, on accélère la nomination des semblables et des pouvoirs entre fonctions ininterrompues.

Avec un rang similaire, vous pouvez apporter ce qu'est une bonne somme (au détail) n fonctions de la somme complémentaire (détail) n pokhіdnyh

Nous apportons la règle de différenciation à l'addition de deux fonctions.

Écrivons entre l'amélioration de la création de fonctions et l'amélioration de l'argument. Il est prudent de dire que i (l'incrément de la fonction augmente à zéro lorsque l'argument est incrémenté, ce qui augmente à zéro).

Qu'est-ce qu'il a fallu pour apporter.

24 Invariance de la différentielle de forme 1.

Invariance de la forme de la première différentielle

Yakscho X- changement indépendant, puis dx = X - X 0 (augmentation fixe). À qui l'esprit est-il possible

df(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Yakscho X = φ (t) est une fonction différenciée, alors dx = φ" (t 0)dt. Otzhe,

de sorte que le premier différentiel peut avoir une invariance de puissance si vous remplacez l'argument.

25 Théorème de rôle.

Théorème de Rolle (théorème zéro) stverzhuє, scho

preuve

Dès que la fonction est devenue plus forte, alors c'est plus évident, les fragments sont similaires à la fonction à zéro en tout point de l'intervalle.

Yakschko zh, sens osskіlki de funkії aux points limites du segment Rivni, puis vіdpovid au théorème Weiєrshtrass, Vona Nabuiva, Holy Nibільшое ABO NIMENSHOVA VENANCE IN OPTERSIY POTCIІ INTERVALE, TOBTO MAY IN TOTCІ POTKTSI LOCALNY EKSTREMUM, І POUR LEMME FARME POTCIІ PUPIDNA DORIVNUє 0 .

sens géométrique

Théorème stverdzhuє, scho yakscho ordonnée des deux lignes courbes lisses kintsіv, puis il y a un point sur la courbe, en yakіy dotichna à la courbe parallèle à l'axe des abscisses.

26 Théorème de Lagrange et ses conséquences.

La formule des incréments de fin ou Théorème de la valeur moyenne de Lagrange affirme que la fonction est ininterrompue par rapport à l'intervalle et différenciée dans l'intervalle, alors il existe un point tel que

.

Géométriquement Il peut être reformulé comme suit: il y a un point sur la vіdrіzka, dans lequel il est dotichna parallèle à l'accord, qui doit passer par les points du graphique, ce qui doit indiquer les points de la vіdrіzka.

Occultation mécanique: Déplaçons les points au moment de l'ouverture de la position du naissain. Todі є way, passages d'instant en instant, vіdnoshennia - la vitesse moyenne pour tout l'intervalle. Cela signifie que si la vitesse du corps est affectée à tout moment à l'heure, alors le moment de chant sera égal à sa valeur moyenne sur cette dimension.

preuve

Pour la fonction d'un changement :

Introduisons une fonction. Pour neї vykonanі, pensez au théorème du rôle: sur kіntsyah vіdrіzka її znachenya à zéro. Ayant rapidement deviné par le théorème, nous prenons en compte qu'il s'agit d'un point , qui a une fonction similaire à zéro :

ce qu'il fallait apporter.

Résultats et compréhension

Le théorème de Lagrange sur les incréments finis est l'un des plus importants, le théorème de Wuzlov pour tous les systèmes de calcul différentiel. Il existe de nombreux ajouts aux mathématiques computationnelles, et les théorèmes les plus importants de l'analyse mathématique sont également hérités.

Dernier 1. Une fonction qui se différencie en une variable, semblable, qui est plus proche de zéro, est une constante.

Preuve. Pour be-yakikh i іsnuє point, tel scho.

Donc, pour tout i, l'équanimité est correcte.

Cas 2 (formule de Taylor avec un terme redondant sous la forme de Lagrange). Si la fonction est différenciée une fois à la périphérie du point, alors pour les petits (c'est calme, pour certains autres points situés près de la périphérie), la formule de Taylor est valide :

de - nombre deyake z invalu.

Les 3 derniers. De même, la fonction du variable deux est différenciée à la périphérie du point Pro et tous les autres changements sont similaires sans interruption au point O, alors l'égalité est juste au deuxième point :

Preuve pour . Nous fixons la valeur et examinons les opérateurs de vente au détail

D'après le théorème de Lagrange, trouver les nombres , alors

à par la continuité d'autres fonctions similaires.

De même, on peut soutenir que .

Ale oskіlki, (qui sont reconsidérés sans milieu), qi entre zbіgayutsya.

Naslidok 4 (formule de Newton-Leibnitz). Si la fonction est différenciée en une branche et est intégrée de la même manière après Riemann dans chaque branche, alors la formule suivante est vraie : .

Preuve. Allez, une sacrée pause dans le vent. Le théorème de Zastosovuyuchi Lagrange, cutané z vіdrіzkіv connaît le point tel que .

Selon la valeur de l'équanimité, on enlève :

Livoruch a coûté la somme intégrale de Riemann pour l'intégrale de la distribution assignée donnée. Passant à l'inter-diamètre de l'entrefer, on enlève la formule de Newton-Leibnitz.

Naslіdok 5 (Théorème sur l'estimation des incréments de fin). Laissez le dynamisme se différencier sans interruption dans la zone opulente et compacte de l'espace. Todi.

27 Théorème de Kashi.

Théorème de la valeur moyenne de Cauchy.

Donner ces deux fonctions et telles que : 1. affectées et ininterrompues à l'urgence ; 2. jours fériés et week-ends à intervalles réguliers ; 3. décrémente et ne remet pas à zéro en même temps sur l'intervalle 4. ; todі insnuє, pour yakoї virno: . (Comment nettoyer l'esprit 4, il faut, par exemple, aider l'esprit 3: g "(x) n'est pas coupable d'aller à zéro n'importe où dans l'intervalle.)

Géométriquement, elle peut être reformulée comme suit : si et pour fixer la loi de rotation sur le plan (d'affecter l'abscisse et l'ordonnée par le paramètre ), alors sur toute sous-parcelle d'une telle courbe, donnée par les paramètres i , il existe un vecteur enfant colinéaire au vecteur de déplacement dans à .