Cours de conférences. Bibliothèque ouverte

C'est facile à retenir.

Bon, n'allons pas loin, intéressons-nous à la fonction de rotation. Quelle est la fonction de retour pour la fonction d'affichage ? Logarithme:

Notre vipadka a pour base un nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire le logarithme de la base) est appelé "naturel", et pour le nouveau vainqueur, il est particulièrement important : nous écrivons le texte.

Qu'est-ce que tu en as à faire? De toute évidence, .

La façon de regarder le logarithme naturel est encore plus simple :

Appliquer:

1. Trouvez une fonction appropriée.
2. Pourquoi les fonctions semblent bonnes ?

Suggestions: Les fonctions exponentielles et logarithmes naturels sont particulièrement simples à regarder. Montrer ces fonctions logarithmiques avec n'importe quelle autre base sera la mère du futur, comme nous l'analyserons plus tard avec vous, après cela, nous passerons en revue les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Quelles règles ? Je revisite un nouveau terme, je revisite ?!

Différenciation- L'ensemble du processus est mauvais.

Seulement et tout. Sinon, comment pouvez-vous décrire le processus en un mot ? Pas la production de... La différentielle des mathématiques est le nom donné aux très grandes fonctions at. Vіdbuvaєtsya tsey termin vіd latinskogo ryznitsya. Axe.

Avec toutes ces règles victorieuses, nous avons deux fonctions, par exemple, i. Nous avons également besoin de la formule de leur incrément :

Usyogo є 5 règles.

Une constante à reprocher au signe du bien.

Yakshcho - comme un nombre constant (constant), etc.

Évidemment, cette règle s'applique au commerce de détail : .

Allons s'en approprier. Que ce soit plus facile.

appliquer.

Découvrez les fonctionnalités associées :

1. à ce point;
2. à ce point;
3. à ce point;
4. à ce point

Solution:

1. (pokhіdna est le même en tous points, des fragments de toute la fonction, vous vous souvenez ?);

Robot Pokhidna

Tout est similaire ici : nous introduisons une nouvelle fonction et nous connaissons l'amélioration :

Pokhidna :

Appliquer:

1. Connaître des fonctions similaires ;
2. Découvrez des fonctions similaires à un moment donné.

Solution:

Fonctions d'affichage Pokhіdna

Maintenant, vos connaissances sont suffisantes, vous pouvez donc apprendre à savoir s'il s'agit d'une fonction d'affichage, et pas seulement exponentielle (n'oubliez pas, qu'est-ce que c'est ?).

Père, de - tse yakes numéro.

Nous connaissons déjà une mauvaise fonction, alors essayons d'amener notre fonction sur de nouvelles bases :

Je vais l'accélérer avec une règle simple : . Todi :

Eh bien, waouh. Essayez maintenant de trouver ce qui ne va pas, et n'oubliez pas que cette fonction est pliable.

Wiishlo ?

Axis, corrigez-vous :

La formule wiyshla ressemble encore plus à un exposant mort: telle qu'elle était, elle a donc été perdue, elle est apparue comme un multiplicateur, qui n'est qu'un nombre, mais pas un changement.

Appliquer:
Trouvez des fonctionnalités intéressantes :

Suggestions:

Ce n'est qu'un nombre, il est impossible de le comprendre sans calculatrice, vous ne pouvez donc pas l'écrire de manière plus simple. C'est pourquoi une telle personne regarde et ressent trop.

Respectueusement, qu'il y a deux fonctions ici, nous avons besoin d'une règle de différenciation différente :

Cette crosse a deux fonctions :

Fonction logarithmique Pokhіdna

Ici c'est similaire : vous savez déjà regarder le logarithme naturel :

Pour quelqu'un qui veut en savoir assez sur le logarithme avec une autre base, par exemple :

Il faut ramener ce logarithme à la base. Et comment changer la base du logarithme ? Je spodіvayus, vous vous souvenez de cette formule:

Tіlki maintenant zamіst pisatimemo:

Le bannerman avait une constante simple (un nombre constant sans changement). C'est facile de sortir :

Pokhіdnі show et les fonctions logarithmiques ne peuvent pas être utilisées dans l'EDI, mais nous ne les connaîtrons pas.

Fonction pliable Pokhіdna.

Qu'est-ce qu'une "fonction pliable" ? Salut, tse n'est pas un logarithme ni un arc tangent. Ces fonctions peuvent être pliables pour la compréhension (si vous voulez que le logarithme soit pliable, lisez le sujet "Logarithmes" et parcourez tout), mais du point de vue des mathématiques, le mot "pliable" ne signifie pas "très important" .

Montrez-vous un petit convoyeur : deux personnes s'assoient et se dérobent comme elles le sont avec de tels objets. Par exemple, le premier brûle une barre de chocolat dans un collier, et l'autre l'attache avec une ficelle. Sortir un tel objet d'entrepôt : une barre de chocolat, brûlée et attachée avec une ficelle. Afin d'avoir une barre de chocolat, vous devez développer une alimentation saine dans un ordre sain.

Créons un pipeline mathématique similaire : tout d'abord, nous connaissons le cosinus d'un nombre, puis nous retirons le nombre, nous le mettons au carré. Otzhe, on nous donne un numéro (chocolat), je connais le yogo cosinus (obgorka), et puis tu fais de ceux que j'ai eu un carré (nouer une ligne). Qu'est-il arrivé? une fonction. Tse et є bout d'une fonction de pliage: si la signification du її znachennja mi est problyaєєєm dіyu sans intermédiaire z zmіnnoї, cela bui che autre dіyu sur ceux qui ont le résultat du premier.

Autrement dit, fonction réductible - la fonction entière, dont l'argument est l'autre fonction: .

Par exemple, .

Nous pouvons travailler dans l'ensemble dans l'ordre inverse: sur le dos de votre main, vous faites un carré, puis je cherche le cosinus du nombre pris: . Il n'est pas facile de deviner que le résultat peut être différent pour toujours. La particularité des fonctions de pliage est importante : changement de commande et la fonction est modifiée.

Un autre mégot : (le même). .

Diyu, yaku robimo stop, namememo fonction "aller", et diya, ce qui est attribué au premier - évidemment fonction "interne"(appelez-les de manière informelle, je les vis uniquement pour expliquer le matériel à ma manière simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle est interne :

Suggestions: Fonctions internes et externes de Podil même similaires au remplacement des externes: par exemple, les fonctions

1. Premier vikonuvatimeme yaku diyu? Je vais faire un sinus, puis nous commencerons par un cube. Otzhe, fonction interne, mais externe.
   Et la fonction de sortie est sa composition : .
2. Interne : ; appelant : .
   Révision : .
3. Interne : ; appelant : .
   Révision : .
4. Interne : ; appelant : .
   Révision : .
5. Interne : ; appelant : .
   Révision : .

vikonuemo zamіnu zmіnnyh et otrimuєmo funktіuєmo.

Eh bien, maintenant nous allons prendre notre barre de chocolat - je vais me taire. L'ordre du jour est toujours inversé : un par un, il semble que ce soit la même fonction externe, puis on multiplie le résultat par la fonction interne suivante. Des centaines de fois je vais le mettre comme ça:

Deuxième exemple :

Otzhe, formuler, nareshti, règle officielle :

Algorithme pour la fonction de pliage familière :

Tout est simple, non ?

Vérifions les mégots :

Solution:

1) Interne : ;

Appel : ;

2) Interne : ;

(Ne pensez pas maintenant à être rapide! Le cosinus Z-pіd ne blâme rien, vous vous souvenez?)

3) Interne : ;

Appel : ;

Vous pouvez clairement voir qu'il existe ici une triple fonction de pliage: adzhe est déjà une fonction de pliage en soi, et à partir de là, la racine est tirée, de sorte qu'elle gagne le troisième jour (chocolat dans un obgorttsі et avec une chaîne est mis dans une mallette). Mais il y a plusieurs raisons à cela : tout de même, nous allons « déballer » cette fonction dans le même ordre qu'elle sonne : à partir de la fin.

C'est pourquoi je différencie d'abord la racine, puis le cosinus, et puis on perd le viraz au niveau des tempes. Et puis on multiplie tout.

Parfois, numérotez manuellement le dії. Tobto uyavimo, scho us vіdomy. Dans quel ordre allons-nous travailler diy, pour calculer la valeur de cette virase ? Jetons un coup d'œil au cul:

Quelle que soit la journée supposée être, plus la fonction sera « belle ». Séquence diy - comme et avant :

Ici, la contribution a été augmentée 4-r_vneva. Signifions commande bricolage.

1. Sous-racine viraz. .

2. Korine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. On choisit tout avant d'acheter :

VIROBNICH. EN BREF SUR LES CHOSES

Autres fonctions- extension de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de l'argument avec un accroissement infiniment petit de l'argument :

Voyages de base :

Règles de différenciation :

La constante à blâmer pour le mauvais signe :

Somme de Pokhidna :

Bon travail:

Le voyage est privé :

Fonctions de pliage :

Algorithme pour la familiarité d'une fonction de pliage similaire :

1. Nous voyons la fonction "interne", nous savons qu'elle a disparu.
2. Il est évident que la "belle" fonction, on sait que je serai parti.
3. Nous multiplions les résultats du premier et des autres points.

Ne laissez pas la vie nous dire la signification exacte des quantités. Parfois, vous devez connaître le changement de la valeur du bus, par exemple, la vitesse moyenne du bus, le changement de la taille du mouvement avant l'intervalle, etc. Pour faire correspondre la valeur de la fonction au point actuel avec les valeurs de la fonction à d'autres points, il est nécessaire de gagner manuellement une telle compréhension, comme "incrément de la fonction" et "incrément de l'argument".

Le concept de "augmentation de la fonction" et "augmentation de l'argument"

Il est possible que x soit un point suffisamment bon pour se situer près du point x0. L'incrément de l'argument au point x0 est appelé la différence x-x0. L'augmentation est indiquée comme suit : ∆x.

• ∆x=x-x0.

En d'autres termes, la valeur est également appelée l'augmentation de la variation indépendante au point x0. Trois formules sont viables : x = x0 + ∆x. Dans de telles situations, il semble que la valeur moyenne du changement indépendant x0 ait enlevé l'incrément de ∆x.

Si nous changeons l'argument, la valeur de la fonction changera également.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Fonctions plus grandes f au point x0, la différence f(x0 + ∆х) - f(x0) s'appelle la différence de croissance ∆х. L'incrément de la fonction est indiqué par le rang d'avancement ∆f. Dans ce rang, on prend au rendez-vous :

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

En d'autres termes, ∆f est également appelé une augmentation des terres en jachère et dans le but de comprendre le vicoriste ∆y, en fonction de la bula, par exemple, y \u003d f (x).

Sensation géométrique

Regardez les petits qui arrivent.

Comme une bachite, l'augmentation montre le changement de l'ordonnée et de l'abscisse du point. Et l'extension de l'augmentation de la fonction à l'augmentation de l'argument est déterminée comme étant bâclée, pour passer par les positions de naissain et de fin du point.

Regardons la fonction plus large et l'argument

Exemple 1. Trouver l'augmentation de l'argument ∆x et l'augmentation de la fonction ∆f au point x0, donc f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Accélérer avec les formules, pointer plus haut :

a) ∆x = x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1 ;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39 ;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1 ;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

fesses 2. Calculez l'augmentation ∆f pour la fonction f(x) = 1/x au point x0, comme une augmentation de l'argument ∆x.

Eh bien, je sais, accélérer avec les formules, en retirer plus.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

de la physique médicale et biologique

Conférence №1

VIROBNICH I FONCTION DIFFÉRENTIELLE.

VIROBNICHI PRIVÉ.

1. Ponyatya pokhіdnoї, її mekhanіchny et zmіst géométrique.

mais ) Incrémentation de l'argument de cette fonction.

Soit la fonction y = f (x) soit donnée, où x est la valeur de l'argument de la zone de la fonction assignée. Si vous choisissez deux valeurs de l'argument x o і x іz le premier intervalle de la zone de fonction, la différence entre les deux valeurs de l'argument est appelée le plus grand argument : x - x o =∆x.

La valeur de l'argument x peut être attribuée en termes de x 0 et de la même augmentation : x \u003d x pro + ∆x.

La différence entre deux valeurs de fonction est appelée la plus grande fonction : ∆y = ∆f = f(x pro + ∆x) - f(x o).

L'augmentation de l'argument et de la fonction peut être représentée graphiquement (Fig. 1). Une augmentation de l'argument et une augmentation de la fonction peuvent être à la fois positives et négatives. Comme le montre la figure 1, l'augmentation géométrique de l'argument ∆х est représentée par une augmentation de l'abscisse et l'augmentation de la fonction ∆y - par l'augmentation de l'ordonnée. Le calcul de l'augmentation des fonctions suivantes est effectué dans un ordre offensif:

nous donnons à l'argument une augmentation ∆x et prenons la valeur - x + Δx ;

2) la valeur connue de la fonction de la valeur de l'argument (х+∆х) – f(х+∆х);

3) augmentation significative de la fonction ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Bout: Changez la fonction y=х 2, changeant ainsi l'argument de x pro =1 à x=3. Pour un point x autour de la valeur de la fonction f(x o) = x² ; pour un point (xo + ∆x) la valeur de la fonction f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, étoiles ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x environ ∆x + ∆x 2; ∆f = 2х environ ∆х+∆х 2 ; ∆х = 3-1 = 2 ; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Zavdannya, scho à produire pour comprendre le laid. Vznachennya pokhіdnoi, її physіchny zmіst.

La compréhension de l'argument et de la fonction est nécessaire pour l'introduction de la compréhension des pauvres, car elle est historiquement due à la nécessité de désigner la sécurité des processus calmes et autres.

Regardons comment la vitesse d'un mouvement en ligne droite peut être vue. Laissez le corps s'effondrer tout droit sorti de la loi : ∆S=  ∆t. A circulation égale : = ∆S/∆t.

Pour une vitesse variable, la valeur ∆Ѕ/∆t est affectée de la valeur  porіvn. , puis  porіvn. =∆S/∆t. Cependant, la suédoisité moyenne ne permet pas d'imaginer la particularité du mouvement du corps et la date de l'annonce de la véritable suédoisité à l'instant t. Avec un changement d'heure, c'est-à-dire. à ∆t→0, la douceur moyenne est jusqu'à sa netteté moyenne - mittevskoy :

 inst. =
 porno. =
∆S/∆t.

C'est ainsi que la réaction chimique se manifeste et mitteva :

 inst. =
 porno. =
∆х/∆t,

de x - la quantité de parole qui a été prononcée pendant la réaction chimique en une heure t. Des tâches similaires pour la désignation de la flexibilité de divers processus ont été apportées à l'introduction en mathématiques de la compréhension des fonctions aléatoires.

Soit la fonction f(х) donnée sans interruption, affectée sur l'intervalle ]a,b[іє incrément ∆f=f(x+∆x)–f(x).
є fonction ∆x qui fait tourner la vitesse moyenne de changement de fonction.

Mezha vіdnosyn , si ∆х→0, pensez à ce qu'il y a entre, s'appelle une fonction aléatoire :

y" x =

.

Pokhіdna est signifié:
- (Igreek trait sur ix); " (x) - (ef trait sur ix) ; y" - (coup de gravure); dy / dх – (de igreek à de iks); - (Igrek avec un point).

En s'éloignant du sort du pokhіdnoi, nous pouvons dire que mitteva shvidkіst prіkіlіynіy ruhu є є khіdny vіdnoj shlyakhu par heure:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

De cette façon, vous pouvez créer un nevtishny vysnovka, qui est similaire à la fonction derrière l'argument x є mitteva changer la fonction f(x):

y" x = f " (x) =  inst.

Dont les Polonais ont un sens physique semblable. Le processus de connaissance de la différence est appelé différenciation, à laquelle l'expression «différencier une fonction» équivaut à l'expression «connaître la différence d'une fonction».

dans)Le sens géométrique est similaire.

P
la fonction dérivée y \u003d f (x) peut être un sens géométrique simple, se liant aux concepts dotichї à une ligne courbe au point deyakіy M. De cette façon, dotichno, tobto. une ligne droite est pivotée analytiquement y regardant y \u003d kx \u003d tg x, de? – kut mal dotique (droit) à l'axe X. Sensiblement courbe bezperervnu en tant que fonction y = f(x), prenez le point de courbe M_ près de lui le point M 1 et dessinez à travers eux s_chnu. Її coefficient de coupe jusqu'à sec =tg β = .Pour approcher le point M 1 à M, alors l'augmentation de l'argument ∆х se déplacera vers zéro, et la correspondance à β = α prendra la position du point. Sur la Fig. 2, nous voyons : tgα =
tgβ =
=y" x .

à = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Aussi, le coefficient supérieur, qui vaut le graphique de la fonction en ce point, la valeur la plus ancienne est semblable au point de retournement. Pour qui le sens géométrique polygaє est similaire.

G)Zagalne règle znakhodzhennya pokhіdnoi.

Dès l'heure dite, le processus de différenciation d'une fonction peut être un rang offensif :

f(x+∆x) = f(x)+∆f ;

en savoir plus sur les fonctions : ∆f= f(х + ∆х) - f(х) ;

additionnez l'augmentation de la fonction à l'augmentation de l'argument :

;

Bout: f(x)=x 2; F " (x) = ?.

Cependant, comme vous pouvez le voir sur ce simple mégot, zastosuvannya a désigné une séquence pour l'heure de la dernière prise - un processus laborieux et pliant. Par conséquent, pour diverses fonctions, des formules générales de différenciation sont introduites, comme présenté dans le tableau "Formules de base pour la différenciation des fonctions".

Allez X- Argument (changement indépendant); y=y(x)- Une fonction.

On prend une valeur fixe de l'argument x=x 0 cette valeur calculable de la fonction y 0 = y(x 0 ) . Maintenant, nous allons le mettre dans un ordre équitable croissance (changer) l'argument est significativement yoga  X ( X peut-être une sorte de signe).

Argument de zbіlshennyam - point X 0 +  X. C'est permis, ça a aussi la valeur de la fonction y=y(x 0 +  X)(Div. bébés).

De cette façon, avec un changement suffisant de la valeur de l'argument, le changement de la fonction a été supprimé, comme on l'appelle pour plus valeurs de fonction :

et pas suffisant, mais se présenter sous la forme d'une fonction et d'une grandeur
.

Un incrément à l'argument de cette fonction peut être kіntsevimi, ensuite. vyslovlyuvatisya en nombre rapide, dans différents pays, ils sont parfois appelés en fin de vie.

Dans l'économie du Kintsev, les croissances sont plus fréquentes. Par exemple, les tableaux contiennent des données sur la dovzhina du trésor de l'état deaco. Évidemment, l'allongement des frontières est compté comme une voie d'importance vers l'avant à partir de l'offensive.

Jetons un coup d'œil à la dozhina du zaliznichnoi merezhi en tant que fonction, dont l'argument sera d'une heure (roches).

	Dovzhina des gares ferroviaires le 31.12, ths.km.	priste	Croissance moyenne

En soi, les lignes de chemin de fer zbіlshennya funktsії (parfois chemin de fer dovzhini) caractérisent mal le changement de fonctions. Nos fesses sont de quoi 2,5>0,9 il est impossible de faire pousser du wisnovok, que le merezha a poussé plus vite dans 2000-2003 rocher, plus bas 2004 r., à ce prêtre 2,5 jusqu'à la période de la trinité, et 0,9 - Moins d'un destin. Pour cela, il est tout à fait naturel que la fonction zbіlshennya produise jusqu'à un changement dans l'argument. L'incrément de l'argument ici est période : 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

On enlève ceux qu'on appelle dans la littérature économique croissance moyenne.

Vous pouvez omettre l'opération de réduction de l'argument à un, de sorte que vous puissiez prendre la valeur de la fonction pour la valeur de l'argument, qui est défini sur un, ce qui n'est pas possible.

Dans l'analyse mathématique, zocrema, dans le calcul différentiel, on peut regarder des augmentations infiniment petites (BM) de l'argument de cette fonction.

Fonctions différentielles d'un changement (le même différentiel) Fonctions similaires

Incrémenter l'argument et la fonction au point X 0 c'est possible comme différence de valeurs infiniment petites (div. sujet 4, différence BM), tobto. BM une commande.

Todi х vіdshennya sera la mère de la frontière de Kіntsev, car elle est reconnue comme une fonction similaire dans t X 0 .

Entre l'augmentation de la fonction à BM l'augmentation de l'argument au point x=x 0 appelé pokhidny fonctions à ce stade.

La désignation symbolique du trait suivant (et, en fait, le chiffre romain I) a été inspirée par Newton. Vous pouvez battre l'indice inférieur, qui montre, quel changement est calculé, par exemple, . Il existe également une grande variété d'autres définitions, proposées par le fondateur du calcul du pire, le mathématicien allemand Leibnitz :
. Pour l'occasion, il faut mieux connaître les panneaux et le rapporter à la distribution Différentiel de fonction et différentiel d'argument.

Le nombre de Tse est estimé vitesse changer de fonction pour passer par un point
.

Nous installons sens géométrique fonctions similaires aux points. Avec cette méthode, nous allons demander le calendrier de la fonction y=y(x) qui est significatif sur le nouveau point qui signifie le changement y(x)à l'intermédiaire

Des centaines de graphiques de la fonction en points M 0
nous respecterons le camp frontalier de l'actuel M 0 M laver
(grain M kovzaє derrière le graphique de la fonction au point M 0 ).

Regarder
. De toute évidence,
.

Comme un point M redresser le graphique de la fonction droit au but M 0 , alors la valeur
être pragnet à la limite du chant, tant c'est appréciable
. Quand tsimu.

bordure coupée  zbіgaєtsya s kutom nahily dotichny, effectué avant le calendrier de la fonction. M 0 comme ça
numériquement supérieur coefficient de réduction de la dose aux points désignés.

-

sens géométrique d'une fonction similaire en un point.

De cette manière, on peut écrire l'égalité du point et de la normale ( Ordinaire – elle est droite, perpendiculaire au graphe de la fonction au point réel X 0 :

Shodo-.

Normal -
.

Cіkavі vpadki, si c'est prіmі raztashovanі horizontalement ou verticalement (div. sujet 3, okremі vіpadki positionné directement sur l'avion). Todi,

yakscho
;

yakscho
.

Le pokhіdnoї nommé s'appelle différenciation les fonctions.

 Quelle est la fonction au point X 0 Puis-je quitter Kintsev, elle s'appelle différenciéÀ ce point. Une fonction qui se différencie en tous les points d'un intervalle donné est appelée une fonction différenciée sur cet intervalle.

 Théorème . Quelle est la fonction y=y(x) différencié en t.ch. X 0 , alors le gagné à ce stade est ininterrompu.

d'une telle manière, ininterrompu- Fonction différentielle mentale nécessaire (mais pas suffisante).

1. Argument zbіlshennya et fonction zbіlshennya.

Donnons la fonction. Prenons deux sens pour l'argument : pochatkove ce changement, comme il est accepté de signifier
, de - la valeur de comment changer l'argument pour le passage de la première valeur à une autre, elle s'appelle argument de zbіlshennyam.

Les valeurs de l'argument qui correspondent aux premières valeurs de la fonction : ça a changé
, évaluer , comme la valeur de la fonction change lorsque l'argument est modifié par la valeur , est appelée plus de fonctions.

2. Compréhension entre les fonctions à un point.

Nombre appelée fonction frontière
quand, quelle pragne à yakscho pour n'importe quel nombre
trouver un tel nombre
, quoi pour tous
qui satisfait la nervosité
,
.

Une autre désignation: Le nombre est appelé la limite de la fonction lorsque, qui est pragne à, quant à savoir s'il y a un nombre, il y a un tel point autour du point, qui pour s'il y a un cercle autour. être nommé
.

3. fonctions infiniment grandes et infiniment petites d'un point. La fonction d'un point est infiniment petite - une fonction, entre eux, qu'il n'est pas possible que le point soit égal à zéro. Fonction infiniment grande dans le point - la fonction de la frontière, s'il y a une différence, au point d'une plus grande incohérence.

4. principaux théorèmes à propos entre eux et leurs implications (sans preuve).

conséquence : le multiplicateur constant peut être mis en cause pour le signe frontière :

Comme une séquence converger et interséquence vіdmіnna vіd zéro, puis

suivant : le multiplicateur de poste peut être blâmé pour le panneau de délimitation.

11. Comment comprendre entre les fonctions
і
et entre les fonctions vіdmіnna vіd zéro,

alors il faut aussi établir la frontière entre les deux fonctions, égale à la frontière entre les fonctions et :

.

12. yakscho
, ensuite
, est juste et vicieux.

13. théorème sur la suite intermédiaire. Comme une séquence
semblable, je
і
ensuite

5. entre les fonctions sur l'incohérence.

Le nombre a est appelé la frontière de la fonction sur l'incohérence, (avec x pragne à l'incohérence) quant à savoir s'il existe une suite, qui est pragne à l'incohérence
montrer la séquence de sens, vers quoi passer mais.

6. redels de la séquence numérique.

Nombre mais appelée frontière de la suite numérique, comme pour tout nombre positif il existe un nombre naturel N, alors pour tout n> N presque
.

Symboliquement, cela se présente ainsi :
équitable.

Le fait que le nombre maisє séquence limite, signifiée par le rang à venir :

.

7. numéro "e". logarithmes naturels.

Nombre "e" sont entre des suites numériques, n- ème membre
, ensuite.

.

Logarithme naturel - logarithme avec base tobto. les logarithmes naturels sont indiqués
sans rendez-vous.

Nombre
permet de passer du dixième logarithme au naturel et inversement.

, Yogo est appelé le module de transition des logarithmes naturels aux dizaines.

8. miracles entre
,

.

Première limite miracle :

d'une telle manière

derrière le théorème sur la suite intermédiaire

autre frontière miraculeuse:

.

Pour prouver la base de la frontière
vikoristovuyut lema : pour un nombre si fougueux
і
l'inégalité est juste
(2) (quand
ou
la nervosité se transforme en jalousie.)

La séquence (1) peut s'écrire comme suit :

.

Regardons maintenant la séquence suivante du membre commun
perekonaєmosya, qu'elle change et frangée d'en bas:
yakscho
, puis la séquence change. Yakscho
la séquence est bordée en bas. Montrons :

en vertu de l'équanimité (2)

tobto.
ou
. Autrement dit, la séquence change, et ainsi de suite. puis la séquence est bordée par le bas. Comme si la séquence est changeante et bordée par le bas, il peut y avoir entre. Todi

peut se situer entre cette séquence (1), c'est-à-dire jusqu'à.

і
.

L. Euler nommant la frontière .

9. bordures unilatérales, fonctions d'extension.

le nombre A livu entre, quant à savoir si la séquence est victorieuse ou non comme ceci : .

nombre Un droit entre, quant à savoir si oui ou non la séquence est vikonuetsya comme ceci: .

Et après mais se situer dans la zone de la fonction assignée, ou її entre, rompre la continuité mentale de la fonction, pointer mais appelé un point d'expansion ou un développement d'une fonction. yakscho au bon endroit

12. la somme des termes de la progression géométrique récessive inachevée. La progression géométrique est une séquence, auquel cas entre les membres à venir, que les membres avancés sont laissés permanents, et ce changement est appelé le signe du progrès. La somme du premier n membres de la progression géométrique sont exprimés par la formule
formule tsyu manuellement vykoristovuvatime progression géométrique récessive - progression en ce que la valeur absolue de la norme est inférieure à zéro. - Premier membre ; - un signe de progrès ; - Le numéro du membre pris de la séquence. La somme de la progression récessive sans restriction est un nombre qui n'est pas limité par la somme des premiers membres de la progression récessive avec une augmentation sans restriction du nombre.
ensuite. La somme des termes d'une progression géométrique inexorablement lente coûte plus cher .