Qiziqni tushuning

Funktsiyaga keling f(x) deyakom avansga tayinlanadi X. Nadamo bu argumentni anglatadi x 0 X yanada kengaytirilgan Δ x yaxshi nuqta x 0 + Δ x ham yotardi X. Todi vidpovidne takomillashtirilgan f (x) funksiyasi aktsiya D da = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Qiymat 1. f (x) funktsiyalari nuqtada x 0 nuqtadagi funktsiya ortishidan D dagi argumentning ortishiga ayirmasi deb ataladi x 0 (yakscho tsya meza isnuê).

Belgilar ma'noli funktsiya uchun ishlatiladi da " (x 0) abo f"(x 0):

Deyakiy nuqtasida Yaksho x 0 chegara (4.1) cheksiz emas:

keyin bu nuqtada ko'rinadi x 0 funktsiyasi f(x) maê Men hech qachon tugamayman.

Yaksho funktsiyasi f(x) Men ko'plikning teri nuqtasiga boraman X, u o'g'irlangan f "(x) argument vazifasini ham bajaradi X, uchun amal qiladi X.

Suyakning geometrik tuyg'usi

Geometrik ma'noni aniqlash uchun biz qiymatni bilishimiz kerak, lekin berilgan nuqtada funktsiyaning grafigidan foydalanishimiz kerak.

Qiymat 2. Nafrat funksiyalar grafigiga y = f(x) nuqtada M chegara holati deb atash mumkin MN, nuqta bo'lsa N pragne nuqtasi M egri chiziqlar ustida f(x).

Keling, nuqta M egri chiziqda f(x) argumentning qiymatiga asoslanadi x 0, va dog' N - argument uchun qiymat x 0 + Δ x(4.1-rasm). Muhim nuqtali slaydlar, x 0 Agar chegaradan qutulishni istasangiz, bu zarur ho'kiz... 3 trikutnik MNA viplyaê, scho

Yo'qotilgan funktsiyalar f(x) nuqtada x 0 isnu, keyin, shubhasiz (4.1), biz qilamiz

Zvidsy viplya o'g'irlab ketilgan f"(x 0) kuta funksiyasiga (Ox o'qi bo'yicha musbat o'ngga teguvchi kuta nahil) = f(x) da nuqta M(x 0, f(x 0)). Butun kut naxil uchun shunga o'xshash shakl (4.2) formulalardan boshlanadi:

Bolaning jismoniy hissi

Funktsiyani qabul qilish mumkin l = f(t) Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab tushish qonunini tasvirlab beraman l soat bo'yicha t. Todi o'sishi D l = f (t +Δ t) - f (t) - tse yo'llari, interval soatiga o'tish D t, va ishlash D l/Δ t- soatiga o'rtacha tezlik D t... Todi Meza viznacha mittêvu shvidkíst nuqtasi hozir soat birda t Men bir soatdan keyin yo'ldan ketaman.

Qo'shiq tuyg'usi o'z funktsiyalarini yo'qotdi da = f (x) turli funktsiyalarning qanday ekanligini izohlash ham mumkin: ko'proq qiymat f"(x), tim bolshe kut nahilu dotty to egri, tim cool graph f(x) va tezroq o'sish funktsiyasi.

Liva meros qilib olgan huquqlar

Funktsiyalar orasidagi bir tomonlama figuralar bilan o'xshashlik uchun nuqtadagi o'ng va boshqa eski funktsiyalarning raqami kiritilgan.

Qiymat 3. O'ng (jonli) qiziqarli funktsiyalar da = f (x) nuqtada x 0 D da to'g'ri (livy) munosabat (4.1) deb ataladi x 0, shuningdek chegara.

Belgilangan bir tomonlama eski vikorlar uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi:

Yaksho funktsiyasi f(x) ball bilan ma' x 0 Men boraman, yutqazganimdek bir xil nuqtalarga borish uchun chap va huquqim bo'lmaydi.

Yo'naltirilgan dumba funktsiyasi, chunki u bir tomonga teng emas, balki ochkolarda yo'qolishi mumkin. Tse f(x) = |x|. Spraved, nuqtada x = 0 mayomo f '+(0) = 1, f "-(0) = -1 (4.2-rasm) ta f '+(0) ≠ f '-(0), tobto. funksiya qachon odobsiz emas X = 0.

Tanish funktsiyaning ishlashi deyiladi її farqlash; funktsiya, men nuqtaga boraman, chaqiriladi farqlanadi.

Teorema nuqtasida differensiallanish va uzluksiz funksiya o'rtasidagi bog'liqlik o'rnatiladi.

1-TEOREMA ... Funktsiya x 0 nuqtada differentsiallanganligi sababli, u nuqtada to'xtovsiz yutib olinadi.

Zvorotne noto'g'ri qattiqlashdi: funktsiya f(x), nuqtada uzilishlarsiz, men nuqtadan uzoqlasha olaman. Bunday dumba ê funktsiyasi bilan da = |x|; nuqtada uzluksiz g'alaba qozondi x= 0, ale mute odobsiz u tsy nuqtasi

Bunday martabada funktsiyaning farqlanishi tufayli u kuchli, uzilishlar mumkin emas, lekin faqat bir nechta birinchi avtomatik ravishda bir-biriga qaynatiladi.

Rivnyannya shodo funksiyalar grafigi

Yak bulo 3.9-bo'limda nuqtadan o'tish uchun to'g'ridan-to'g'ri oldinga ko'rsatilgan M(x 0, 0 da) kutovym funktsiyasi bilan k ko'rish mumkin

Funktsiya o'rnatilsin da = f(x). Todi oskilki vv deyakíy nuqtasida yo'qoladi M(x 0, 0 da) ê Bizda ajoyib funksiya va nuqtadagi funksiyaning grafigi mavjud M, keyin bu vidsy viplya f(x) u tsy tochtsi maê viglyad

Sana: 20.11.2014 y

U ham yo'qolganmi?

Eski jadval.

Pochidna - matematikaning mohiyatini tushunish uchun rahbarlardan biri. Tushunish uchun butun urotsí mi biladigan iz tsim yilda. Biz buni o'z-o'zidan, qat'iy matematik formulalar va isbotlarsiz bilishimiz mumkin.

Quyidagi bilimlarga imkon beradi:

Razvedka - odobsizlikdan noqulay binolarning mohiyati;

Muvaffaqiyatli yangilandi

Eng kulgililardan jiddiy saboqlarga tayyorlaning.

Spochtka - bu yoqimli ajablanib.)

Suvore vznachennya pohídnoí̈ polyagaê o'rtasida nazariyasi va tugatish uchun bir parcha katlanabilen. Men seni qiynayman. Uyatsiz narsalarni saqlash deyarli amaliy, qoida tariqasida, sizga bunday ajoyib va ​​buyuk bilim kerak emas!

Maktab va VNZ yaqinidagi katta binoning muvaffaqiyatli ishlashi uchun etarli darajada zodagonlik mavjud barcha shartlar- schob razvedka zavdannya, bu barcha qoidalar- Shcheb yogo virishiti. Va hamma narsa. Tse xursand.

Keling, bilimdan boshlaylik?)

Foydalanish shartlari.

Boshlang'ich matematika barcha turdagi matematik operatsiyalar bilan to'la. Qo'shimcha ma'lumotlar, ko'paytirish, qadamlarni qisqartirish, logarifm va boshqalar. Amaliyotlardan biri tugallanishidan oldin ham matematika elementar hisoblanadi. Qia nova operatsiyasi chaqiriladi farqlash. Operaning o'zgarishining belgilanishi dars jarayonida ko'rinadi.

Bu erda aql-idrokni ko'rish muhim, lekin farqlash - bu nafaqat funktsiya ustidagi matematik operatsiya. Funktsiyani oling va qo'shiq aytish qoidalariga ko'ra, qayta yaratiladi vv. Natijada yangi funktsiya paydo bo'ladi. Qia o'qi yangi funktsiya bo'lib, deyiladi: o'g'irlab ketilgan.

Differentsiatsiya- Funktsiya ustidan in'ektsiya.

Pohidna- tsíêí dííí natijasi.

Yak, masalan, so'm- Katlama natijasi. Abo xususiy- Natijada rozpodilu.

Shartlarni bilish, minimal kabi tushunish mumkin.) Formula quyidagicha: yo'qolgan funktsiyani yaratish; uni olib qo'ying; prodifferents_yuvati funktsiyasi; yo'qolganlarni hisoblang va boshqalar. Hammasi bitta ham Zrozumílo, buvayut va katlama bag'ishlanish, itoatkor (farqlash) chegirib o'simlik qayta ko'rib chiqish crocs biri mahrum bo'ladi.

Poznachatsya funktsiyasi ustidan o'ng qo'l tog'larda insult bilan yo'qolgan. Eksa quyidagicha: y " abo f "(x) abo S "(t) va hozirgacha.

O'qing o'yinlar shtrix-kodi, ix-dan ef shtrix-kodi, ulardan EU shtrix-kodi, Xo'sh, ko'rdingizmi ...)

Chiziq ma'lum bir funktsiyani belgilash uchun ham ishlatilishi mumkin, masalan: (2x + 3) ", (x 3 )" , (sinx) " va boshqalar. Ko'pincha qo'shimcha farqlar uchun tan olinishi yo'qoladi, lekin u ham hech qanday tarzda ko'rinmaydi.

Shunga qaramay, bu men uchun muammo. Agar bularning barchasi to'lib ketgan bo'lsa, hammasi joyida.) funktsiyani qo'shiq qoidalariga muvofiq qayta amalga oshirish. Tsix ajoyib tarzda boshqardi, ko'p emas.

Yo'qotilgan funktsiyani bilish uchun zodagonlarga bo'lgan ehtiyoj uchta nutqdan mahrum. Barcha farqlanishga arziydigan uchta kit. Xushbo'y hidning o'qi uchta kitdan iborat:

1. Eski jadval (farqlash formulalari).

3. Tez buklanish funksiyasi.

Bir oz tartibda. Shu bilan birga, barcha urotsi katta yoshdagilar jadvalida ko'rish mumkin.

Eski jadval.

Chiroq funksiyasiz funktsiyaga ega. Amaliy saqlash uchun mavjud bo'lgan ko'plab funktsiyalarning o'rtasida. Funktsiya tabiatning barcha qonunlariga rioya qilishdir. Ularning barchasi uchun zeglinok kabi uchta funktsiyani shakllantirish mumkin. Funktsiyalarning butun sinfi deyiladi elementar funktsiyalar. Maktabdagi funktsiyalar va o'rganishning o'zi ham chiziqli, kvadratik, giperboladir.

Funksiyalarni "noldan" farqlash, tobto. vyhodyachi viznachennya pohidnoy va nazariyasi o'rtasida - bir parcha mehnat ishchi tugatish uchun. Va matematiklar ham odamlardir, yaxshi!) Virahuvali hidi bizdan oldin elementar funktsiyalarini yo'qotdi. Qadimgilar stoli kirdi, hatto tayyor.)

Eksa qozondi, eng mashhur funktsiyalar uchun qya plitasi. Zliva - elementar funktsiya, o'ngda - y yo'qolgan.

	Funksiyalar y	Shunga o'xshash funktsiya y y "
1	C (doimiy qiymat)	C "= 0
2	x	x "= 1
3	x n (n - raqam)	(x n) "= nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2) "= 2x
4	gunoh x	(sin x) "= cosx
	chunki x	(cos x) "= - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	jurnal a x
	ln x ( a = e)

Men sizga katta yoshdagilar jadvalining uchinchi guruhi funktsiyalariga hurmat ko'rsatishingizni maslahat beraman. Bu yaxshi statik funktsiya - eng yangi formulalardan biri, agar u mavjud bo'lmasa! Zrozumiliylarmi?) Demak, eskilarning dasturxonini zodagonlar botqoq qilib qo‘ygan. Nutqdan oldin, bu juda muhim emas, chunki siz turishingiz mumkin. Ko'proq ilovalarni sinab ko'ring, jadvalning o'zi va esda tuting!)

Odobsizlikning jadval ma'nosini biling, siz bilganingizdek, zavdannya eng yaxshisi emas. Buning uchun ko'pincha kichik xodimlarda qo'shimcha chiplar ishlab chiqiladi. Zavodning formulasi uchun yoki jadvaldagi kabi o'ziga xos funktsiyalar uchun - nachebto va soqov.

Dumba tutqichi ko'rinadi:

1. Yo‘qotilgan y = x funksiyani biling 3

Jadvallar uchun bunday funktsiyalar mavjud emas. Ale zagalny viglyadning (uchinchi guruh) statik funktsiyasidan meros bo'lib o'tadi. Vaqti-vaqti bilan n = 3. Eksa va uch tomonlama o'zgarish n keyin natija aniq qayd etiladi:

(x 3) "= 3 x 3-1 = 3x 2

Eksa va hammasi joyida.

Ko'rinish: y "= 3x 2

2. y = sinx umumiy funksiyaning x = 0 nuqtadagi qiymatini biling.

Tse zavdannya, siz sinusdan qanday o'tishni bilishingiz kerakligini anglatadi, keyin esa ma'noni taqdim etadi x = 0 Men o'zimni yo'qotaman. Xuddi shunday tartib! Va keyin, buva, darhol chiqish funktsiyasiga nol qo'ying ... Bizdan chiqish funktsiyasining ma'nosini emas, balki ma'nosini bilishni so'rashadi. odobsiz. Pohidna, menimcha - bu allaqachon yangi funktsiya.

Jadvalga ko'ra, sinus ma'lum va men quyidagilarni o'ylab topaman:

y "= (sin x)" = cosx

Pidstavlyaêmo oxirida nol:

y "(0) = cos 0 = 1

Tse ko'rinadi.

3. Prodifferentsiyuvati funktsiyasi:

Bu ilhomlantiradimi?) Katta yoshdagilar jadvalidagi bunday funktsiyalar deyarli soqov.

O'ylaymanki, funktsiyaning farqlanishi - yo'qolgan funktsiyani bilish oson. Men elementar trigonometriyani unutaman, uni tugatish uchun vazifamizni yo'qotaman. Hech qanday qo'shimcha yordam jadvali ...

Ale yaksho poachiti, bizning vazifamiz qanday pastki kesimning kosinusu, Keyin hammasi birdan yaxshi bo'ladi!

Yaxshi yaxshi! Shuni yodda tutingki, ushbu funktsiyani qayta ko'rib chiqish farqlashdan oldin umuman ruxsat berilgan! Men, trol, yaxshi hayot yotib. Teri osti kutining kosinus formulasi uchun:

Tobto. bizning ayyor vazifamiz ê not scho ínshe, yak y = cosx... tse esa jadvalli funksiyadir. Darhol tanib olinadi:

Ko'rinish: y "= - sin x.

Toyib qolgan talabalar va talabalar uchun dumba:

4. Yo'qotilgan funktsiyani bilib oling:

Shubhasiz, bunday funktsiyalar eski nemis jadvallarida mavjud. Agar men boshlang'ich matematikani taxmin qila olsam, bosqichlardan o'ting ... Keyin umuman funktsiyani soddalashtirish mumkin. Eksa quyidagicha:

Va ikks bir o'n qadam - bir xil stol funktsiyasi! Uchinchi guruh, n = 1/10. Formulaning orqasida shunday yozilgan:

Hammasidan va hamma narsadan. Tse ko'rinadi.

Birinchi kitdan farqlanishi meni ruhlantirdi - keksalarning stoli - hamma narsa aniq. Ikki kit bilan dangasa roz_bratisya, scho zalishilsya. Hujum darajasi farqlash qoidalarini o'zlashtirdi.

odobsiz eksponensial funktsiya (y = (e ^ x)) uchun viraz bilish, odobsiz eksponensial funktsiyalari bo'ysunish.

Qaror.

Pochatkov_ crocs ê standarti: yozish mumkin bo'lgan funktsiyalar ro'yxati \ (\ Delta y \), bu argumentning o'sishini ko'rsatadi \ (\ Delta x \): \ [(\ Delta y = y \ chap ((x + \ Delta) x) \ o'ng) - y \ chap (x \ o'ng)) = ((e ^ (x + \ Delta x)) - (e ^ x)) = ((e ^ x) (e ^ (\ Delta x) ) - (e ^ x)) = ((e ^ x) \ chap (((e ^ (\ Delta x)) - 1) \ o'ng)) o'ng)) = \ lim \ chegaralaydi _ (\ Delta x \ to 0) \ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x))) = (\ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ frac (((((e ^ x) \ chap ((() e ^ (\ Delta x)) - 1) \ o'ng))) ((\ Delta x)).) \] Funktsiyalar \ (y = (e ^ x) \) raqam D da yotmaydi. x Va bu belgi uchun ayblanishi mumkin. Todi bunday ko'rinishda yo'q: \ [(y "\ chap (x \ o'ng) = (\ chap (((e ^ x)) \ o'ng) ^ \ prime)) = ((e ^ x) \ lim \ limits_ ( \ Delta x \ dan 0) \ frac (((e ^ (\ Delta x)) - 1)) ((\ Delta x)).) \] Demak, men chegarani \ (L \) orqali aniqlayman. va u hisoblash mumkin її okremo. , uh \ ((e ^ 0) = 1 \) va keyin siz yozishingiz mumkin \ [(L = \ lim \ limitlar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ frac (((e ^) (\ Delta x))) - 1 )) ((\ Delta x))) = (\ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ frac (((e ^ (\ Delta x)) - (e ^ 0))) ((\ Delta x )) = e "\ chap (0 \ o'ng),) \], bu bir xil displey funktsiyasining ê qiymatlari orasida nolga teng. Otzhe, \ Biz munosabatlarni e'tiborsiz qoldirdik, unda funktsiyaning o'zi \ (y = (e ^ x) \) orqali aylanish kerak va men \ (x = 0 \) nuqtasiga o'taman. Ehtimol, shuning uchun \ Tsogo taxmin qilish uchun, uh, raqam \ (e \) cheksiz chiziqda paydo \ va \ (\ Delta x \) bosqichida \ (e \) soni, aftidan, dorívnyuê \ [(e) bo'ladi. ^ (\ ) Delta x)) = \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) (\ chap ((1 + \ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng) ^ n). \] The formula binom Nyuton í chegara belgisi ostida viraz qo'yilishi mumkin binomial qator: \ [(\ chap ((1 + \ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng) ^ n) = \ summa \ limitlar_ (k = 0) ^ n (C_n ^ k ((\ chap () (\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k)). \] Bu erda \ ((C_n ^ k) \) \ (n \) elementlarning sonini \ (k \) bilan bildiradi. )). Evropa va Amerika ishlov beruvchilarida bu raqam yak \ Bizning chiziqqa o'girilib \ (L \) deb nomlanadi, uni endi quyidagi ko'rinishda yozish mumkin: \ [(L = \ lim \ limitlar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) ) \ frac ((((e ^ (\ Delta x)) - 1)) ((\ Delta x))) = (\ lim \ limitlar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ frac ((\ lim \ limitlar_) (n \ to \ infty) \) chap [(\ sum \ limits_ (k = 0) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k))) \ o'ng ] - 1)) ((\ Delta x)).) \] Biz binomial qatorga ikkita qo'shimchamiz bor: \ (k = 0 \) ma \ (k = 1 \) uchun. Natijada, biz \ [(L = \ lim \ limits_ (\ Delta x \ to 0) \ frac ((\ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ chap [(\ sum \ limits_ (k =) ni) qilishimiz mumkin. 0) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k))) \ o'ng] - 1)) ((\ Delta x)) ) = (\ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ 0 ga) \ frac ((\ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ chap [(C_n ^ 0 ((\ chap ((\ frac ((\ Delta)) x)))) )) \ o'ng)) ^ 0) + C_n ^ 1 ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ 1) + \ summa \ chegaralar_ ( k = 2) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k))) \ o'ng] - 1)) ((\ Delta x) ))) = ( \ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ 0 gacha) \ frac ((\ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ chap [(1 + n \ cdot \ frac ((\ Delta x)) ) (n) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k))) \ o'ng ] - 1)) ((\ Delta x))) = (\ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ frac ((\ Delta x + \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ sum \ chegaralar_ (k = 2) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Delta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k)))) ((\ Delta x))) = (\ lim \ limitlar _ (\ Delta x \ dan 0 gacha) \ chap [(1 + \ frac (1) ((\ Delta x)) \ lim \ limits_ (n \ to \ infty) \ sum \ limits_ (k = 2) ^ n (C_n ^ k ((\ chap ((\ frac ((\ Del) ta x)) (n)) \ o'ng)) ^ k))) \ o'ng]) = (1 + \ lim \ chegaralar_ (n \ to \ infty) \ chap [(\ lim \ chegaralar _ (\ Delta x \ dan 0) \ chap ((\ sum \ limitlar_ (k = 2) ^ n (C_n ^ k \ frac ((((\ chap ((\ Delta x)) o'ng )) ^ (k - 1))))) (((n ^ k))))) \ o'ng)) \ o'ng]) 0 \). Tom, (L = 1). Tse ko'rsatkich funktsiyasi yo'qolganligini bildiradi \ (y = (e ^ x) \) eng muhim funktsiya: \

Nuqtaning chetiga bormang, funktsiya belgilangan.

Nuqtadagi funktsiyani sezilarli darajada yo'qotish

Eski jadval

Nuqtadagi funky funksiyaning geometrik tuyg'usi.

Aniq sichnu AB funktsiya grafigi y = f (x) taku, scho dog'lari Aі V koordinatalarini ko'rsatishi mumkin , de - zbylshennya argumenti. Yaxshilangan funktsiyalar orqali sezilarli darajada. Kreslodagi hamma narsa muhim:

3 ta to'rtburchak uch g'ildirakli velosiped ABC mayomo. Viznachennyam uchun Oskilki aniq - tse chegara lageri juda, keyin .

Nuqtada elementar funktsiyani belgilash kerak: elementar funktsiya y = f (x) nuqta funktsiyaning ortishi bilan argumentning ortishi o'rtasidagi farq deb ataladi, qachonki, u .

Otzhe, , de - Kutoviy kofítsíênt dotichnoí̈.

Bunday unvon bilan, dafn funktsiyasidan mahrum qilish y = f (x) aynan bir xil funktsiyada y = f (x) torcannya nuqtasida, bundan tashqari kutoviy kofítsíênt dotically dorívnyu qadrlanadi itoatkor da dotsí, tobto.

Tartib: nuqtadagi elementar funktsiyaning geometrik hissi Polyaga da ínuvanní dotnoí̈ tsíy dotsí da funktsiyalar grafigiga.

20 Funksiyaning nuqtalarda differensiallanishi. Differensiatsiya qilish uchun etarli aql-zakovatga ehtiyoj bor.

Funktsiyaning tsy nuqtasida differentsiatsiyaning o'sishi argumentning aniqlikdan kichiklikning umumiy tartibining qiymatlariga o'sishining chiziqli funktsiyasi sifatida bo'lishi mumkin. Bu funktsiya nuqtasining eng kichik chekkalariga erishish uchun chiziqli funktsiyani almashtirish mumkinligini anglatadi (funksiyaning o'zgarishi tezligi o'zgarmasdir). Yaxshilangan funktsiyaning chiziqli qismi differentsial deb ataladi (berilgan nuqtada).

Kerakli, kam bo'lsa ham, aqliy farqlash ê uzluksiz funktsiya. Bir xil nutq o'zgarishidan turli funktsiyalarda farqlanish oddiyga teng bo'ladi. Shu bilan birga, ko'plab nutq g'oliblarining funktsiyalari barcha g'oliblar uchun zarur (lekin etarli emas) intellektual farqlash va shaxsiy, eski bilimlarga ega. O'zgarish desillarining funktsiyalarini farqlash uchun nuqta etarli, eskilarining maxfiyligi uchun ular berilgan nuqtaning chekkasida va berilgan nuqtada uzilishlarsiz boullar o'rnatildi.

21 Funksiyaning nuqtalarda differensiallanishi. Funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema, differensiallash.

Teorema.

Bir qator nuqtalarning funksiyasi differentsiallangan bo'lsa, funktsiyaning nuqtasi uzluksiz.

Isbot.

y = f (x) y = f (x) funksiya x0x0 nuqtada differensiallansin, shunday qilib yo‘l funksiyasi Dy = A⋅Dx + a (Dx) ⋅xDy = A⋅Dx + a (Dx) ortdi. ⋅x.

DxDx funksiyaning argumenti nolga oshirilsa, DyDy funksiyaning ortishi ham nolga kamayadi va barchasi funksiyaning uzluksizligini bildiradi.

Bunga y = f (x) y = f (x) funksiya x0x0 nuqtada va nuqtadagi nuqtada va uzilishsiz differensiallanishini e'tibordan chetda qoldirdik. Uni ko'tarish kerak.

Bunday martabada, funktsiyani farqlash uchun aql etishmasligi bo'lsa-da, zarur nuqta nuqtai nazaridan funktsiyaga hurmat yo'qligi.

dumba.

y = |x |y = |x | funksiyalari x0x0 ê nuqtasida uzilishsiz funksiya, lekin nuqta nuqtasida funksiya farqlanmaydi.

Yo'lning adolatli, takomillashtirilgan funktsiyalari:

Dy = f (x0 + Dx) −f (x0) = | Dx | Dy = f (x0 + Dx) −f (x0) = | Dx |.

Ko'p otrimmo borligida:

DyDx = | Dx | Dx = (1, Dx> 0, -1, Dx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0, −1, Dx<0.

Limx → 0DyDxlimDx → 0DyDx o'rtasida isuê emas, lekin u y = | x | y = | x | funksiya x0x0 nuqtada uzilishsiz, hech qanday nuqtada differensiallanmaganligini bildiradi.

22 Differensial funksiya. Diferensialga geometrik sensor.

Qo'shiq nuqtalarida differentsial funktsiya x bosh, takomillashtirilgan funktsiyaning chiziqli qismi deb ataladi.

Differensial funktsiyalar y = f(x) mustaqil qishni oshirish uchun fahsh yaratishga yo'l x(Bahsga.)

Tse shunday yozing:

Diferensialga geometrik sensor. Differensial funktsiyalar y = f(x) M nuqtadagi markaziy funktsiya grafigiga tushirilgan S ordinataning ortishiga ( x; y), o'zgartirilganda x(argument) miqdori bilan (div. tiny).

23 Yig'indi va dobutkuni farqlash qoidasi.

Uzluksiz funktsiyalar orasidagi eskirgan va quvvatga nisbatan o'zgarish tezligini farqlashning yana bir qoidasini isbotlash.

Biz uni darajaga ko'ra keltira olamiz, so'm o'g'irlangan (foyda) n functiy dorívnyu sumi (riznitsí) n eski

Differensiatsiya qoidasi ikkita funktsiya bilan yakunlanadi.

Funksiyaning ortishi bilan argumentning ortishi orasidagi farqni yozishimiz mumkin. Vrahovuvatimo, scho í (argument oshirilganda funktsiya nolga o'sadi, lekin nolga emas).

Uni ko'tarish kerak.

24 Differensialning 1-shaklining invariantligi.

Birinchi differentsialning o'zgarmasligi

Yaksho x- Demak, kvadrat emas dx = x - x 0 (sukut bo'yicha o'rnatilgan). Wu tsomu vipadku ma'mo

df(x 0) = f "(x 0)dx. (3)

Yaksho x = φ (t) differensiallashgan funksiya bo‘lsa, demak dx = φ" (t 0)dt... Otzhe,

Birinchi differentsial bo'lish - argumentni o'zgartirishda o'zgarmaslik kuchi.

25 Rohl teoremasi.

Rol teoremasi (nol teorema) stverjuê, scho

Isbot

Funktsiyaga aylangandan so'ng, u yanada aniqroq bo'ladi, ba'zi funktsiyalar intervalning istalgan nuqtasida nolga tushadi.

Har doim segmentning chegara nuqtalarida funksiyaning ba'zi qiymatlari Veyurstrasse teoremasiga teng bo'lsa, u o'zining eng yaxshi yoki eng kichik qiymatini xuddi shu nuqtadan o'rtaga, bir xil qiymatga tuzadi. . ..

Geometrik ma'no

Teorema o'xshash, go'yo silliq qiyshiq chiziqning ikkala uchining ordinatalari, keyin egri chiziqda abscis o'qiga parallel bo'lgan egri chiziqqa yaqin nuqta mavjud.

26 Lagranj teoremasi va irsiyat.

Kintsevning ziravorlar formulasi abo Lagrange o'rtacha qiymat teoremasi agar funktsiya davomiylik uchun uzluksiz va intervalda differensiallangan bo'lsa, unda shunday nuqta borki,

.

Geometrik jihatdan Narxni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: tepada bir nuqta bor, u akkordga xuddi shunday parallel, lekin chiziqning oxirini ko'rsatadigan grafik nuqtalaridan o'tish uchun.

Mexanik tlumachennya: Kob holatidagi nuqtaga bormang. Todi ê shlyax, lahzadan lahzaga o'tadi, ishlash butun vaqt uchun o'rtacha tezlikdir. Bu shuni anglatadiki, agar ishning tezligi istalgan vaqtda soatga belgilansa, u holda qo'shiq aytish momenti kunning o'rtacha qiymatidan oldinda bo'ladi.

Isbot

Bir o'zgarish funktsiyasi uchun:

Kiritilgan funksiya. Uning uchun Rol teoremalarini o'ylab ko'ring: oxirida ma'no nolga teng. Taxmin qilingan teorema bilan qisqargan holda, funktsiya yo'qolgan nuqta nolga teng ekanligini inkor etishimiz mumkin:

olib kelish kerak.

Meros va oshkoralik

Lagranjning bosqichma-bosqich o'sish teoremasi barcha differensial hisoblash tizimlari uchun universitet teoremasi eng muhimlaridan biridir. Raqamli matematikada menda juda ko'p qo'shimchalar va matematik tahlilning ko'plab teoremalari, shuningdek meros bo'lib qolganlari bor.

Ehtiros 1. Nolgacha qimmat bo'lgan eskilaridan har xil turlarga ajralib turadigan funksiya doimiydir.

Isbot. Be-like va oddiy nuqta uchun, bunday narsa.

Bu shuni anglatadiki, hamma bilan tenglik to'g'ri.

Naslidok 2 (Lagrange ko'rinishidagi ortiqcha termindan Teylor formulasi). Agar funktsiya nuqtaning chetida bir marta farqlansa, u holda kichiklar uchun (jim bo'lish uchun, ular belgilangan chekkada joylashgan) Teylor formulasi amal qiladi:

de - deyake soni z oralig'i.

Ehtiros 3. Shuningdek, ikkita o'zgartirish funktsiyasi Haqida nuqtasining chekkasida farqlanadi va barcha o'zgarishlar O nuqtada to'xtovsiz yo'qoladi, shuning uchun barcha nuqtalarda adolat adolatli bo'ladi:

uchun dalil. Jismoniy ma'no va operator uchun

Lagranj teoremasiga ko'ra, raqamlar mavjud , tak scho

da boshqa meros funksiyalarining uzluksizligi orqali.

Xuddi shunday bo'lishi kerak .

Ale oskílki, (o'rtasi holda ag'darilgan olish qanday), va ular o'rtasida botqoq bo'lsin.

Naslidok 4 (Nyuton-Leybnits formulasi). Agar funktsiya bir vaqtning o'zida Riman asosida farqlansa va undan meros bo'lib o'tgan bo'lsa, unda quyidagi formula to'g'ri keladi: .

Isbot. Nekhai - ko'proq rozbittya vydrizka. Zastosovuchi Lagranj teoremasi;

Pidsumovuchi tsí ívností, otrimaêmo:

Livoruch berilgan belgilangan rosbitty integrali uchun Riman integral yig'indisi turadi. Rosbitning diametri orasiga o'ting, biz Nyuton-Leybnits formulasini qabul qilishimiz mumkin.

Naslidok 5 (Kintsev nihollarini baholash haqidagi teorema). Kosmosga ochiq bo'lmagan ixcham sohalarda uzilishlarsiz farqlash vizualizatsiyasiga yo'l qo'ymang. Todi.

27 Kashi teoremasi.

Koshi teoremasi o'rtacha.

Ikki funktsiya haqida hech qanday ma'lumot bermang, masalan: 1. qiymat va o'zgartirish uchun uzilishlarsiz; 2. interval bo'yicha yo'qolgan va kintsev; 3. yo'qolgan va 4 oralig'ida darhol nolga qaytarilmaydi; todí isnu, qaysi biri uchun amal qiladi: ... (Men ongimni tozalayman 4, bu kerak, masalan, men 3 o'ylash imkoniyatiga ega bo'laman: g "(x) intervalda noldan nolga o'tishda aybdor emas.)

Geometrik jihatdan uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: agar maydonga qulash qonunini o'rnatsak (abscisni boshlash va parametr orqali ordinat qilish uchun), u holda parametrlar bo'yicha berilgan bunday egri chiziqning har qanday egilishida shunday bo'ladi. o'xshash vektor, kollinear vektor bo'lsin.