Ma'ruzalar kursi. Kutubxonani oching

Eslash oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, burilish funksiyasini ko'rib chiqaylik. Displey funksiyasi uchun qaytarish funksiyasi nima? Logarifm:

Bizning vipadkamiz uning asosi sifatida raqamga ega:

Bunday logarifm (ya'ni, asosdan olingan logarifm) "tabiiy" deb ataladi va yangi g'olib uchun bu ayniqsa muhimdir: biz matnni yozamiz.

Nega g'amxo'rlik qilasiz? Shubhasiz, .

Tabiiy logarifmga qarashning yo'li yanada sodda:

Qo'llash:

1. Tegishli funktsiyani toping.
2. Nima uchun funktsiyalar yaxshi ko'rinadi?

Takliflar: Eksponensial va natural logarifm funksiyalariga qarash juda oddiy. O'sha logarifmik funktsiyalarni boshqa har qanday asos bilan ko'rsatish kelajakning onasi bo'ladi, chunki biz siz bilan keyinroq tahlil qilamiz, shundan so'ng biz farqlash qoidalarini ko'rib chiqamiz.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Men yangi atamani qayta ko'rib chiqyapman, men qayta ko'rib chiqyapmanmi?!

Differentsiatsiya- Butun jarayon yomon.

Faqat va hamma narsa. Jarayonni bir so'z bilan yana qanday tasvirlab bera olasiz? Ishlab chiqarish emas ... Matematikaning differensialligi - bu eng katta funktsiyalarga berilgan nom. Vídbuvaêtsya tsey termín víd latinskogo ryznitsya. Eksa.

Ushbu qoidalarning barchasi g'alaba qozongan holda, biz ikkita funktsiyaga egamiz, masalan, ya'ni. Bizga ularning o'sishi uchun formula ham kerak:

Usyogo ê 5 qoida.

Yaxshilik belgisi uchun doimiy aybdor.

Yakshcho - doimiy son (doimiy) kabi.

Shubhasiz, bu qoida chakana savdo uchun amal qiladi:.

Keling, olamiz. Bu osonroq bo'lsin.

murojaat qiling.

Tegishli xususiyatlar bilan tanishing:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada

Yechim:

1. (pokhídna barcha nuqtalarda bir xil, butun funktsiyaning parchalari, esingizdami?);

Pokhidna robot

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va yaxshilanishni bilamiz:

Pokhidna:

Qo'llash:

1. Shu kabi funktsiyalarni bilish;
2. Bir nuqtada o'xshash funktsiyalarni toping.

Yechim:

Pokhídna displey funktsiyalari

Endi sizning bilimingiz bu shunchaki eksponent emas, balki displey funksiyasi ekanligini bilish uchun etarli (u nima ekanligini unutmang?).

Ota, de - tse yakes raqami.

Biz allaqachon yomon funktsiyani bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi poydevorga olib chiqishga harakat qilaylik:

Men buni oddiy qoida bilan tezlashtiraman: . Todi:

Oh, voy. Endi nima noto'g'ri ekanligini aniqlashga harakat qiling va bu funktsiyani yig'ish mumkinligini unutmang.

Wiishlo?

Axis, o'zingizni tuzating:

Wiyshla formulasi o'lik ko'rsatkichga ko'proq o'xshaydi: u qanday bo'lsa, shunday yo'qolgan bo'lsa, u ko'paytiruvchi sifatida paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgarish emas.

Qo'llash:
Ajoyib xususiyatlarni toping:

Takliflar:

Bu shunchaki raqam, uni kalkulyatorsiz aniqlab bo‘lmaydi, shuning uchun uni oddiyroq qilib yozib bo‘lmaydi. Shuning uchun bunday odam juda ko'p ko'rinadi va his qiladi.

Hurmat bilan, bu erda ikkita funktsiya mavjud bo'lganligi sababli, farqlash qoidasi amal qiladi:

Bu dumba ikkita funktsiyaga ega:

Pokhídna logarifmik funktsiya

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmga qanday qarashni allaqachon bilasiz:

Boshqa asos bilan logarifm haqida etarli ma'lumotga ega bo'lishni istagan kishi uchun, masalan:

Bu logarifmni asosga olib kelish kerak. Va logarifmning asosini qanday o'zgartirish mumkin? Men spodívayus, siz ushbu formulani eslaysiz:

Tílki endi zamíst pisatimemo:

Bannerman oddiy konstantaga ega edi (o'zgarishsiz doimiy raqam). Chiqish oson:

Pokhídny ko'rsatish va logarifmik funktsiyalar EDI da ishlatilmasligi mumkin, ammo biz ularni bilmaymiz.

Pokhídna yig'iladigan funksiya.

"Qatiladigan funksiya" nima? Salom, tse logarifm emas va yoy tangensi emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish uchun yig'ish mumkin (agar siz logarifm yig'iladigan bo'lishini istasangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsani ko'rib chiqing), lekin matematika nuqtai nazaridan "katlanadigan" so'zi "juda muhim" degan ma'noni anglatmaydi. .

O'zingizga kichik konveyerni ko'rsating: ikki kishi o'tirib, xuddi shunday narsalarga o'xshab uyatchan. Masalan, birinchisi shokoladni yoqaga kuydirsa, ikkinchisi uni ip bilan bog'laydi. Bunday ombor ob'ektini chiqish uchun: shokoladli bar, kuygan va ip bilan bog'langan. Shokolad bariga ega bo'lish uchun sog'lom tartibda sog'lom ovqatlanishni o'stirish kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda, biz sonning kosinusini bilamiz, keyin esa raqamni olib tashlaymiz, kvadratga olamiz. Otzhe, biz bir qator (shokolad) beriladi, men yogo kosinus (obgorka) bilaman, keyin siz men bir kvadrat bor edi, deb o'sha qilish (chiziq bog'lash). Nima bo'ldi? funktsiyasi. Tse va katlama funktsiyasining ê ko't: agar vositachi z zmínnoí bo'lmagan vv znachennja mi problyaooê problyaêm díyu ahamiyati, birinchi natijaga ega bo'lganlar haqida boshqa díyu.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, yig'iladigan funktsiya - argumenti boshqa funktsiya bo'lgan butun funktsiya: .

Misol uchun, .

Biz butun tí w dííí í teskari tartibda ishlay olamiz: qo'lingizning orqa tomonida siz kvadrat hosil qilasiz, keyin men olingan raqamning kosinusini qidiraman: . Natija abadiy boshqacha bo'lishi mumkinligini taxmin qilish oson emas. Katlama funktsiyalarining o'ziga xosligi muhim: tartibni o'zgartirish va funktsiyani o'zgartirish.

Yana bir dumba: (xuddi shunday). .

Diyu, yaku robimo stop, namememo "tashqi" funktsiyasi, va diya, birinchisiga tegishli bo'lgan narsa - aniq "ichki" funktsiya(ularni norasmiy ravishda chaqiring, men ularni faqat materialni sodda tarzda tushuntirish uchun yashayman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Takliflar: Podil ichki va tashqi funktsiyalar hatto tashqi funktsiyalarni almashtirishga o'xshaydi: masalan, funktsiyalar

1. Birinchi vikonuvatimeme yaku diyu? Men sinus qilmoqchiman, keyin biz kubga yulduzcha qo'yamiz. Otzhe, ichki funktsiyasi, lekin tashqarida.
   Chiqish funksiyasi esa uning tarkibi: .
2. Ichki: ; qo'ng'iroq qilish: .
   Qayta ko'rib chiqish: .
3. Ichki: ; qo'ng'iroq qilish: .
   Qayta ko'rib chiqish: .
4. Ichki: ; qo'ng'iroq qilish: .
   Qayta ko'rib chiqish: .
5. Ichki: ; qo'ng'iroq qilish: .
   Qayta ko'rib chiqish: .

vikonuemo zamínu zmínnyh va otrimuêmo funktíuêmo.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni olamiz - men jim bo'laman. Kun tartibi har doim teskari bo'ladi: birma-bir, bir xil tashqi funktsiyaga o'xshaydi, keyin natijani keyingi ichki funktsiyaga ko'paytiramiz. Men buni yuzlab marta shunday yozaman:

Ikkinchi misol:

Otzhe, shakllantirish, nareshti, rasmiy qoida:

Tanish katlama funksiyasi algoritmi:

Hammasi oddiy, to'g'rimi?

Keling, dumbalarni tekshiramiz:

Yechim:

1) ichki: ;

Qo'ng'iroq: ;

2) ichki: ;

(Faqat tez bo'lishni o'ylamang! Z-píd kosinus hech narsani ayblamaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Qo'ng'iroq: ;

Bu erda uch marta katlama funktsiyasi mavjudligini aniq ko'rishingiz mumkin: adzhe allaqachon o'z-o'zidan katlama funktsiyasidir va undan ildiz olinadi, shuning uchun u uchinchi kuni g'alaba qozonadi (obgorttsídagi shokolad va ip bilan qo'yiladi. portfelda). Ammo ko'p sabablar bor: baribir, biz bu funktsiyani xuddi shunday tartibda "ochamiz": oxiridan.

Shuning uchun men birinchi navbatda ildizni, keyin kosinusni farqlayman, keyin esa ibodatxonalarda virazni yo'qotamiz. Va keyin biz hamma narsani ko'paytiramiz.

Ba'zida díí̈ ni qo'lda raqamlang. Tobto uyavimo, scho us vidomy. O'sha virazning qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda diy ishlaymiz? Keling, dumbani ko'rib chiqaylik:

Kun qanday bo'lishidan qat'i nazar, funktsiya shunchalik "chiroyli" bo'ladi. Ketma-ketlik dyy - o'xshash va oldingi:

Bu erda hissa 4-r_vneva ko'tarildi. Keling, diy buyurtmasini bildiramiz.

1. Sub-root viraz. .

2. Korin. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Sotib olishdan oldin hamma narsani tanlaymiz:

VIROBNICH. QISQA MA'LUMOT HAQIDA

Boshqa funktsiyalar- funktsiyaning ortishining argumentning cheksiz kichik ortishi bilan argumentning ortishiga kengayishi:

Asosiy sayohatlar:

Farqlash qoidalari:

Yomon belgi uchun doimiy aybdor:

Pokhidna summasi:

Juda yaxshi:

Sayohat shaxsiy:

Katlama funktsiyalari:

Shunga o'xshash katlama funktsiyasi bilan tanishish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani ko'ramiz, biz uning yo'qolganini bilamiz.
2. Ko'rinib turibdiki, "chiroyli" funktsiya, men ketishim ma'lum.
3. Birinchi va boshqa nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Hayot bizga har qanday miqdorning aniq ma'nosini aytishiga yo'l qo'ymang. Ba'zan siz avtobusning qiymatining o'zgarishi haqida bilishingiz kerak, masalan, avtobusning o'rtacha tezligi, intervalgacha harakat hajmining o'zgarishi va hokazo. Joriy nuqtadagi funktsiya qiymatini boshqa nuqtalardagi funktsiya qiymatlari bilan moslashtirish uchun "funktsiyani oshirish" va "argumentni oshirish" kabi tushunchani qo'lda yutib olish kerak.

"Funksiyaning ortishi" va "argumentning ortishi" tushunchasi

Ehtimol, x 0 nuqtasi yaqinida yotish uchun etarlicha yaxshi nuqtadir. Argumentning x0 nuqtadagi ortishi x-x0 farqi deyiladi. O'sish quyidagicha ko'rsatiladi: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Boshqacha qilib aytganda, qiymat x0 nuqtadagi mustaqil o'zgarishlarning ortishi deb ham ataladi. Uchta formula mavjud: x = x0 + ∆x. Bunday vaziyatlarda mustaqil o'zgarishning o'rtacha qiymati x0 ∆x o'sishini olib tashlaganga o'xshaydi.

Agar argumentni o'zgartirsak, u holda funktsiyaning qiymati ham o'zgaradi.

• f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0).

X0 nuqtada kattaroq f funksiyalar, f(x0 + ∆x) - f(x0) ayirmasi ∆x o'sish farqi deyiladi. Funktsiyaning o'sishi ∆f oldinga siljish darajasi bilan ko'rsatiladi. Ushbu darajada biz uni tayinlash uchun qabul qilamiz:

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Boshqacha qilib aytganda, ∆f lalmi erlarning ko'payishi va vikorist ∆y ni tushunish uchun bula funktsiyasi sifatida ham deyiladi, masalan, y \u003d f (x).

Geometrik sezgi

Kelayotgan kichkintoylarga qarang.

Bachit kabi, o'sish nuqtaning ordinatasi va abtsissasining o'zgarishini ko'rsatadi. Va funktsiyaning ortishining argumentning ortishiga kengayishi egiluvchan bo'lib, nuqtaning tupurish va oxirgi pozitsiyalaridan o'tish uchun aniqlanadi.

Keling, kattaroq funktsiya va argumentni ko'rib chiqaylik

misol 1. Argumentning ∆x ortishi va ∆f funksiyasining x0 nuqtadagi ortishi topilsin, demak f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Formulalar bilan tezlashtirish, yuqoriga ishora qilish:

a) ∆x = x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

dumba 2. f(x) = 1/x funksiya uchun x0 nuqtadagi ∆f ortishini ∆x argumentining ortishi sifatida hisoblang.

Xo'sh, bilaman, formulalar bilan tezlashtirish, uni ko'proq olib tashlash.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

tibbiy va biologik fizikadan

№1 ma'ruza

VIROBNICH I DIFFERENTSIAL FUNKSIYA.

XUSUSIY VIROBNICHI.

1. Ponyatya pokhídnoí̈, її mekhaníchny va geometrik zmíst.

a ) Bu funktsiyaning argumentini oshirish.

y = f (x) funksiyasi berilsin, bu erda x - tayinlangan funktsiya sohasidan argumentning qiymati. Agar siz argumentning ikkita qiymatini tanlasangiz x o í x íz funktsiya maydonining birinchi oralig'i bo'lsa, u holda argumentning ikkita qiymati o'rtasidagi farq kattaroq argument deb ataladi: x - x o =∆x.

X argumentining qiymati x 0 va bir xil o'sish bo'yicha tayinlanishi mumkin: x \u003d x pro + ∆x.

Ikki funktsiya qiymati orasidagi farq kattaroq funktsiya deb ataladi: ∆y = ∆f = f(x pro + ∆x) - f(x o).

Argument va funktsiyaning o'sishini grafik tarzda ko'rsatish mumkin (1-rasm). Argumentning ortishi va funktsiyaning oshishi ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin. 1-rasmda ko‘rsatilganidek, ∆x argumentidagi geometrik o‘sish abssissaning ortishi, ∆y funksiyaning ortishi esa ordinataning ortishi sifatida tasvirlangan. Quyidagi funktsiyalarning o'sishini hisoblash tajovuzkor tartibda amalga oshiriladi:

argumentga ∆x ortishini beramiz va - x + Dx qiymatini olamiz;

2) argument qiymati funksiyasining ma’lum qiymati (x+∆x) – f(x+∆x);

3) ∆f=f(x + ∆x) - f(x) funksiyaning sezilarli ortishi.

Dumba: y=x 2 funktsiyani o'zgartiring, shuning uchun argumentni x pro =1 dan x=3 ga o'zgartiring. f(x o) = x² funksiyaning qiymati haqida x nuqta uchun; nuqta uchun (xo + ∆x) f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, yulduzlar ∆f \u003d f funksiyaning qiymati (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x taxminan ∆x + ∆x 2; ∆f = 2x taxminan ∆x+∆x 2; ∆x = 3-1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Zavdannya, yomonni tushunish uchun ishlab chiqarish uchun scho. Vznachennya pokhídnoi, vv physíchny zmíst.

Argument va funktsiyani tushunish, sokin va boshqa jarayonlarning xavfsizligini belgilash zaruratidan tarixan oqlanganidek, pokhidnoy tushunchasini kiritish uchun zarurdir.

Keling, to'g'ri chiziqli harakat tezligini qanday ko'rish mumkinligini ko'rib chiqaylik. Tana qonundan to'g'ri yiqilib tushsin: ∆S=  ∆t. Teng aylanma uchun: = ∆S/∆t.

O'zgaruvchan tezlik uchun ∆Ѕ/∆t qiymatiga  porívn qiymati beriladi. , keyin  porívn. =∆S/∆t. Biroq, o'rtacha shvedlik tana harakatining o'ziga xosligini va t vaqtidagi haqiqiy shvedlik e'lon qilingan sanani tasavvur qilish imkoniyatini bermaydi. Soatning o'zgarishi bilan, ya'ni. ∆t→0 da, o'rtacha silliqlik uning o'rtasiga qadar - mittevskoy aniqligi:

 inst. =
 porívn. =
∆S/∆t.

Kimyoviy reaktsiya o'zini va mittevani shunday namoyon qiladi:

 inst. =
 porívn. =
∆x/∆t,

de x - bir soat ichida kimyoviy reaksiya davomida qilingan nutq miqdori t. Turli jarayonlarning moslashuvchanligini belgilash bo'yicha shunga o'xshash vazifalar tasodifiy funktsiyalarni tushunishni matematikaga kiritishga olib keldi.

]a,b[íê o'sish ∆f=f(x+∆x)–f(x) oraliqda tayinlangan f(x) funksiya uzluksiz berilgan bo'lsin.
ê funktsiya o'zgarishining o'rtacha tezligini aylantiruvchi ∆x funksiyasi.

Mezha vydnosyn , agar ∆x→0 bo'lsa, orasida nima borligini o'ylab ko'ring, tasodifiy funksiya deyiladi :

y" x =

.

Pokhídna ma'nosini anglatadi:
- (ix-da Igrek zarbasi); " (x) - (ix ustidagi ef zarbasi) ; y" - (o'yma zarbasi); dy / dx – (de igreek to de iks); - (nuqta bilan inglizcha).

Pokhídnoi taqdiridan uzoqlashib, aytishimiz mumkinki, mitteva shvidkíst príkílyíynyy ruhu êê khídny vídnoj shlyakhu soatga qadar:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Shu tarzda, siz x ê mitteva argumenti orqasidagi funktsiyaga o'xshash nevtishny vysnovka yaratishingiz mumkin, f (x) funktsiyasini o'zgartiring:

y" x = f " (x) =  inst.

Polyaklar kimga o'xshash jismoniy tuyg'uga ega. Farqni bilish jarayoni differentsiatsiya deb ataladi, unga "funksiyani farqlash" iborasi "funksiyaning farqini bilish" iborasiga tengdir.

v)Geometrik ma'no ham shunga o'xshash.

P
hosila funksiyasi y \u003d f (x) oddiy geometrik ma'no bo'lishi mumkin, dotichíy tushunchalarni deyakíy nuqtasida egri chiziqqa bog'laydi M. Shu tarzda, dotichno, tobto. to'g'ri chiziq analitik tarzda aylantiriladi y qarab y \u003d kx \u003d tg x, de? – kut badly dotic (to'g'ridan-to'g'ri) x o'qiga E'tiborga molik bezperervnu egri funktsiya sifatida y = f(x), M_ egri chizig'ini unga yaqin joylashgan M 1 nuqtasini oling va ular orqali s_chnu chizing. Їí̱̈ sek =tg b = gacha bo'lgan kesish koeffitsienti .M nuqtaga yaqinlashish uchun M 1 dan M, keyin argumentning ortishi ∆x nolga o'tadi va b = a da mos keladigan nuqta nuqta o'rnini oladi. 2-rasmdan ko'ramiz: tga =
tgb =
=y" x .

to = tga =
\u003d y" x \u003d f " (X). Bundan tashqari, ushbu nuqtada funktsiyaning grafigiga arziydigan yuqori koeffitsient, eski qiymat burilish nuqtasida o'xshash. Kim uchun polygaê geometrik ma'no o'xshash.

G)Zagalne qoida znakhodzhennya pokhídnoi.

Belgilangan vaqtdan boshlab funktsiyani farqlash jarayoni haqoratli daraja bo'lishi mumkin:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

ko'proq funksiyalarni bilish: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

funktsiyaning o'sishini argumentning ortishiga qo'shing:

;

Dumba: f(x)=x 2; f " (x) =?.

jarayon trudomístkiy va buklama - Biroq, bu oddiy dumba ko'rib turganingizdek, zastosuvannya zastosuvannoí̈ zastosuvannoí̈ sledovností píd pokhídnyh pokhídnyh. Shuning uchun, turli funktsiyalar uchun "Funksiyalarni differentsiallashning asosiy formulalari" jadvalida keltirilgan umumiy farqlash formulalari kiritiladi.

Kel X- argument (mustaqil o'zgarish); y=y(x)- Funktsiya.

Biz argumentning belgilangan qiymatini olamiz x=x 0 funktsiyaning hisoblash mumkin bo'lgan qiymati y 0 = y (x 0 ) . Endi biz uni adolatli tartibda joylashtiramiz oshirish (o'zgartirish) argument mazmunli yoga  X ( X Balki qandaydir belgi bo'lishi mumkin).

Zbylshennyam dan argument - nuqta X 0 +  X. Bu joiz, u ham funktsiya qiymatiga ega y=y(x 0 +  X)(Div. chaqaloqlar).

Shu tarzda, argument qiymatining etarli darajada o'zgarishi bilan, funktsiyaning o'zgarishi, deyilganidek, olib tashlandi. ko'proq uchun funktsiya qiymatlari:

va etarli emas, balki funktsiya va kattalik shaklida yotish uchun
.

Bu funktsiya argumentiga o'sish bo'lishi mumkin kintsevimi, keyin. tez raqamlarda vyslovlyuvatisya, turli mamlakatlarda ular ba'zan hayotning oxiri deb ataladi.

Kintsev iqtisodida o'sish ko'proq kuzatiladi. Misol uchun, jadvallarda deako davlati g'aznachiligining dovjinasi haqida ma'lumotlar mavjud. Shubhasiz, chegaralar uzunligining oshishi hujumdan oldinga siljish yo'li hisoblanadi.

Keling, funktsiya sifatida zaliznichnoi merejining dozhinasini ko'rib chiqaylik, uning argumenti bir soat (toshlar) bo'ladi.

	Dovjina temir yo'l stantsiyalari 31.12, ming km.	Prist	O'rtacha o'sish

O'z-o'zidan, zbílshennya funktsíí (ba'zan dovzhini temir yo'l) temir yo'l liniyalari) funktsiyalarning o'zgarishini yomon tavsiflaydi. Bizning dumba nimadan 2,5>0,9 merezha tezroq o'sgan wisnovokni etishtirish mumkin emas 2000-2003 tosh, pastroq 2004 r., o'sha pristga 2,5 uchlik davriga qadar va 0,9 - Bittadan kam taqdir. Buning uchun zbílshennya funcíí argumentda bir martagacha oʻzgarish boʻlishi tabiiy. Bu erda argumentning o'sishi davr hisoblanadi: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Iqtisodiy adabiyotlarda aytilganlarni olib tashlaymiz o'rtacha o'sish.

Argumentni bittaga qisqartirish operatsiyasini o'tkazib yuborishingiz mumkin, shunda siz bittaga o'rnatilgan argument qiymati uchun funktsiya qiymatini olishingiz mumkin, bu mumkin emas.

Matematik tahlilda, zokremada, differentsial hisoblashda, bu funktsiya argumentidagi cheksiz kichik (BM) o'sishlarga qarash mumkin.

Bir o'zgarishning differentsial funktsiyalari (bir xil differentsial) O'xshash funktsiyalar

Nuqtadagi argument va funktsiyani oshirish X 0 cheksiz kichik qiymatlar farqi sifatida mumkin (bo'lim 4-mavzu, BM farqi), tobto. BM bitta buyurtma.

Todi í̈x vídshennya Kíntsev chegarasining onasi bo'ladi, chunki u t da shunga o'xshash funktsiya sifatida tan olingan. X 0 .

Funktsiyaning BM ga ortishi o'rtasida nuqtadagi argumentning ortishi x=x 0 chaqirdi pokhidny bu nuqtada funktsiyalarni bajaradi.

Keyingi zarbaning ramziy belgisi (va, aslida, Rim raqami I) Nyutondan ilhomlangan. Siz qaysi o'zgarish hisoblanganligini ko'rsatadigan pastki indeksni engishingiz mumkin, masalan, . Eng yomonni hisoblash asoschisi, nemis matematigi Leybnits tomonidan ilgari surilgan boshqa ta'riflarning xilma-xilligi ham mavjud:
. Voqea uchun siz belgilar va hisobotni tarqatishda yaxshiroq bilishingiz kerak Funksiya differensiali va argument differensiali.

Tse soni taxminiy hisoblanadi tezlik nuqtadan o'tish uchun funktsiyalarni o'zgartirish
.

Biz o'rnatamiz geometrik ma'no nuqtalarda o'xshash funktsiyalar. Ushbu usul yordamida biz funktsiya jadvalini taklif qilamiz y=y(x) bu o'zgarishni anglatuvchi yangi nuqtada muhim ahamiyatga ega y(x) vositachida

Nuqtalardagi funksiyaning yuzlab grafiklari M 0
biz oqimning chegara lagerini hurmat qilamiz M 0 M yuvib tashlang
(belgi M kovzaê funktsiya grafigining orqasida nuqtaga M 0 ).

Qaramoq
. Shubhasiz,
.

Nuqta kabi M funksiya grafigini to‘g‘ri nuqtaga to‘g‘rilab qo‘ying M 0 , keyin qiymat
qo'shiq chegarasiga pragnet bo'ling, chunki bu muhim
. Qachon tsimu.

chegara kesish  zbígaêtsya s kutom nahily dotichny, funktsiya jadvalidan oldin amalga oshiriladi. M 0 shunga o'xshash
son jihatdan ustun dozani kesish koeffitsienti belgilangan nuqtalarda.

-

nuqtadagi o'xshash funktsiyaning geometrik ma'nosi.

Shunday qilib, nuqta va normalning tengligini yozish mumkin ( normal – u to‘g‘ri, real nuqtadagi funksiya grafigiga perpendikulyar X 0 :

Shodo -.

Oddiy -
.

Cíkaví vpadki, agar tsí primí raztashovani gorizontal yoki vertikal (div. Mavzu 3, okremí vypadki tekislikda to'g'ri joylashtirilgan). Todi,

yakscho
;

yakscho
.

Tayinlangan pokhídnoí deyiladi farqlash funktsiyalari.

 Nuqtadagi funksiya nima X 0 Kintsevni tark etsam maylimi, uni chaqirishadi farqlanadi Mazkur holatda. Berilgan oraliqning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi funksiya shu oraliqdagi differentsial funksiya deyiladi.

 Teorema . Funktsiya nima y=y(x) t.ch.da farqlanadi. X 0 , keyin bu nuqtada g'alaba uzluksiz.

shunday tarzda, uzluksizlik- zaruriy (etarli bo'lmasada) aqliy differensial funktsiya.

1. zbylshennya argument va zbylshennya funktsiyasi.

Funktsiya berilgan bo'lsin. Keling, dalil uchun ikkita ma'noni olaylik: pochatkove bu o'zgarish, uni anglatish uchun qabul qilingan
, de - birinchi qiymatdan ikkinchisiga o'tish uchun argumentni qanday o'zgartirish qiymati, deyiladi zbylshennyam argumenti.

Funktsiyaning birinchi qiymatlariga mos keladigan argument qiymatlari: bu o'zgardi
, qiymat , argument qiymatiga o'zgartirilganda funktsiyaning qiymati o'zgarganligi sababli , deyiladi ko'proq funktsiyalar.

2. Nuqtadagi funksiyalar orasidagi tushuncha.

Raqam chegara funksiyasi deb ataladi
qachon, nimaga pragne har qanday raqam uchun yakscho
shunday raqamni toping
, hamma uchun nima
bu asabiylikni qondiradi
,
.

Yana bir belgi: Raqam funksiya chegarasi deb ataladi, qachonki pragne bo'ladi, raqam bor yoki yo'qligiga kelsak, nuqta atrofida shunday nuqta bor, bu esa atrofida aylana bor-yo'qligi uchun. tayinlansin
.

3. nuqtaning cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalari. Nuqtaning funksiyasi cheksiz kichik - funktsiya, ular orasidagi nuqta nolga teng bo'lishi mumkin emas. Nuqtada cheksiz buyuk funktsiya - chegara funktsiyasi, agar farq bo'lsa, katta nomuvofiqlik nuqtasiga.

4. ular orasidagi asosiy teoremalar va ularning oqibatlari (isbotsiz).

natija: chegara belgisi uchun doimiy multiplikator ayblanishi mumkin:

Ketma-ketlik kabi konverge va intersequence vídmínna víd nolga, keyin

keyingi: post multiplikatori chegara belgisi uchun ayblanishi mumkin.

11. Funktsiyalar orasidagi tushunchani qanday tushunish kerak
і
va funktsiyalar o'rtasida vídmínna víd nol,

u holda ikkita funktsiya o'rtasidagi chegarani o'rnatish kerak, funktsiyalar orasidagi chegaraga teng va:

.

12. yakscho
, keyin
, adolatli va shafqatsiz.

13. vositachi ketma-ketlik haqidagi teorema. Ketma-ketlik kabi
shunga o'xshash, ya'ni
і
keyin

5. nomuvofiqlik bo'yicha funktsiyalar o'rtasida.

a soni nomuvofiqlik bo'yicha funksiyaning chegarasi deb ataladi, (x pragne bilan nomuvofiqlik bilan) ketma-ketlik bor-yo'qligi uchun, bu nomuvofiqlikka pragne.
ma'no ketma-ketligini, nimaga o'tish kerakligini ko'rsating a.

6. sonli ketma-ketlikning redellari.

Raqam a har qanday musbat son kabi sonli ketma-ketlikning chegarasi deb ataladi N natural soni bor, shuning uchun hamma uchun nima n> N nerívníst
.

Ramziy ma'noda u quyidagicha ko'rinadi:
adolatli.

Bu raqam aê chegarasi ketma-ketligi, kelayotgan daraja bilan ifodalanadi:

.

7. "e" raqami. tabiiy logarifmlar.

Raqam "e" raqamli ketma-ketliklar orasida, n- th a'zosi
, keyin.

.

Natural logarifm - asosli logarifm tobto. tabiiy logarifmlar ko'rsatilgan
tayinlanmasdan.

Raqam
o'ninchi logarifmadan tabiiy va orqaga o'tishga imkon beradi.

, Yogo natural logarifmlardan o'nliklarga o'tish moduli deb ataladi.

8. mo'jizalar orasidagi
,

.

Birinchi mo''jiza chegarasi:

shunday tarzda

vositachi ketma-ketlik haqidagi teorema ortida

boshqa mo''jizaviy chegara:

.

Chegaraning asosini isbotlash uchun
vikoristovuyut lema: be-bunday olovli raqam uchun
і
notekislik adolatli
(2) (qachon
yoki
asabiylashish hasadga aylanadi.)

Ketma-ket (1) quyidagicha yozilishi mumkin:

.

Endi qo`shma a`zodan quyidagi ketma-ketlikni ko`rib chiqamiz
perekona'mosya, u pastdan o'zgarib, sochilgan:
yakscho
, keyin ketma-ketlik o'zgaradi. Yakscho
ketma-ketlik pastki qismida chegaralangan. Keling, ko'rsatamiz:

xotirjamlik tufayli (2)

tobto.
yoki
. Ya'ni, ketma-ketlik o'zgaradi va hokazo. keyin ketma-ketlik pastdan chegaralanadi. Go'yo ketma-ketlik o'zgarib turadi va pastdan chegaralanadi, ular orasida bo'lishi mumkin. Todi

bu ketma-ketlik (1) orasida, ya'ni gacha bo'lishi mumkin.

і
.

L. Eyler chegarani nomlash .

9. bir tomonlama chegaralar, funktsiyalarni kengaytirish.

soni A livu orasidagi ketma-ketlik g'olib yoki yo'qligi kabi:.

soni A o'ng o'rtasida, kelsak ketma-ketlik shunday vikonuetsya bo'ladi yoki yo'q:.

Keyingisi nima a tayinlangan funktsiya sohasida yotish yoki o'rtasida, funktsiyaning aqliy uzluksizligini buzish, nuqta a funktsiyaning kengayish nuqtasi yoki rivojlanishi deb ataladi. yakscho to'g'ri nuqtada

12. tugallanmagan retsessiv geometrik progressiya hadlari yig'indisi. Geometrik progressiya oldinga siljishlar orasidagi har qanday yoshdagi ketma-ketlik bo'lib, oldinga a'zolar doimiy qolib ketadi va bu o'zgarish taraqqiyot belgisi deb ataladi. Birinchisining yig'indisi n geometrik progressiyaning a'zolari formula bilan ifodalanadi
tsyu formulasini qo'lda vykoristovuvatime retsessiv geometrik progressiya - standartning mutlaq qiymati noldan kichik bo'lgan progressiya. - birinchi a'zo; - taraqqiyot belgisi; - ketma-ketlikning olingan a'zosining raqami. Cheklanmagan retsessiv progressiya yig'indisi - bu sonning cheklanmagan ko'payishi bilan retsessiv progressiyaning birinchi a'zolari yig'indisi bilan cheklanmagan son.
keyin. Keraksiz sekin geometrik progressiyaning shartlari yig'indisi qimmatroq .