Raqamlar ketma-ketligi. Raqamli sonlarning qiymati Raqam oxirlarining tasnifi va ularning ustidagi diy

Agar funktsiya N natural sonlar to'plamiga berilgan bo'lsa, unda bunday funktsiya noaniq sonli ketma-ketlik deb ataladi. Oxirgi raqam yak (Xn) degan ma'noni bildirsin, de n ko'p natural sonlarni o'z ichiga oladi N.

Raqamli ketma-ketlik formula bilan berilishi mumkin. Masalan, Xn = 1 / (2 * n). Bunday darajada biz teriga o'xshashlikni qo'yamiz natural son n doimiylikning yagona elementi (Xn).

Endi oxirgi birodarlar n 1,2,3, ... ga teng bo'lgani uchun biz oxirgi (Xn) ni qabul qilishimiz mumkin: ½, ¼, 1/6, ..., 1 / (2 * n), ...

Oxirgisini ko'ring

Oqibat oraliq yoki o'lchovsiz, o'sish yoki pasayish bo'lishi mumkin.

(Xn) ketma-ketlik deyiladi yopiq, agar m va M ikkita son bo'lsa, har qanday n uchun ko'plab natural sonlar bo'ladi, agar m ning tengligi<=Xn

Oxirgi (Xn), Yaka o'rab olingan emas, cheksiz keyingi hayot deb atash kerak.

xirillash, barcha natural n uchun tenglik X (n + 1)> Xn. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, oxirgisining teri a'zosi, ikkinchisidan tuzatib, oldingi a'zo uchun ko'proq javobgar bo'lganligi uchun aybdor.

Ketma-ket (Xn) chaqiriladi chirigan, barcha naturals uchun n bir xil X qiymatini tanlang (n + 1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Butt sovg'asi

Qaytariladigan, bu erda ê oxirgi 1 / n va (n-1) / n kamayib boradi.

Agar jiddiylik pasaysa, X (n + 1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X (n + 1) - Xn = 1 / (n + 1) - 1 / n = -1 / (n * (n + 1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1) / n:

X (n + 1) - Xn = n / (n + 1) - (n-1) / n = 1 / (n * (n + 1))> 0. Bu oxirgi (n-1) / n degan ma'noni anglatadi. barqarordir.

Raqamli keyin sonli funktsiya deb ataladi, u cheksiz miqdordagi natural sonlarda belgilanadi .

Natural sonlar uchun tayinlash funktsiyasi sifatida
, keyin funksiyaning funksiyasiz qiymati foydali va teri raqami bo'ladi
bir xil raqamga qo'ying
... Bu yerda menga berilganga o'xshaydi raqamli ketma-ketlik... Raqamlar chaqiriladi elementlar oxirgi a'zolar uchun va son - ketaylik -M Faxriy a'zo. Teri elementi yomon element
... Men "oxirgi" atamasining implantatsiyasini tushuntiraman.

Chaqiruvning chidamliligini elementlarning qayta ko'rib chiqilgan elementlariga yoki element raqamlangan qonunga qarab o'rnating. , tobto. vkazivkoy formulasi Th a'zosi .

dumba.Oxirgi
formula bilan berilishi mumkin:
.

Oxirgi so'zning nomi quyidagicha: í va hokazo. th a'zosi.

dumba.Oxirgi
‑oxirgi

Oxirgi barcha elementlarsiz
bildirmoq
.

Kel
і
- ikki kun.

Z ummat keyin
і
oxirgisiga nom bering
, de
, tobto.

R aznistyu keyingi so'zlar soni keyingi so'zlarni chaqiradi
, de
, tobto.

Yaksho і ‑ keyin, keyin
,
nomi chiziq birikmasi keyin
і
, tobto.

Tvorog keyin
і
oxirgisiga nom bering -chi a'zo
, tobto.
.

Yaksho
, keyin siz ingl xususiy
.

Suma, ryznitsya, tvir va xususiy oxirgi
і
yx deb ataladi algebraikkompozitsiyalar.

dumba.Konsistensiya aniq
і
, De. Todi
, tobto. oxirgi
nolga teng bo'lgan barcha elementlar mavjud.

,
, tobto. yaratish va xususiy uyning barcha elementlari
.

Yaksho vikreslity deyaki elementlar oxirgi
shuning uchun, agar men kuchsiz elementlarimni yo'qotgan bo'lsam, unda men yo'qotaman keyin oxirgi
... Yaksho vikreslity oxirgi birinchi elementlar bir sepib
, keyin men yangi xabarga qo'ng'iroq qilaman juda ko'p.

Oxirgi
ko'prikliyuqorida(quyida), bezl_ch kabi
yuqorida (pastda) bilan o'ralgan. Familiya bilan o'ralgan u yuqoridan va pastdan o'ralgandek. Oxirat hayoti bunga bog'langan va agar bu etarli bo'lmasa, ortiqcha bo'lsa.

Shunga o'xshash xabarlar

Shohga o'xshaydi oxirgi
agar raqam bo'lsa, birlashtiring uni har kim uchun oling
isnu ham
, bo'lish uchun
, vikonutsya nerívníst:
.

Raqam nomi chegara chizig'i
... Uni yozganingizda
abo
.

dumba.
.

Menga ko'rsat, scho
... Menga raqam bering
... Sadoqatsizlik
uchun tashrif buyuring
, shunday, scho
, bu raqam uchun qiymatning qiymati
... Anglatmoq,
.

Boshqa so'zlar bilan aytganda
ma'nosi, oxirgi barcha a'zolari
katta raqamlarga erishish uchun raqamlar bilan ko'rishning o'zi etarli emas , tobto. raqamni tuzatish
(agar) oxirgisining elementlari intervalda bo'lsa
, deb ataladi - Nuqta haqida .

Oxirgi
, qaysi yo'llar orasida nolga teng (
, abo
da
) chaqiriladi cheksiz kam.

Ammo haqiqatning cheki yo'q:

Suma ikki cheksiz kichik ê cheksiz kichik;

Tvir cheksiz darajada kichik bo'lib, o'zaro o'lchovli miqdor ê cheksiz kichikdir.

Teorema .Shu maqsadda
kichik masofa, bu zarur va etarli
, de - Post_yna; - cheksiz kichik .

Maktublarning asosiy kuchi, qanday qilib birlashtirilishi kerak:

Quvvat 3. va 4. har qanday miqdordagi keyingi so'zlarning turi uchun ishlatiladi, shuning uchun ular yaqinlashadi.

Shunisi e'tiborga loyiqki, kasrlar o'rtasida hisoblashda bosqichlarning chiziqli birikmalari bilan birining soni va standarti. , ikki katta a'zoning kasrlari orasida raqam va standart).

Oxirgi
chaqirilsin:

Qiyinchiliksiz nom bering monoton.

Teorema . Yaksho oxirgi
monoton o'sib boradi va tepada o'ralgan; ubuvianning oxirgi qismi pastki qismida chegaralanganligi sababli, u aniq pastki chetiga yaqinlashadi.

8-ma'ruza. Oxirgisining sonlari.

Viznachennya8.1. Shuningdek, teri qiymati qo'shiq qonun deyake nutq soni fikriga qo'yiladix n , keyin hech qanday raqamlangan nutq raqamlarisiz

– tezlikni qayd etish
, (8.1)

chaqiraylikkeyin raqamli yoki darhol keyin.

Taxminiy raqamlar x n  elementlar yoki oxirgisining a'zolari (8.1).

Keyingi hayot lateral a'zoning formulasi bilan berilishi mumkin, masalan:
abo
... Ketma-ketlik noaniq tarzda o'rnatilishi mumkin, masalan, -1, 1, -1, 1, ... ketma-ketligi formula bo'yicha o'rnatilishi mumkin.
abo
... Bu oxirgisini aniqlashning juda tez-tez uchraydigan usuli: oxirgisining birinchi a'zolari so'raladi, bu kelgusi elementlarni hisoblash uchun formula. Misol uchun, hayotdan keyingi hayot, bu birinchi element va takroriy munosabatlardir
(progress arifmetikdir). Konsistensiya, deyilganidek, ko'zga tashlanadi Fibonachchi tartibi: birinchi ikkita element so'raladi x 1 =1, x 2 = 1 í takroriy ishlash
bo'lish uchun
... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… raqamlari ketma-ketligi aniq. Har kim chuqur o'tirgan a'zoning formulasini bilishi uchun uni to'ldirish muhimdir.

8.1. Maktublardan arifmetik diyi.

Ikki kun ko'rinadi:

(8.1)

Biznes qiymati 8.2. Nomlanganoxirgi krem
raqami bo'yicha moxirgi
... Buni shunday yozish mumkin:
.

nomi bilan atalgan xabarlar yig'indisi (8.1) va (8.2) ni quyidagicha yozish mumkin:; xuddi shunday
nomli xabarlarning farqi (8.1) ma (8.2);
 keyingi so‘zlar aralashmasi (8.1) ma (8.2);  shaxsiy xabarlar (8.1) va (8.2) (barcha elementlar
).

8.2. Ko'prik va chegaradan keyin.

Xuddi shu sananing barcha elementlarining kombinatsiyasi
Tasdiqlangan sonlar ko'pligi, chunki u yuqorida (pastki) ilova qilinishi mumkin va haqiqiy raqamlar uchun kirishga o'xshash haqiqiy qiymatlar uchun.

Biznes qiymati 8.3. Oxirgi
chaqirilsintepasi bilan o'ralgan , yaksho; M  yuqori cheti.

Biznes qiymati 8.4. Oxirgi
chaqirilsinpastki qismi bilan o'ralgan , yaksho;m  pastki cheti.

Biznes qiymati 8.5.Oxirgi
chaqirilsinbilan o'ralgan Agar siz yuqorida í bilan o'ralgan bo'lsangiz, quyida í, ikkita nutq raqami M va eshitishingiz mumkinm uzoq davom etadigan bunday teri elementi
Qarama-qarshiliklardan mamnun:

, (8.3)

mіM- pastki va yuqori qirralar
.

Tartibsizliklar (8.3) deyiladi epitomning aqli bilan
.

Masalan, keyin
o'rab olingan va
o'rab olinmagan.

♦ Tverdzhennya 8.1.
ê chegaralangan .

Isbot. Viberemo
... Oxirgi yangilangan 8.5 oxirgi
yopiladi. ■

Biznes qiymati 8.6. Oxirgi
chaqirilsincheksiz agar har qanday ijobiy (ajoyib) nutq raqami uchunx n , scho zadol'nyaê nerívnosti:
.

Masalan, 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2-ketliklar n,…  yopiq emas, chunki pastda bog'ich bilan o'ralgan.

8.3. U cheksiz buyuk va oxirgisida cheksiz kichikdir.

Biznes qiymati 8.7. Oxirgi
chaqirilsincheksiz ajoyib , har qanday (buyuk) nutq raqami A uchun ham raqam mavjud
shunday, hamma uchun
elementlarx n
.

☼ Hurmat 8.1. Oxirgi cheksiz buyuk bo'lgani uchun, u chegaralanmagan. Ale bu haqda o'ylamang, lekin u cheksizligi bilan ch ajralmas darajada buyuk bo'lsin. Masalan, keyin
yopiq emas, ale ê cheksiz ajoyib, tk. umova
hamma yigitlar uchun baqirmang n. ☼

 8.1-ilova.
ê cheksiz ajoyib. Raqamni oling A> 0. XATOLIK
otrimmo n>A... Buni qabul qilish
, keyin hamma uchun n>N agar muvaffaqiyatsiz bo'lsangiz
, 8,7 qiymatlaridan ishonch hosil qilish uchun, oxirgi
cheksiz ajoyib. 

Biznes qiymati 8.8. Oxirgi
chaqirilsincheksiz kam uchun
(bir oz juda kichik ) raqam bor
shunday, hamma uchun
elementlar oxirgisining oxirgisi
.

 Ilova 8.2. Sizga olib keldi, nima oxirgi cheksiz kichik.

Raqamni oling
... XATOLIK
otrimmo ... Buni qabul qilish
, keyin hamma uchun n>N agar muvaffaqiyatsiz bo'lsangiz
. 

♦ Tverdzhennya 8.2. Oxirgi
ê cheksiz ajoyib at
va cheksiz oz
.

Isbot.

1) Suhbatga keling
:
, de
... Bernoulli formulasi uchun (butt 6.3, p. 6.1)
... Fiksuumo - ijobiy raqam A men uning orqasidagi raqamni titrataman N bunday o'q adolatli:

,
,
,
.

Shunday qilib
, keyin hamma uchun qo'shimcha nutq raqamlari kuchi uchun

.

Bunday martabada, uchun
shunday raqam bor
, Barcha uchun


- cheksiz katta
.

2) Vipadok ko'rinadi
,
(da q= 0 ma'em arzimas vypadok).

Kel
, de
, Bernoulli formulasiga binoan
abo
.

Fiksuumo
,
men tebranaman
takiy, schob

,
,
.

Uchun

... Bu raqam kabi N, Barcha uchun

, tobto at
oxirgi
cheksiz kichik. ■

8.4. Asosiy hokimiyatlar cheksiz kichik vaqflardir.

♦ 8.1 teorema.Suma

і

Isbot. Fiksuumo ;
- cheksiz kichik

,

- cheksiz kichik

... Viberemo
... Todi da

,
,
. ■

♦ 8.2 teorema. Riznitsa
ikki noaniq kichik oxiri
і
ê Sezuvchanlik darajasi past.

Uchun isbotlash Vikoristovuvati nervnistni tugatish uchun teoremalar. ■

joylashtirish.Har qanday endian sonning algebraik yig'indisi oxirigacha cheksiz kichik va cheksiz kichik sonlarga ega.

♦ 8.3 teorema.Bir oz o'zaro bog'langan keyingi hayot - cheksiz kichik hayotdan keyingi hayot uchun cheksiz kichik hayotdan keyingi hayot.

Isbot.
- o'ralgan,
- Cheksiz kichik oxirgi. Fiksuumo ;
,
;
: da
adolatli
... Todi
. ■

♦ 8.4 teorema.Be-like cheksiz kichik chidamlilik ê o'rab olingan.

Isbot. Fiksuumo Qani, kilka. Todi
barcha raqamlar uchun n oxirgisining o‘zaro bog‘lanishini bildiradi. ■

joylashtirish. Tvir ikkita (bu oxirgi raqam bo'ladimi) cheksiz kichik sonlar ê cheksiz kichik sonlar.

♦ 8.5 teorema.

Barcha elementlar cheksiz darajada kichikdir
bir xil sanaga tengc, keyin s = 0.

Isbot teoremalar mos kelmaydigan usuli bilan amalga oshiriladi, ya'ni
. ■

♦ 8.6 teorema. 1) Yaksho
- chidamlilik cheksiz darajada katta, keyin ularni raqamdan ta'mirlash mumkinn, shaxsiy tayinlangan ikkita keyingi so'z
і
, Bu cheksiz kichik qat'iyatdir.

2) Barcha elementlar cheksiz darajada kichikdir
noldan ko'rish, keyin shaxsiy ikkita keyingi so'z
і
ê cheksiz ajoyib oqibatlar.

Isbot.

1) Qani
- Cheksiz ajoyib keyingi hayot. Fiksuumo ;
abo
da
... Bunday unvon bilan, 8.8 nomi uchun - Bu cheksiz kichik.

2) Qani
- Cheksiz kichik oxirgi. Qabul qilinadi, barcha elementlar
noldan. Fiksuumo A;
abo
da
... Yaroqlilik uchun 8.7 oxirgi cheksiz ajoyib. ■

Agar x n soni bo'lmasa, teri tabiiy soni n o'rnatilgan bo'lsa, u berilganga o'xshaydi. raqamli ketma-ketlik

x 1 , x 2 , … x n , …

Raqam x 1 samimiyat a'zosi nomini oldi 1 raqami bilan abo ning birinchi a'zosi, raqam x 2 - xabar a'zosi 2 raqami bilan oxirgisining boshqa a'zosi uchun va hokazo. X n raqami qo'ng'iroq oxirgi raqamning a'zosi n.

Raqamli qiymatlarni o'rganishning ikki yo'li mavjud - yordam va yordam uchun rekursiv formulalar.

Obdannya yordam uchun doimiy oxirgining oxirgi a'zosining formulalari- Bardoshlilik narxi

x 1 , x 2 , … x n , …

qo'shimcha formula uchun, bu erda egilish n sonidan x n terminining ko'pligi.

Butun 1. Raqamlar ketma-ketligi

1, 4, 9, … n 2 , …

Assistent formulasi orqasida tayinlangan

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Yordamchi formula uchun davomiylikni oldindan belgilash, bunda davomli x n a'zosi oldingi sonlar bilan davomiy a'zolar orasidan aylanib o'tadi, bu yordamchi uchun doimiy samimiylik deyiladi. rekursiv formulalar.

x 1 , x 2 , … x n , …

nomi o'sib borayotgan tug'ilish bilan, Ko'proq oldingi a'zo.

Boshqacha aytganda, hamma uchun n

x n + 1 >x n

3. Natural sonlar ketma-ketligi

1, 2, 3, … n, …

є keyin o'sadi.

Qiymat 2. Raqamlar ketma-ketligi

x 1 , x 2 , … x n , …

nomi keyin pasayish kozen a'zosi sifatida Kamroq oldingi a'zo.

Boshqacha aytganda, hamma uchun n= 1, 2, 3, ... viconano samarasizligi

x n + 1 < x n

Butun 4. Oxirgi

formula bilan berilgan

є keyin pasayish.

Butun 5. Raqamlar ketma-ketligi

1, - 1, 1, - 1, …

formula bilan berilgan

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

emas o'smaydi, tushmaydi oxirgi.

Qiymat 3. O'suvchi va kamayuvchi raqamli qiymatlar nomlanadi monoton xabarlar.

Ko'prik va chegaradan keyin

Qiymat 4. Raqamlar ketma-ketligi

x 1 , x 2 , … x n , …

nomi tepalik bilan o'ralgan, agar u ham M soni bo'lsa, ketma-ketlikning teri a'zosi Kamroq M.

Boshqacha aytganda, hamma uchun n= 1, 2, 3, ... viconano samarasizligi

Qiymat 5. Raqamli ketma-ketlik

x 1 , x 2 , … x n , …

nomi pastki bilan o'ralgan, yakscho isnu bunday son m, teri a'zosi Ko'proq raqamlari m.

Boshqacha aytganda, hamma uchun n= 1, 2, 3, ... viconano samarasizligi

Qiymat 6. Raqamlar ketma-ketligi

x 1 , x 2 , … x n , …

Men buni g'alati deb atayman, yaksho g'alaba qozondi í zgori bilan o'ralgan, í pastdan.

Boshqacha qilib aytganda, hamma uchun M va m raqamlari mavjud n= 1, 2, 3, ... viconano samarasizligi

m< x n < M

Qiymat 7. Oxirgi raqamlar, masalan adashmang, qo'ng'iroq qiling almashtirib bo'lmaydigan xabarlar.

Butun 6. Raqamlar ketma-ketligi

1, 4, 9, … n 2 , …

formula bilan berilgan

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

pastdan o'rab olingan masalan, 0 raqami. Biroq, tepasida ko'prik bo'lmagan.

Butt 7. Oxirgi

.

Matematika - bu fan, men svit bo'laman. U oddiy odam bo'lgani kabi intuitiv - siz usiz qilolmaysiz. O'rta maktab hayot olamiga kirgunga qadar raxuvati boshlash, keyin katlama, ko'rish, ko'paytirish va ditty qilish uchun kichik bolalar to'plami va kattalar ularsiz qilolmaydi.

Shu bilan birga, men barcha turdagi matematiklar bo'ladigan narsalar haqida gapiraman. "Raqamlar orasida" nomi ostida ugrupovannya raqamlari haqida.

Xo'sh, bu chiziqning oxiri?

"Muvofiqlik" so'zining ma'nosi juda muhim emas. Tse taka rag'batlantiruvchi nutqlar, de htus, chi cherzi kuylash tartibida juda ko'p kashtado'zlik bor. Misol uchun, siz hayvonot bog'iga chiptalar uchun borganingizda, bu oxirgi narsa. Bundan tashqari, bitta kam bo'lishi mumkin! Yaksho, masalan, do'konda hayratda, faqat bitta xabar bor. Cherga rapt cherkovidan bir kishi paydo bo'lishi bilanoq, Cherga ham xuddi shunday, yigit.

"Chegara" so'zini izohlash ham oson - tse kinets chogos. Biroq, raqamlar matematikasida sonning to'g'ri chiziqlarida qiymat mavjud bo'lib, ular amalda raqamlarning oxirgisi hisoblanadi. Nega pragne va nega u tugamaydi? Hammasi oddiy, sonli to'g'ri chiziqning oxiri yo'q va almashish kabi ko'plab keyingi so'zlar mavjud va shunga o'xshash:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Tabiiy argument funktsiyasi uchun oxirgi qiymatning ahamiyati. Oddiy so'zlar bilan aytganda - deyakoi ko'p a'zolarining butun bir qator.

Raqamli ketma-ketlik qanday bo'ladi?

Raqamli zo'ravonlikning eng oddiy ko'tini shunday ko'rinishdan qilish mumkin: 1, 2, 3, 4, ... n ...

Ko'pincha, amaliy maqsadlar uchun raqamlardan izchillik kutiladi va dermal hujumchi a'zosi past bo'ladi, bu X, o'zimning im'yom degan ma'noni anglatadi. Misol uchun:

x 1 - oxirgining birinchi a'zosi;

x 2 - oxirgisining boshqa a'zosi;

x 3 - uchinchi a'zo;

x n - oxirgi atama.

Amaliy usullarda keyingi sana formula bilan o'rnatiladi, yakka holda, bu ko'p yillik belgidir. Misol uchun:

X n = 3n, faqat raqamlar qatorini quyidagicha ko'rish mumkin:

Bu haqda unutmang, lekin oxirgi so'zlarni yozganingizda, siz g'olib bo'lishingiz mumkin, u lotin harflari bo'lsin va H dan mahrum bo'lmang. Masalan: y, z, k va hokazo.

Arifmetik progressiya oxirgi qismi yak

Persh nizh nizh shukati mezhi posidovnosti, dotsilly ko'proq o'rta tabaqalar bo'lish, shivirlagan bilan, bir raqamli qator bo'lgan bir xil tushunish bilan bo'ladi. Taraqqiyot arifmetik - bir guruh a'zolariga aylangan raqamlar qatori.

Zavdannya: "Nekhai a 1 = 15, va raqamli taraqqiyot past d = 4. Qatorning birinchi 4 a'zosini xursand qiling "

Qaror: a 1 = 15 (yuvish uchun) - taraqqiyotning birinchi a'zosi (raqamli qator).

va 2 = 15 + 4 = 19 - taraqqiyotning yana bir a'zosi.

va 3 = 19 + 4 = 23 uchinchi haddir.

va 4 = 23 +4 = 27 - chorak shartlari.

Biroq, biz katta qadriyatlar uchun muhim bo'lgan usuldan foydalanamiz, masalan, 125.. gacha. Ayniqsa, bunday turdagi masalalar uchun formula qo'lda amaliyot uchun kiritilgan: a n = a 1 + d (n-1). Ba'zida 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Xabarlarni ko'ring

Ko'p cheksiz xabarlar, tse varto umrining cho'zilishi bilan esladi. Isnu ikki tsíkaví vidi soni qator. Birinchisi formula bilan berilgan va n = (-1) n. Matematiklar uni ko'pincha miltillovchi chiroq deb atashadi. Nima uchun? Qayta ko'rib chiqilgan raqamlar seriyasi.

1, 1, -1, 1, -1, 1, va hokazo. Shu kabi aktsiyada ketma-ketlikdagi raqamlar osongina takrorlanishi mumkinligi aniq bo'ladi.

Faktorial keyingi hayot. Taxmin qilish oson - oxirgi, ê faktorialni belgilaydigan formula. Masalan: va n = (n + 1)!

Xabar shunday ko'rinadi:

a 2 = 1x2x3 = 6;

a 3 = 1x2x3x4 = 24 va boshqalar.

Arifmetik taraqqiyot orqali berilgan keyingi hayot cheksiz pasayish deb ataladi, chunki guruhning barcha a'zolari nomuvofiqlikni ko'radi -1

a 3 = - 1/8 yupqa.

Agar siz oxirgi narsani bilsangiz, u bir xil sanadan keladi. Shunday qilib, va n = 6 qo'shiladi cheksiz sonli shistoklar.

Oxirgilar orasidagi qiymat

Tugashlar orasi matematikada uzoq vaqtdan beri mavjud. Zvychayno, hidi barkamol bezatilgan o'z-o'zidan loyiq. Otzhe, so'nggi kunlar orasidagi qiymati haqida bilish uchun bir soat. Kob uchun, chiziq funksiyasi uchun hisobot chegarasi:

1. Tez lim sifatida tanilgan.
2. Tez lim dan ombor o'rtasidagi rekord, u wry emas, balki birlik soniga, nol yoki yo'q, shuningdek, funksiyasi o'zidan.

Buni tushunish oson, lekin oxirgisining oralig'ining ma'nosini quyidagicha shakllantirish mumkin: oxirgisining barcha a'zolari sezilmaydigan butun son. Oddiy aksiya: x = 4x + 1. Todi eng oxirgi shunday ko'rinadi.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Bunday daraja bilan chidamlilik cheksiz muddatga beriladi va shuning uchun x → ∞ da mavjud nomuvofiqliklar orasida mavjud bo'ladi va quyidagilarni yozing:

Agar men uni qabul qilmoqchi bo'lsam, uni 1 ga olaman, keyin qabul qilamiz:

Va bir qator raqamlar shunday bo'ladi: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, va hokazo. Schoraz bitimlar sonini birga yaqinroq belgilashi kerak (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Uchinchi qatorda funktsiyalar orasida beshta funktsiya mavjudligini ko'rishingiz mumkin.

Vartoning bir qismining markazida oddiy ishchilarni vizualizatsiya qilish usulining ma'nosi bo'lgan sonli sonlar o'rtasida shunday chegara mavjudligi esga olinadi.

Tugashlar ma'nosining shtab-kvartirasi

Raqamli sonlar orasidan o'sha dumba qiymatini tanlab, siz katlamalarga o'tishingiz mumkin. Mutlaqo barcha yakunlarni bitta formulada shakllantirish mumkin, chunki siz birinchi semestrda olishni xohlaysiz.

Harflar, modullar va qoidabuzarlik belgilari to'plami nimani anglatadi?

∀ - noaniqlik uchun miqdor ko'rsatkichi bo'lib, u hamma uchun, hamma uchun va hokazo iboralarni almashtiradi.

∃ ísnuvannyaning miqdoriy koʻrsatkichi boʻlib, agar u ísnu deyak N maʼnosini bildirsa, natural sonlar yoʻqligini bildirsa.

Dovga vertikal tayoq bo'lib, N dan tashqariga chiqadi, ya'ni lichsiz N "ol, qanday" degan ma'noni anglatadi. Yaxshi sabablarga ko'ra siz "taka, scho", "taki, scho" degan ma'noni ham bildirishingiz mumkin.

Materialni birlashtirish uchun formulani ovoz bilan o'qing.

Chegaraning ahamiyatsizligi va qiymati

Oxirgi so‘zlar orasidagi ko‘rinishga o‘xshagan bilish usuli sodda va sodda, lekin amalda unchalik oqilona emas. Bunday funktsiyaning chegarasini bilishga harakat qiling:

"ix" qiymati ko'rsatilgandan so'ng (bir vaqtning o'zida teri bilan u o'sadi: 10, 100, 1000 va boshqalar), keyin raqamda ∞ yoki maxraj holatida ham ∞ ni qabul qilishimiz mumkin. Ajoyib dribni tugatish uchun kiring:

Bu juda yaxshi emasmi? Bola uchun sonlar orasidagi sonni hisoblash oson. Siz hamma narsani to'ldirishingiz mumkin, masalan, agar siz buni ko'rishga tayyor bo'lsangiz va u aqlli onglarda qabul qilingan bo'lsa, lekin bunday turlar uchun yana bir yo'l bor.

Kob uchun biz kasr sonidagi katta qadamni bilamiz - tse 1, shuning uchun x yak x 1 bo'lishi mumkin.

Endi biz standart egasining yuqori bosqichini bilamiz. Teg 1.

Mumkin va raqam va o'zgaruvchan dunyo uchun banner. Ba'zan kasr x 1 ga dimo bo'ladi.

Biz qanchalik uzoqda ekanligini bilamiz, bu o'zgarish uchun qasos olish uchun teriga pragmatik ekanligini anglatadi. Kasrlar bir vaqtning o'zida ko'rib chiqiladi. X → ∞ sifatida teri fraktsiyasining qiymati pragne nolga teng. Robotlar qatl etilganda viglyadi varto zrobiti xatida bunday sharob:

Hujumkor virusni kiriting:

Albatta, x dan o'ch oladigan kasrlar nolga aylanmagan! Ale í̈kh ma'nosi taxta etarli emas, rozrahunka qachon uni o'rash mumkin emas. Aslini olganda, nikoli bu alohida turdagi 0 ga teng bo'lmaydi, hatto nol kechikish ham mumkin emas.

Xo'sh, bu chekkadami?

To'g'ri, buyurtma qilingan professorning yig'iladigan tasdiqnomasi bor, u katlanabilen formula bilan berilgan. Professor qanday borishni biladimi? Va hamma odamlar rahm-shafqat qiladilar.

Auguste Koshi o'z vaqtida oxirgi so'zlar orasiga olib kelishning eng yaxshi usulini ko'rdi. Yogo sposib operuvannyam etaklari deb ataldi.

Raqamli to'g'ri yo'lda e ("epsilon") hujum tomonida deyaka nuqtasi a, vv joizdir. Oxirgi o'zgarishning tebranishlari ko'rinadi va ma'no har doim ijobiydir.

Endi deyakning x n oxiriga kirishi mumkin va oxirning oʻninchi aʼzosi (x 10) a ning chetiga kirishi maʼqul. Faktni matematik tilda qanday yozishim mumkin?

Taxminlarga ko'ra, x 10 nuqtaning o'ng tomonida joylashgan va faqat x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Endi bir soat dars berib, yakuyasya vishche haqidagi formulani amalda tushuntiraman. Deyake, a soni haqli ravishda davomiylikning yakuniy nuqtasi deb ataladi, chunki birinchi marta e>0 tartibsizlik paydo bo'ladi va butun mahalla o'zining N natural raqamiga ega, shuning uchun oxirgi kunlarning barcha a'zolari oxirgi kundan boshlab. muhim raqamlar | x n - a |< ε.

Bunday bilimlar bilan oxirgi kunlar orasidagi displeyni ko'rish, xabarni sizga qaytarish oson.

Teoremalar

Inter-endlar haqidagi teoremalar - ombor nazariyasi muhim, ularsiz amaliyot aql bovar qilmaydi. Agar sizda ularni unutgan bosh teoremalarni tanlash imkoniyati bo'lmasa, buni isbotlash mumkin:

1. Oxirgilar orasidagi birlik. Chegara, oxirgi bo'ladimi, faqat bitta bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. O'sha dumba faqat bitta uchi bo'lishi mumkin bo'lgan qora taxtadan.
2. Agar raqamlar qatori kichik bo'lsa, u holda raqamlar ketma-ketligi o'zaro bog'langan.
3. Mezha sumi (riznitsi, yaratish) keyin
4. Xususiylar o'rtasida, agar banner nolga aylanmasa, ikkita so'nggi nuqta ikkita xususiy nuqtadan ajratiladi.

Xabarlarni tasdiqlash

Ba'zi hollarda topshiriqni qayta ko'rib chiqish, to'plamni sonlar orasiga olib kelish kerak. Dumbadan ko'rinadi.

Formulada berilgan oxirgi orasidagi chiziqni nolga keltiring.

Ko'rilgan qoida ortida, be-like mustahkamlik uchun men sabrsizlikni ko'rish mumkin | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Virazimo n "epsilon" orqali, sonni ko'rsatish va oxirgi o'rtasida aniqlik olib kelish uchun.

Bosqichning oxirida biror narsa aytish muhim, lekin "epsilon" va "en" - ijobiy va nolga qadar emas, balki soni. Endi o'rta maktablardan rad etilgan qonunbuzarliklar to'g'risida prodvjuvati hozirgi qayta yaratish, vicarious bilim mumkin.

Yulduzlar o'chadi, n> -3 + 1 / e. Oskilki varto pam'yatati, agar siz natural sonlarga qarasangiz, natijani kvadrat kamonda olib, yaxlitlash mumkin. Bunday daraja bilan bulo shu darajaga keltiriladiki, a = 0 nuqtaning “epiklon”ining har qanday ma’nosi uchun kobning befarq ekanligi ham ma’lum. Ovozni jasorat bilan aniqlash mumkin, ammo berilgan tugash sanalari orasidagi ê soni. Uni olib kelish kerak.

Bunday qo'lda usul bilan eksa, xuddi birinchi qarashda katlanmaydigandek, sonli zo'ravonlik o'rtasida keltirilishi mumkin. Golovne - zavdannyaga zarba berib, vahimaga tushmang.

Balki siz ahmoqdirsiz?

Oxirgi kunlar orasida bilish keraksiz amaliy. Bunday raqamlar qatorini qurish oson, chunki nuqtani o'tkazib yubormaslik adolatli. Masalan, o'sha "flasher" x n = (-1) n. Bu baland ovozda, lekin oxirgi, lekin bu faqat ikki raqam, tsiklik ravishda takrorlanadi, onalar uchun mos emas.

O'sha tarixning o'zi bitta raqamga qo'shilgan keyingi so'zlar bilan takrorlanadi, ov miltig'i, lekin harakat har qanday tartibning ahamiyatsizligini hisoblamasligi mumkin (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 nozik). Noto'g'ri hisoblangan xotiradan himoya qilish o'tkazib yuborilishi mumkin. Ba'zi hollarda, tugatishlar orasida siz qaroringizni qayta sozlashingiz kerak bo'lishi mumkin.

Monoton oxirgi

Biz bir oz tugatishlarni, namoyish qilish usullarini ko'rib chiqdik va endi biz "monoton yakunlar" deb nomlangan qo'shiq turini olishga harakat qilamiz.

Viznennya: be-o'xshash, epitafni adolatli ravishda monoton o'sib borayotgan deb atashadi, unga nisbatan suvorning befarqligi x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n + 1.

Ikki aqlning tartibi ham nomuvofiqliklarning noqulayligidan xabardor. Ko'rinib turibdiki, x n ≤ x n +1 (oxirgi yo'qolgan emas) í x n ≥ x n +1 (oxirgi yo'qolgan emas).

Ale aktsiyalarda osonroq.

Ketma-ketlik x n = 2 + n formulasi bilan berilgan, men keyingi raqamlar qatorini tasdiqlayman: 4, 5, 6 ham. kurtak. Keyinchalik narx monoton ravishda o'sib bormoqda.

Va agar siz x n = 1 / n ni olsangiz, biz qatorni olishimiz mumkin: 1/3, ¼, 1/5, va hokazo. Ketma-ketlik oxirgi marta monoton ravishda kamayib bormoqda.

O'xshashlik va o'zaro bog'liqlikning kesishishi

Tug'ilgandan keyingi tug'ilish ko'prikdir - tug'ilishdan keyingi tug'ilish, bu o'rtasida ajoyib. Oxirgi narsa, qanday borish kerak, bir qator raqamlar, lekin cheksiz kichik masofa mavjud.

Bunday martabada o'zaro bog'langan vaqflar orasidagi chiziq murakkab sondir. Esingizda bo'lsin, ular orasida faqat bitta bo'lishi mumkin.

Tugatishlar orasida, qanday boshlash kerak, qiymat cheksiz kichik emas (ma'nosi ancha murakkab). Epifaniya diagrammalarini kesib o'tish bilanoq, qo'shiq nuqtalari birlashadi, pragmatik ravishda yagona qiymatga aylanadi. Ism va ism - oxirgi, qanday boshlash kerak.

Monoton uchdan oxirigacha

Bunday tugashlar orasida bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bir hovuch makkajo'xori razvedkasi, agar u bo'lsa, chegara mavjudligini isbotlash uchun ovozni ko'rish mumkin.

Monoton yakunlar o'rtasida men boraman va ketaman. Skidna - tse tse shunday post-sana, chunki u ko'p harakatlar yoki murakkab chegara tongida salom-aliksiz tasdiqlangan. Mustahkamlik oxirgi, lekin uning ko'pligida farq yo'q (hech qanday harakat, na kompleks).

Bundan tashqari, geometrik tasvirlar va yuqori va pastki chegaralar yaqinlashganda, izchillik birlashadi.

Bagatokh vipadkamida o'xshash tugashlar o'rtasida nolga teng bo'lishi mumkin, shuning uchun cheksizlik har bir chegara uchun cheksiz kichik bo'lsa (nol).

Yaku oxirgi narsa, qanday borish kerak, qabul qilmang, aloqaning barcha badbo'y hidi, lekin o'xshashlikning barcha aloqalaridan uzoqda.

Suma, uzr so'rash, ikkita epifaniya, qanday qilib yaqinlashish - epifaniya ham shunga o'xshash. Biroq, shaxsiy ham shunga o'xshash bo'lishi mumkin, bu nimani anglatadi!

Rzní diíí z orasida

Tugashlar o'rtasida - bir xil qiymat (ko'p hollarda) raqamning raqamlari kabi qiymat: 1, 2, 15, 24, 362, va hokazo. Siz borishingiz mumkin, chunki derazalar orasida siz bir qator operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. .

Bir so'z bilan aytganda, raqamlar va raqamlar kabi, istalgan harflar orasiga yuqoriga va pastga qo'shishingiz mumkin. Ular oxirlar orasidagi uchinchi teoremadan kelib chiqadi, shuning uchun tenglik:

Boshqacha qilib aytganda, ular oxirlar orasidagi to'rtinchi teorema bilan boradilar, xuddi shunday deyish adolatli: Xuddi shu narsa taqsimot uchun ham amal qiladi: shaxsiy ikki uchi orasidagi chegara xususiy uchun muhim, chegara nolga teng emas. Agar tugatishlar orasidagi chiziq nolga teng bo'lsa ham, u nolga o'tdi, bu yoqimsiz.

Oxirgi qiymatlarning kuchi

Hozircha ma'ruzani raqamli zo'ravonlik oralig'ida yakunlash mumkin, ammo "cheksiz kichik" va "cheksiz katta" raqamlar kabi iboralarni taxmin qilish bir marta emas. Shubhasiz, agar oxirgisi 1 / x, de x → ∞ bo'lsa, unda bunday odam cheksiz malium bo'ladi va agar ikkinchisi nolga teng bo'lmasa (x → 0), keyin boshqasi cheksiz katta qiymatga aylanadi. Va bunday qadriyatlar o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin. Oxirgi kunlar orasidagi kuch, xoh u kichik, xoh katta bo'lsin, hujum oldiga tushadi:

1. Bir necha kichik miqdor bo'lsin, summa juda kichik bo'ladi.
2. Yig'indi, bir qator buyuk qadriyatlar bo'ladimi, cheksiz katta bo'ladi.
3. Tvir yak cheksiz darajada kichikdir.
4. Bir oz aql bovar qilmaydigan darajada katta raqamlar - qiymat cheksiz kattaroqdir.
5. Oxirgi cheksiz katta bo'lmasa, u holda jiringlayotgan qiymat cheksiz kichik bo'ladi va nolga o'tadi.

Oxirgilar orasidagi raqamlarni hisoblash unchalik oson ish emas, chunki zodagonlarning oddiy algoritmi bor. Ale mezhi postodes - bu maksimal hurmat va qat'iyatni talab qiladigan mavzu. Zvychayno, faqat bunday virazlarning uzatilishining mohiyatini tushunish uchun tugatish. Kichik narsalarni tuzatib, siz katta cho'qqilarga erishishingiz mumkin.